從2023年新高考Ⅰ卷立體幾何解答題談備考建議

胡 坤

(江蘇省外國語學校)

高考題對學生復習備考具有重要意義.2023年新高考Ⅰ卷第18題對立體幾何的考查難度有所下降,但多數考生在本題的得分卻并不高.筆者收集了一些考生的作答情況,探究其使用的方法并分析錯誤原因,提出了一些備考建議.

1 原題重現

題目 (2023年新高考Ⅰ卷18)如圖1所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,AA1＝4.點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2＝1,BB2＝DD2＝2,CC2＝3.

圖1

(1)證明:B2C2//A2D2;

(2)點P在棱BB1上,當二面角P-A2C2-D2為150°時,求B2P.

分析 自2021 年起,新高考Ⅰ卷便沒有文理之別.往年立體幾何解答題一般以棱柱和棱錐為載體分步設問,第(1)問常以平行、垂直的證明為主;第(2)問主要考查線線角、線面角和二面角的計算,兩問合為一證一算,今年依舊是這樣的形式.2023新高考Ⅰ卷立體幾何題共22分,分為1道多選題、1道填空題、1道解答題,分數占比約為14.7%.

2 解析及常見錯解

2.1 第(1)問的五種證法

證法1 構建平行四邊形,利用平行的傳遞性證明.為了排除動點P的干擾,這里隱去點P.如圖2 所示,作A2N//AB交BB1于 點N,D2M//CD交CC1于 點M,則A2ND2M,四邊形A2NMD2是平行四邊形,故

圖2

又B2NC2M,四邊形B2NMC2是平行四邊形,故

由①②知B2C2//A2D2.

同類解法還有3種,可把輔助線MN轉移至其他位置(如圖3),形成了由A2B2C2D2和MN建構的三個平行四邊形,以其中兩個證明另外一個.

圖3

證法2 同樣是構建平行四邊形,利用平行的傳遞性來證,只是添加輔助線不同.如圖4所示,可分別作AN//A2D2,BM//B2C2,易得四邊形ABMN是平行四邊形,故AN//BM,又AN//A2D2,BM//B2C2,故B2C2//A2D2.

圖4

類似地,還可以在上方添加輔助線,如圖5所示,證法一致.

圖5

圖6

還有其他的建系方式,原理是一致的.其他建系方式只要將上述關鍵點的橫、縱、豎坐標進行輪換即可,這里不再贅述.

證法4 四點共面,結合面面平行性質定理證明.如圖7 所示,建立空間直角坐標系,則B2(0,2,2),D2(2,0,2),故B2D2的中點坐標為(1,1,2).同理,可得A2(2,2,1),C2(0,0,3),則A2C2的中點坐標為(1,1,2),故B2D2和A2C2的中點是同一個點,記為O(1,1,2).

圖7

圖8

該方法十分簡便,充分利用平面向量的性質,需要學生對空間中的平面向量有一定的把握.另外,由于圖已表明B2C2和A2D2不在同一條直線上,故可由向量相等直接得出平行.

2.2 第(1)問常見錯解

采用全等來證明是最常見的錯誤.如圖9所示,作幾條輔助線構建兩組全等的直角三 角 形,△B2C2M≌△A2D2N,△C2D2H≌△B2A2R,由對應邊相等得四邊形A2B2C2D2為平行四邊形(也是邊長為5的菱形),則B2C2//A2D2.該方法的錯誤在于忽視了要證四點共面,四點不共面,兩組對邊分別相等,不一定是平行四邊形,可以用空間四邊形(二面角)作反例.

圖9

部分學生想到用面面平行性質定理證明,但同樣忽視了要證四點共面.“坐標法”有用左手系的,雖不恰當,但運算正確原則上不扣分.

書寫方面,向量不加箭頭、向量坐標不加等號這類錯誤較為常見.此外,添加新的輔助線,字母盡可能避免出現很多下標,本題已有A1B1C1D1和A2B2C2D2,若再寫A3B3C3D3,則容易出現書寫紕漏,采用MN這樣的字母可以很好地規避.

