非穩態工況下外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承保持架動態特性

王樹涵，楊海生，晏軍，高利霞，鄧四二

（1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.中國航空發動機集團有限公司 四川燃氣渦輪研究院，成都 610500）

新一代戰機擁有超機動能力和高速巡航能力，軸承作為航空發動機主軸傳動系統的核心部件，對其結構等方面提出了更高的要求。將彈性環、擠壓油膜阻尼器與圓柱滾子軸承聯合使用，形成外圈帶有彈性環式擠壓油膜阻尼器（Elastic Ring Squeeze Film Damper，ERSFD）的圓柱滾子軸承，以降低轉子在變轉速和沖擊載荷工況時產生的劇烈振動，進而提高航空發動機主軸傳動系統的性能和可靠性。

外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承的動態特性研究已引起許多學者的關注：文獻［1］通過N-S方程建立了ERSFD 的減振機理模型，求解其油膜壓力場控制方程，結果表明ERSFD 有良好的油膜力特性；文獻［2-3］建立了一種ERSFD動力學特性的數值模型，采用分塊迭代法實現了油膜與彈性環之間的相互作用，分析了渦動頻率和彈性環結構參數對阻尼器動力學特性系數的影響，并通過試驗得到了ERSFD 的油膜與彈性環的動力學特性系數，結果表明ERSFD 的剛度系數主要取決于彈性環的厚度以及凸臺數量；文獻［4］考慮滑動和摩擦效應，建立了ERSFD 的參數化有限元模型，分析了裝配誤差對ERSFD 動力學性能的影響，結果表明考慮誤差時的分析結果不同于其他分析方法；文獻［5］建立了一種ERSFD 支承轉子系統動態特性和響應計算方法，對該系統的動力學方程進行數值模擬，利用該模型同時確定轉子的響應和ERSFD 的油膜系數，ERSFD 通過抑制油膜的非線性效應，在防止轉子雙穩態振動方面性能優于傳統擠壓油膜阻尼器（Squeeze Film Dampe，SFD）；文獻［6］建立了含高速球軸承的ERSFD 模型，研究了不同轉子轉速和鼠籠剛度下的軸頸動力學特性，結果表明鼠籠剛度小，轉子轉速高，有利于軸頸的穩定，可以有效減振；文獻［7］建立了彈支 SFD 圓柱滾子軸承與轉子耦合的動力學模型，對非穩態工況下圓柱滾子軸承保持架動態性能進行分析，結果表明時變載荷使保持架打滑率增大且呈無規則波動；文獻［8］建立了考慮軸承套圈彈性變形的彈支高速圓柱滾子軸承動力學模型，分析了在不同彈性支承結構參數和工況條件下的保持架穩定性，與剛性支承相比，彈支結構使軸承保持架穩定性明顯提升；文獻［9］開發了航空發動機圓柱滾子軸承動力學仿真軟件，對不同保持架引導方式下圓柱滾子軸承保持架的動力學特性進行分析，結果表明采用外引導時保持架質心軌跡更穩定；文獻［10］對保持架進行柔性化處理，分析了軸承工況和結構參數對保持架動態性能的影響，結果表明高速輕載工況下保持架易產生較大打滑，增大徑向游隙有利于降低打滑率；文獻［11］建立了高速圓柱滾子軸承的動力學非線性微分方程組，分析了軸承工況和結構參數對保持架振動特性的影響，結果表明保持架在徑向平面內的振動隨著徑向載荷的增大而減??；文獻［12］搭建SFD 試驗臺，測量了在大、小渦動半徑和有偏心渦動時SFD 的動力學特性，并將測得的一個完整運動周期內的瞬時阻尼器反作用力通過傅里葉變換識別了SFD 的動力學特性系數。

上述學者在分析ERSFD 動力學性能時均將軸承簡單等效為一個彈簧剛度或阻尼；在分析彈支一體化滾動軸承動力學性能時，基本都是穩態工況下外圈帶有SFD 的滾動軸承動態特性分析，引入ERSFD 結構起到軸承減振作用，分析軸承保持架的動態特性是判斷軸承振動性能好壞的指標，其衡量標準之一即保持架打滑率。鑒于此，本文在滾動軸承動力學理論基礎上，結合ERSFD 動力學特性，建立外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承動力學分析模型，分析轉速、沖擊載荷以及彈性環結構參數（凸臺寬度、凸臺數量）對外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承保持架動態特性的影響。

