非線性支承下磁懸浮轉子系統μ綜合控制的研究

葛萍萍，王念先

（1.武漢科技大學 機械自動化學院，武漢 430081；2.冶金裝備及其控制教育部重點實驗室，武漢 430081）

磁懸浮軸承是利用可控電磁力將轉子穩定懸浮的一種支承裝置，與傳統軸承相比，具有無接觸、無磨損、無需潤滑、精度高，剛度和阻尼可調等優點，廣泛應用于航空航天、超高速精密加工和機器人等領域［1］。當磁懸浮轉子系統的工況復雜時，磁性材料的相對磁導率變化明顯，磁懸浮軸承非線性支承特性明顯增加，轉子不平衡力和負載對系統影響的復雜性增加，因此磁懸浮轉子系統需要性能良好的控制器對其進行控制。

由于漏磁、磁飽和的影響，磁懸浮軸承的支承特性表現出明顯的非線性：文獻［2］基于動態磁路模型，針對磁懸浮軸承中漏磁、磁飽和的影響，提出多目標優化方法并用試驗證明其有效性；文獻［3］采用新的建模方法精確計算出邊緣通量和泄漏系數，并用試驗證明此建模方法的準確性較高；文獻［4］提出一種非線性磁路方法，建立磁懸浮軸承的承載力解析模型，考慮了邊緣磁通、漏磁通、磁飽和，因此該模型精度較高；文獻［5-6］發現考慮漏磁、磁飽和等引起的支承非線性后，轉子不平衡響應中包含大量的超諧波信號，轉子響應更加復雜。

關于非線性轉子系統的振動抑制問題，已有許多學者開展了研究：文獻［7］采用神經網絡PID的電磁執行器實現了裂紋轉子系統非線性振動的主動控制；文獻［8］考慮了陀螺效應和非線性磁懸浮支承力，采用精確非線性反饋實現了磁懸浮轉子系統的有效控制；文獻［9］采用時變剛度比例-微分（PD）控制器抑制了磁懸浮軸承支承剛性轉子的非線性振動；文獻［10］針對開關功率放大器的非線性現象，采用自適應比例控制，避免了非線性現象；文獻［11］采用μ綜合魯棒控制使磁懸浮單轉子試驗臺平穩通過一階臨界轉速，避免了磁懸浮軸承的電流飽和。

為抑制磁懸浮軸承支承力非線性的影響，本文選取μ綜合控制器對非線性支承下含不平衡故障的磁懸浮轉子系統進行控制，并針對μ綜合控制下系統的磁飽和、漏磁非線性問題，在頻域上進行系統不平衡響應的基頻和倍頻幅值研究。

1 非線性支承磁懸浮轉子系統模型

1.1 磁懸浮轉子系統結構

磁懸浮轉子系統結構如圖1所示，轉子系統由轉軸與圓盤構成，轉軸為空心結構，外徑為25 mm，內徑為15 mm。轉子長度為580 mm，從左到右離散為28個單元，共29個節點，磁懸浮軸承支承點位于1#和29#節點，圓盤位于25#節點，離散后的轉子單元長度小于單元直徑［12］。基于轉子的質量和不平衡力，本文采用八磁極結構徑向磁懸浮軸承，其主要參數見表1。

表1 徑向磁懸浮軸承主要參數Tab.1 Main parameters of radial magnetic bearing

圖1 磁懸浮轉子系統結構簡圖Fig.1 Structure diagram of magnetic levitation rotor system

為分析方便，進行以下3 種假設：1）視轉子的軸向自由度和徑向自由度完全解耦，只分析轉子的徑向自由度；2）忽略轉子和圓盤自身重力對系統的影響；3）圓盤為剛性體，可用集中質量單元塊表示。

1.2 非線性支承力模型

采用差動控制的八磁極徑向磁懸浮軸承結構，控制原理如圖2 所示：x為轉子位置，g0為轉子氣隙長度，Ix為轉子系統控制電流，Ib為轉子系統偏置電流。

圖2 八磁極徑向磁懸浮軸承結構及控制原理圖Fig.2 Structure and control principle diagram of eight pole radial magnetic bearing