2.3 第(2)問的解法

2.4 第(2)問常見錯解

建系方式不同,點P的坐標設法不一,常見的點P的坐標設法主要有P(0,2,t),P(0,2,4t),P(0,2,2＋t),P(0,2,2＋2t)等,其中4t和2＋2t是采用向量共線設點方式得到的,2＋t是設B2P＝t得到的.

題中已將點P標在B2上方,這使得部分學生將結果中的t＝1舍去,但這并不能全算學生錯誤,也反映了題目具有爭議.

二面角為150°使得最終結果為1,調查發現,很多學生的解題過程有錯誤,但結果都為1,甚至有做不出來,猜結果為1的,看似答案正確,實際上不得分.本題若將150°改為135°,那么最終結果為3,不容易猜出答案,但值得注意的是,3雖更有區分度,但也會使得計算變得更復雜,不側重知識點的考查,值得討論.

若|cos150°|＝|cos?m,n?|中不加絕對值符號,則結果為,隨后再平方處理,這種錯誤實質上是對法向量所成角與二面角的大小關系為相等或互補沒有把握.

還有一些常見錯誤,由于建系不當、引入分數坐標、法向量不化簡等,導致t解不出來,這些錯誤既花費了大量時間,又不得分,得不償失.

3 從高考題談備考建議

1)注重方法,優化運算.

第(2)問要建系,不妨在第(1)問就建系做,用向量相等證平行,最直截了當.因此,要注重選擇解題方法,停一停再動筆,多想一些,慢算一些,“磨刀不誤砍柴工”.運算方面,爭取一筆到底,不走回頭路.例如,若將點P的豎坐標設為2＋2t,后面法向量求解容易出錯;法向量盡可能取整數,使得代入運算變得簡單.目前,學生對含有分數、根號、負號的運算有些畏懼,建議總結與練習.

2)合理分布書寫空間,得分點要寫在醒目的位置,圖也是答案的一部分.

書寫要講究“美觀”,養成良好的習慣,條件不能漏,字跡要工整,字母書寫注意下標.當含有較多下標字母的時候,盡量用不含下標的字母規避.作答前,要預先規劃書寫區域,采用“上下＋左右”結構,得分點寫在醒目位置.另外,圖也是答案的一部分,由于答題卡上的圖沒有輔助線痕跡,導致扣分的情況已屢見不鮮,建議先在試卷上畫草圖,確認無誤后再轉移到答題卡上.

3)過程不跳步、詳略得當.

中檔題拿不到滿分,常見的問題就是過程詳略不當,“想得快、寫得亂”是多數學生的通病.例如,求法向量,答題卡上寫“易得平面A2C2D2的一個法向量為m＝(1,1,2)”;再比如,對于余弦絕對值的式子,不少同學省略運算細節,直接得出結果,或猜出結果(兩解猜其一),省略計算過程,都屬于解題不規范.平時復習備考要重視步驟分、過程分.

4)回歸教材、研究真題.

新高考沒有熱門和冷門知識點一說,不能過度依賴模擬卷的出題套路,四點共面和性質結合突出了今年高考對基礎知識的考查.建議考前復習回歸教材,夯實基礎,以真題為藍本.章建躍曾表明,新教材的題目注重對知識的“識記”與“理解”,在一定程度上提高了推理題的比例,注重培養學生推理論證的能力,新高考更加注重考查學生的邏輯推理能力.

5)適當用好教育大數據平臺.

科技的發展使得一些優質的模擬題和真題卷都能在一些平臺上獲取.借助大數據平臺,可快速篩選出適合自己的題目加以訓練,通過一題多解、一題多變的方式達成“橫向對比找差距、縱向選題強化訓練”的目標.

4 小結

立體幾何是高考的重要內容,它對培養學生空間想象能力、數學抽象能力和邏輯推理能力起到了關鍵作用.學生從平面幾何過渡到空間立體幾何面臨著諸多困難,高考題的研究無疑是發現問題和解決問題一種有效途徑.著名教育家杜威說過“教學即生長”,立體幾何學習不是格式化、模式化的被動接受,而是以發現問題、改正錯誤的方式啟發學生自主成長.

(完)