1 外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承動力學模型

1.1 坐標系

根據外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承結構特點，建立如圖1所示的坐標系：

圖1 外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承坐標系Fig.1 Coordinate system for cylindrical roller bearing with ERSFD on outer ring

1）以軸承中心O為原點建立全局坐標系Oxyz，x軸與軸承軸線重合，yOz平面與通過軸承中心的徑向平面平行，該坐標系固定，其他坐標系均參照該坐標系確定；

2）以滾子中心Ob為原點建立滾子質心坐標系Obxbybzb，yb沿軸承徑向，zb沿軸承周向，該坐標系隨著滾子中心移動，但不隨滾子自轉，每個滾子都有自己的局部坐標系；

3）以保持架中心Oc為原點建立保持架質心坐標系Ocxcyczc，該坐標系由全局坐標系平移得到，并隨著保持架移動和旋轉；

4）以保持架兜孔中心Op為原點建立保持架兜孔坐標系Opxpypzp，該坐標系開始時與滾子質心坐標系重合，隨后隨著保持架移動和旋轉，每個兜孔都有自己的局部坐標系；

5）以內圈中心Oi為原點建立內圈質心坐標系Oixiyizi，該坐標系由全局坐標系平移得到，并隨著內圈移動和旋轉。

1.2 ERSFD計算模型

外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承結構如圖2所示，與SFD 相比，ERSFD 在擠壓油膜中裝配了彈性環結構，彈性環的內、外側具有均勻交替分布且數量相同的弧形支承凸臺，將擠壓油膜分隔為多個分段的油膜腔，內凸臺與軸承外圈（軸頸）接觸，外凸臺與軸承座接觸，均為過盈配合；在軸頸的激勵下，彈性環產生徑向變形，可自動調整內、外油膜間隙，使擠壓油膜在軸承工作時的油膜壓力線性化，從而保證轉子系統在極端工況下的穩定性。

圖2 外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承結構簡圖Fig.2 Structure diagram of cylindrical roller bearing with ERSFD on outer ring

彈性環相對軸承座不自轉，為簡化控制方程，本文忽略彈性環上的小孔，且阻尼器沒有軸向端封，對油膜流體作以下假設：1）忽略體積力和慣性力；2）薄膜流動；3）未考慮溫度效應和軸頸曲率效應；4）流體為不可壓牛頓流，層流流動。將彈性環與軸承外圈之間的間隙視作內腔，與軸承座之間的間隙視作外腔，根據以上假設并結合N-S方程，推導出ERSFD的油膜控制方程為

式中：R為軸頸半徑；x，θ分別為軸向和周向坐標；h1，h2分別為彈性環與軸承外圈和軸承座之間的油膜厚度；p1，p2分別為內、外油膜壓力；μ為潤滑油動力黏度；Ω為軸頸進動速度；r為彈性環徑向變形量；t為時間；c1，c2為ERSFD 與軸承外圈和軸承座的油膜半徑間隙；e為軸頸偏心距。