忽略鐵磁材料磁滯、渦流和磁場耦合的影響，考慮磁飽和、漏磁建立磁懸浮軸承支承力Fa模型［4］，即

式中：α為磁極對夾角的一半；μ0為真空磁導率；Ap為磁極面積；Φ1，Φ3分別為通過磁路氣隙中的磁通；N為線圈匝數；Rg1，Rg2，Rg3，Rg4分別為一個磁極對處左上、右上、左下、右下氣隙的磁阻；Rr為轉子磁阻；Rk為漏磁磁路模型磁阻；Ry為磁軛磁阻；Rp為磁飽和影響下磁極磁阻。

先計算各磁阻（包含Rg，Rk，Rp，Ry和Rr），再對等效磁路進行分析得到磁通，并由磁通進一步計算出轉子系統中磁懸浮軸承的支承力，如圖3 所示。線性支承力忽略了系統的漏磁、磁飽和效應，而非線性支承力考慮了系統的漏磁、磁飽和效應。

圖3 磁懸浮軸承支承力與控制電流關系Fig.3 Relationship between supporting force of magnetic bearing and control current

1.3 磁懸浮轉子系統控制模型

采用有限元法對磁懸浮轉子系統進行建模，物理坐標下的轉子系統動力學方程為

式中：M，D，Ω，J，K分別為磁懸浮轉子系統的質量矩陣、阻尼矩陣、轉動矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣，J為斜對稱矩陣，M，D，Ω，K矩陣是對稱且正定的；q為轉子位移矢量；B1為非線性支承力分配系數矩陣；B2為系統所受干擾力系數矩陣；Fmag為轉子系統非線性支承力；f為系統所受干擾力（主要為不平衡力和負載）；C為傳感器軸向分布矩陣；xi，θyi分別為i#節點處x方向的平動和繞y軸的轉動；yi，θxi分別為i#節點處y方向的平動和繞x軸的轉動。

在i=0，y=0（平衡點）處對（1）式的Fa進行線性化，得到線性化后的Fmag，即

式中：ki為電流剛度，130 N/A；i為控制電流；kx1為位移剛度，2.5×105N/m；x1為控制位移。

由于磁懸浮轉子系統的全階模型狀態量過多，難以直接用于控制器的設計，并且轉子運行過程中高階振型很難被激發出來，因此本文采用模態分析法與模態截斷法保留轉子前2 階的剛性模態和柔性模態。

將系統狀態空間方程轉換到模態坐標下，不考慮系統干擾力f的影響，系統的坐標轉換為

式中：Φ為模態變換矩陣的前4 階；η為模態坐標矢量。

模態坐標下的磁懸浮轉子系統動力學方程（轉子為細長軸且轉速較低，故忽略轉子陀螺效應）為

式中：Mr，Kr分別為系統模態截斷后的質量矩陣、剛度矩陣；y為輸出位移。

截斷后系統的η有8 個狀態變量，由前2 階的剛性模態和彎曲模態組成。截斷后系統模型可表示為狀態空間方程形式，即

式中：Ar，Br，Cr，xr，yr分別為系統截斷后的狀態矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣、狀態向量、輸出位移；u為輸入系統的控制電流。

1.4 功率放大器與位移傳感器建模

功率放大器是閉環系統的關鍵部件，接收控制電壓，為磁懸浮軸承線圈產生足夠電流。采用系統辨識的方法，對功率放大器進行掃頻試驗得到頻響特性曲線，再通過擬合曲線得到功率放大器的傳遞函數為

式中：s為一個復數變量，表示系統的頻率響應。

將Ga(s)轉為狀態空間方程，即

式中：Aa，Ba，Ca，xa分別為功率放大器的狀態矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣、狀態向量；ua為功率放大器輸入電壓；ya為功率放大器輸出電流。

本文采用電渦流位移傳感器測量轉子徑向運動。根據文獻［11］的頻率響應曲線，位移傳感器的傳遞函數為

將Gs(s)轉換為狀態空間方程，即

式中：As，Bs，Cs，xs分別為傳感器的狀態矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣、狀態向量；us為傳感器輸入轉子實際位置；ys為傳感器輸出電流。