阻尼器軸向兩端的邊界條件為

式中：pe1，pe2為阻尼器軸向初始壓力，本文研究ERSFD 無密封的情況，初始壓力為0；L為阻尼器寬度。

將內凸臺視為剛性結構并與軸頸的外圓柱面接觸，外凸臺與軸承座內徑面的接觸視為固定約束，則彈性環上第i個凸臺的徑向位移為［13］

式中：N為彈性環凸臺數量。

將（1），（2）式積分，推導出內、外油膜壓力p1和p2的表達式為

式中：?為軸頸偏心距e的一階導數；z，θ分別為油膜方向和周向坐標。

周向油膜力Ft和徑向油膜力Fr可以通過對油膜壓力在下邊界角至上邊界角之間進行積分獲得

將ERSFD作用在外圈的油膜力轉換到y和z方向

式中：φ為軸承徑向與z軸之間的夾角。

1.3 動力學微分方程

1.3.1 滾子動力學微分方程

內圈、外圈、保持架都對滾子產生作用，滾子受力如圖3 所示。本文采用“切片法”對滾子進行處理，計算滾子所受載荷。

圖3 滾子受力示意圖Fig.3 Diagram of roller forces

滾子動力學微分方程為

式中：mr為滾子質量為第j個滾子在y，z方向的加速度；Nij，Nej分別為第j個滾子與內、外圈的接觸力；φj為第j個滾子的方位角；Qcj，Fcj分別為第j個滾子與保持架橫梁的接觸力與摩擦力；Tij，Tej分別為第j個滾子與內、外圈的拖動力；Frj為第j個滾子的離心力；Jrxj，Jryj，Jrzj為第j個滾子繞x，y，z軸的轉動慣量；為第j個滾子繞x，y，z軸的角加速度；Dw為滾子直徑；MiNj，MeNj分別為第j個滾子與內、外圈的接觸力產生的附加力矩；MiTj，MeTj分別為第j個滾子與內、外圈的拖動力產生的附加力矩；Mcj為第j個滾子與保持架的接觸力產生的附加力矩。

1.3.2 保持架動力學微分方程

保持架受到滾子的碰撞摩擦力、保持架與引導面之間的潤滑油對保持架端面和表面阻力的共同作用，保持架受力如圖4所示。

圖4 保持架受力示意圖Fig.4 Diagram of cage forces

保持架動力學微分方程為

式中：mc為保持架質量；為保持架在y，z方向的加速度；Z為滾子數量；F′cy，F′cz分別為在流體動壓效應下套圈引導面對保持架作用力在y，z方向的分量；ψc為引導面作用力與yc軸的夾角；Gc為保持架重力；Jcx，Jcy，Jcz為保持架繞x，y，z軸的的轉動慣量為保持架繞x，y，z軸的角加速度；M′cx為流體動壓油膜與保持架表面之間的摩擦力矩；TCDO為保持架圓柱表面的阻滯力矩；TCDS為保持架端面的牽引力矩。

1.3.3 外圈動力學微分方程

外圈固定，不需要建立外圈力矩平衡方程，與ERSFD耦合后的外圈動力學微分方程為

式中：me為外圈質量；? 為外圈在y，z方向的加速度；Fery，Ferz為彈性環對外圈在y，z方向的支反力；Fy，Fz分別為軸承在y，z方向所受的作用力。

1.4 保持架打滑率

圓柱滾子軸承保持架打滑率為

式中：ωc為保持架實際角速度；ωs為保持架理論角速度；α 為滾子與滾道的接觸角；Dpw為滾子組節圓直徑；ωi，ωe分別為內、外圈角速度。

2 外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承保持架動態特性

以某航空發動機主軸外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承為研究對象，其主要參數見表1。采用GSTIFF 預估-校正變步長積分法求解軸承動力學微分方程組，流程如圖5 所示。利用Step 函數實現變轉速與變載荷工況，變工況過程為勻速變化，分析轉速n、沖擊載荷Fs以及彈性環結構參數（凸臺寬度、凸臺數量）對保持架動態特性的影響。潤滑油型號為4106，黏度為0.012 Pa · s，密度為940.9 kg/m3，定壓比熱容為1.934 kJ/（kg · K）。

表1 外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承主要參數Tab.1 Main parameters of cylindrical roller bearing with ERSFD on outer ring

圖5 動力學微分方程求解過程Fig.5 Solution procedure of dynamic differential equations

2.1 轉速對保持架動態特性的影響

當軸承所受徑向載荷為5 kN，彈性環一側凸臺數量為8，彈性環凸臺寬度為5 mm，凸臺高度為0.36 mm，轉速在0.13 ～ 0.14 s 從5 000 r/min 升至9 000 ～ 13 000 r/min，在0.15 s開始下降，并在0.16 s時降至5 000 r/min時，對保持架打滑率進行分析。

變轉速工況下普通圓柱滾子軸承和外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承保持架打滑率如圖6所示：1）保持架打滑率在快速加速階段急速上升，隨著各加速峰值的增大而增大，在達到平穩后略微下降；在減速階段，打滑率開始快速下降并出現負打滑，在達到平穩后逐漸恢復至加速前的打滑率。2）在平穩階段和加減速階段，外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承比普通圓柱滾子軸承打滑率低，變化率小。

圖6 變轉速工況下圓柱滾子軸承的保持架打滑率Fig.6 Cage slip rate of cylindrical roller bearing under variable speed condition

在變轉速峰值為9 000，13 000 r/min 時，普通圓柱滾子軸承和外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承保持架質心軌跡分別如圖7、圖8 所示：隨著變轉速峰值的增大，保持架質心軌跡趨于混亂；外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承質心軌跡比普通圓柱滾子軸承穩定。

圖7 變轉速工況下普通圓柱滾子軸承保持架質心軌跡Fig.7 Cage centroid track of ordinary cylindrical roller bearings under variable speed condition

圖8 變轉速工況下外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承保持架質心軌跡Fig.8 Cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under variable speed condition

變轉速工況下ERSFD的周向油膜力和徑向油膜力如圖9 所示：ERSFD 的周向油膜力大于徑向油膜力，且油膜力均隨變轉速峰值增大而增大。變轉速工況下ERSFD不同區域的油膜壓力分布如圖10 所示，各區域油膜壓力隨著變轉速峰值的增大而增大。

圖9 變轉速工況下ERSFD的油膜力Fig.9 Oil film forces of ERSFD under variable speed condition

圖10 變轉速工況下ERSFD的油膜壓力分布Fig.10 Oil film pressure distribution of ERSFD under variable speed condition

產生上述現象的原因為：隨著轉速的不斷增大，滾子受到更大的離心力，使其加劇外拋，滾子與內滾道的拖動力減小，保持架所受徑向作用力增大，導致保持架打滑率增大；減速階段，保持架轉速出現延后，造成負打滑現象；ERSFD 產生的油膜阻尼衰減了軸承的整體振動，使保持架運動更穩定，因此在相同工況下外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承保持架打滑率更低，保持架質心軌跡更穩定；變轉速峰值增大，外圈所受離心力增大，ERSFD 的油膜間隙減小，產生更大的油膜壓力和油膜力。

2.2 沖擊載荷對保持架動態特性的影響

當軸承轉速為9 000 r/min，初始徑向載荷為5 kN，彈性環一側凸臺數量為8，彈性環凸臺寬度為5 mm，凸臺高度為0.36 mm，軸承在0.13 ～ 0.14 s受到10 ～ 18 kN的沖擊載荷，0.15 ～ 0.16 s沖擊載荷消失，徑向載荷返回至5 kN時，對軸承保持架打滑率進行分析。

不同沖擊載荷下普通圓柱滾子軸承和外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承保持架打滑率如圖11所示：保持架打滑率隨著沖擊載荷的增大而減小，在沖擊載荷恢復至5 kN后逐漸平穩；在平穩階段，外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承比普通圓柱滾子軸承的打滑率低；在變載荷階段，外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承比普通圓柱滾子軸承的打滑率變化率低，運行更穩定。

圖11 沖擊載荷工況下圓柱滾子軸承的保持架打滑率Fig.11 Cage slip rate of cylindrical roller bearing under impact load condition

在沖擊載荷峰值為10，18 kN 時，普通圓柱滾子軸承和外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承保持架質心軌跡分別如圖12、圖13 所示：隨著軸承所受沖擊載荷的增大，保持架質心軌跡趨于混亂，外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承質心軌跡比普通圓柱滾子軸承更穩定。

圖12 沖擊載荷工況下普通圓柱滾子軸承保持架質心軌跡Fig.12 Cage centroid track of ordinary cylindrical roller bearings under impact load condition

圖13 沖擊載荷工況下外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承保持架質心軌跡Fig.13 Cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under impact load condition

變載荷工況下ERSFD的周向油膜力和徑向油膜力如圖14所示： ERSFD 的周向油膜力大于徑向油膜力，隨沖擊載荷峰值增大，油膜力增大。ERSFD 不同區域油膜壓力分布如圖15 所示，各區域油膜壓力隨著沖擊載荷峰值的增大而增大。

圖14 沖擊載荷工況下ERSFD的油膜力Fig.14 Oil film forces of ERSFD under impact load condition

圖15 沖擊載荷工況下ERSFD的油膜壓力分布Fig.15 Oil film pressure distribution of ERSFD under impact load condition

產生上述現象的原因為：隨著軸承所受沖擊載荷的增大，承載區滾子數量增多，滾子對保持架拖動力增大，滾子與滾道的接觸載荷增大，保持架打滑率減??；ERSFD結構產生的油膜阻尼使軸承運轉更為穩定，平穩階段外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承的打滑率比普通圓柱滾子軸承低，受沖擊載荷階段保持架打滑率變化比普通圓柱滾子軸承小，保持架質心軌跡更穩定；沖擊載荷峰值增大，整體結構受力增大，導致內、外腔油膜壓力增大，油膜力增大。