2 閉環系統控制器的設計

2.1 系統權函數選取和系統不確定性

將功率放大器、磁懸浮轉子系統與位移傳感器相連，得到閉環系統控制模型Gsys，Gsys為四輸入與四輸出結構。基于四塊結構設計μ綜合控制器，選取目標函數為

式中：We為輸入指標權函數；Wr為參考輸入權函數；Wd為輸入擾動權函數；Wu為作動器控制輸入權函數；So，Ti，KSo，GsysSi分別為系統混合靈敏度函數、補靈敏度函數、控制靈敏度函數、動態靈敏度函數。

磁懸浮轉子增廣系統框圖如圖4 所示，K為系統的μ綜合控制器，P為磁懸浮轉子增廣系統，d為系統輸入擾動，本文為不平衡力和負載；r為系統參考輸入，本文設置參考輸入電壓為0；u為系統控制輸入，本文為控制器輸出電壓；e為系統跟蹤誤差，本文為參考輸入電壓與位移誤差電壓的差值；y為系統位移輸出；ze，zu為性能加權輸出；Δm為系統的頻率參數攝動，Δm={diag(δ1，δ2)；δn∈R}，具有對角結構。本文取一階彎曲模態頻率的攝動范圍δ1為- 5%～5%，二階彎曲模態頻率的攝動范圍δ2為-2%～2%。

圖4 增廣μ綜合控制系統框圖Fig.4 Block diagram of augmented μ-synthesis control system

不確定狀態空間An為

式中：fn為n階彎曲模態頻率；ξn為模態阻尼比；σn為n階彎曲模態頻率不確定性。

圖4虛線框中的P為

（14）式中多輸入多輸出系統的權函數通常選取對角矩陣形式，即

根據ISO 14893-3：2006“Mechanical vibration—Vibration of rotating machinery equipped with active magnetic bearings—Part 3：Evaluation of stability margin”選擇系統靈敏度函數的奇異值范圍，進而得出wr的合理范圍為0.2 ～ 1.0。

（15）式中的we為一階低通濾波器形式，即

式中：e為一階低通濾波器增益；A為積分常數，代表低頻剛度要求；fe為穿越頻率。

系統加性不確定性由wu表示，wu為二階高通濾波器形式，即

式中：a為增益，為了防止電壓飽和，應取較小常數；ζ通常為最佳阻尼比，取0.707；為不激發系統高頻模態，使控制器的增益在高頻處滾降，應添加滾降頻率f1和高頻極點頻率f2。

（15）式中的wd為

式中：b為加權系數；ad為系統干擾的最大幅值，大于干擾信號的頻率。

基于權函數的選取經驗，并經過調試和對系統靈敏度函數與結構奇異值μ的分析，確定權函數為

2.2 閉環系統μ綜合分析

μ綜合分析框架如圖5 所示：將磁懸浮轉子增廣系統P與控制器K（s）通過下線性分式變換得到M，即

圖5 μ綜合分析框架圖Fig.5 Framework diagram of μ-synthesis analysis

圖5中的不確定性用Δ表示，Δ={diag(Δm，Δp)；Δm∈C2×2，Δp∈C4×4}。

系統結構奇異值μ（M）定義為

式中：min(Δ) 為使det(I-MΔ) = 0（即I-MΔ為奇異的）時的最小(Δ)。若無Δ∈Δ*，使I-MΔ為奇異的，則μΔ*(M) = 0。系統的穩定性和魯棒性可以通過求解矩陣M的結構奇異值μ判定。

對于結構不確定性系統，為保證系統穩定性須滿足μΔ[M11(s)]＜1。系統魯棒性的充要條件為μΔ*[M(s)]＜1。

3 仿真分析

3.1 閉環轉子系統仿真模型

忽略磁懸浮轉子陀螺效應，四輸入和四輸出轉子模型Gsys在2 個豎直平面解耦為2 個完全相同的二輸入二輸出轉子系統。下文僅展示其中一個平面中轉子系統輸入輸出狀態。在Simulink仿真環境下，將μ綜合控制器與磁懸浮轉子系統相連得到閉環系統仿真模型，如圖6 所示，ur為系統參考輸入電壓信號，x為系統不平衡響應位移輸出。PID 控制器的3 個參數分別為：KP=40，KI=100，KD=0.05。綜合控制器為狀態空間方程形式，即