2.3 彈性環結構參數對保持架動態特性的影響

對以下2種工況分析彈性環結構參數對外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承保持架打滑率的影響：1） 變轉速工況，徑向載荷為5 kN，轉速在0.13～0.14 s從6 000 r/min升至10 000 r/min，在0.15 s開始下降，并在0.16 s 時降至6 000 r/min；2） 沖擊載荷工況，轉速為7 000 r/min，初始載荷為5 kN，在0.13～0.14 s 受到10 kN 的沖擊載荷，0.15～0.16 s沖擊載荷消失，徑向載荷返回至5 kN。

2.3.1 彈性環凸臺寬度

彈性環一側凸臺數量為8，凸臺高度為0.36 mm，彈性環凸臺寬度分別為5，7，9，11，13 mm。

彈性環凸臺寬度對保持架打滑率的影響如圖16 所示：在平穩階段，保持架打滑率在凸臺寬度為11 mm 時最??；在變轉速和沖擊載荷工況下，保持架打滑率的變化量在凸臺寬度為11 mm時最小。說明在凸臺寬度為11 mm 時阻尼效果最佳。

圖16 凸臺寬度對外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承保持架打滑率的影響Fig.16 Influence of boss width on cage slip rate of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring

彈性環凸臺寬度分別為5，11 mm 時，變轉速和沖擊載荷工況下保持架的質心軌跡分別如圖17、圖18 所示：凸臺寬度越大，保持架質心軌跡越穩定，保持架打滑率越小。

圖17 變轉速工況下凸臺寬度對外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承保持架質心軌跡的影響Fig.17 Influence of boss width on cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under variable speed condition

圖18 沖擊載荷工況下凸臺寬度對外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承保持架質心軌跡的影響Fig.18 Influence of boss width on cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under impact load condition

產生上述現象的原因為：過小的凸臺寬度導致彈性環剛度過小，彈性環的支承剛度在圓周上分布不均，這會使ERSFD的阻尼效果減弱，油膜力減弱，軸承穩定性降低，保持架打滑率增大，保持架質心軌跡混亂。

2.3.2 彈性環凸臺數量

彈性環凸臺寬度為5 mm，凸臺高度為0.36 mm，彈性環一側凸臺數量分別為8，10，12，14，16。

彈性環凸臺數量對保持架打滑率的影響如圖19所示：在平穩階段，保持架打滑率在凸臺數量為12時最小；在變轉速和沖擊載荷工況下，保持架打滑率的變化量在凸臺數量為12時最小。說明彈性環凸臺數量為12時阻尼效果最好。

圖19 凸臺數量對外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承保持架打滑率的影響Fig.19 Influence of boss number on cage slip rate of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring

凸臺數量分別為8，12 時，變轉速和沖擊載荷工況下保持架的質心軌跡分別如圖20、圖21 所示：凸臺數量越多，保持架質心軌跡越穩定，保持架打滑率越小。

圖20 變轉速工況下凸臺數量對外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承保持架質心軌跡的影響Fig.20 Influence of boss number on cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under variable speed condition

圖21 沖擊載荷工況下凸臺數量對外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承保持架質心軌跡的影響Fig.21 Influence of boss number on cage centroid track of cylindrical roller bearings with ERSFD on outer ring under impact load condition

隨著凸臺數量的增大，凸臺的間距減小，彈性環剛度增大，說明改變彈性環凸臺數量與凸臺寬度時，保持架打滑率與質心軌跡的變化規律一致。

3 結論

建立了外圈帶有ERSFD的圓柱滾子軸承動力學分析模型，分析轉速、沖擊載荷以及彈性環結構參數對保持架動態特性的影響，得到以下結論：

1）在相同工況下，外圈帶有ERSFD 的圓柱滾子軸承的保持架打滑率比普通圓柱滾子軸承的小，運行更穩定。

2）轉速和沖擊載荷對外圈有無ERSFD的圓柱滾子軸承保持架動態特性均影響較大。隨著變轉速峰值的增大，保持架打滑率逐漸增大；隨著沖擊載荷峰值的增大，保持架打滑率逐漸減小。

3）隨著凸臺寬度和凸臺數量的增大，保持架打滑率均先減小后增大；過大或過小的的彈性環剛度會使ERSFD 的阻尼作用降低，所以要選擇合適的彈性環結構參數。在此模型中最優參數為：凸臺寬度5 mm、凸臺數量12。