圖6 閉環轉子系統仿真框圖Fig.6 Block diagram of closed-loop rotor system simulation

式中：ue為輸入誤差電壓，ye為輸出控制電壓。

3.2 閉環轉子系統穩定性和魯棒性分析

根據給定的結構不確定性轉子系統與四組加權函數相連，得到不確定性系統增廣矩陣。使用μ綜合魯棒控制工具箱中的dksyn進行迭代計算，得到系統的μ綜合控制器。閉環轉子系統的穩定性和魯棒性如圖7 所示：μΔm(M11)的最大值為0.043 7＜1，μΔ(M)的最大值0.61＜1，因此，μ綜合控制器可使閉環系統滿足穩定性和魯棒性的要求。

圖7 閉環轉子系統的穩定性和魯棒性Fig.7 Stability and robustness of closed-loop rotor system

3.3 閉環轉子系統起浮性能和抗干擾性能分析

為模擬轉子系統的起浮，本文在參考輸入電壓ur處輸入階躍信號。轉子29#節點x方向的階躍響應如圖8所示：轉子在0.03 s處從保護軸承上快速起浮，振幅在0.15 s 處完全衰減，并且存在24.46%的超調量。轉子起浮速度比衰減速度快，超調量小，避免了轉子在起浮期間與保護軸承的接觸，閉環轉子系統的起浮性能良好。

圖8 閉環轉子系統階躍響應Fig.8 Step response of closed-loop rotor system

轉子29#節點x方向的擾動響應如圖9 所示：在0.2 s 處對圓盤施加100 N 干擾力后，轉子在0.37 s 重新回到平衡位置0 處并維持在此處。轉子重回平衡位置的速度快且可以重新維持穩定運行狀態，閉環轉子系統抗干擾性能良好。

圖9 閉環轉子系統擾動響應Fig.9 Disturbance response of closed-loop rotor system

3.4 閉環轉子系統不平衡響應分析

為研究閉環轉子系統在不同角速度下的不平衡響應控制效果：參考輸入電壓ur=0；外負載FL=0；25#節點處的不平衡量為2.1×10-4kg · m。在不同角速度下，轉子29#節點處x方向的不平衡響應如圖10 所示：與PID 控制相比，在給定角速度范圍內，μ綜合控制下系統的基頻fi振幅顯著減小；當角速度ω為200 ～ 360 rad/s 時，μ綜合控制下的系統不平衡響應振幅與PID 控制下相比顯著降低；由于支承非線性的影響，PID控制下的系統響應出現了倍頻3fi，而μ綜合控制實現了對3fi振幅的顯著抑制。在給定的角速度條件下，與PID 控制相比，μ綜合控制較好地抑制了非線性對系統的影響。

圖10 不同角速度下閉環轉子系統不平衡響應頻域圖Fig.10 Frequency domain diagram of unbalanced response of closed-loop rotor system under different angular velocitys

為研究閉環轉子系統在不同負載下不平衡響應的控制效果：參考輸入電壓ur=0，轉子角速度ω=280 rad/s，25#節點處的不平衡量為2.1×10-4kg · m。在圓盤豎直方向施加不同的負載FL，轉子29#節點處x方向的不平衡響應如圖11 所示：在給定負載范圍內，μ綜合控制下系統的基頻fi振幅明顯小于PID 控制；PID 控制下系統的不平衡響應中除其基頻fi外，還有倍頻（2fi和3fi）被激發出來，而μ綜合控制下系統的倍頻振幅被明顯抑制。說明支承非線性對系統的影響被削弱，且在給定負載范圍內，當FL為20 ～ 160 N 時，μ綜合控制下的系統不平衡響應振幅相比PID控制下顯著降低。

4 結論

考慮磁飽和、漏磁效應建立了非線性支承下的磁懸浮轉子系統模型。基于磁懸浮轉子系統的參數不確定性和高階未建模動態，設計了針對非線性支承下磁懸浮轉子系統的μ綜合控制器。得到以下結論：

1）μ綜合控制能實現轉子的穩定懸浮，且閉環磁懸浮轉子系統具有良好的起浮性能和抗干擾性能。

2）在角速度及負載給定的范圍內，與PID 控制相比，μ綜合控制能有效減小不平衡響應基頻fi和倍頻（2fi和3fi）幅值，抑制系統的不平衡擾動和非線性效應。