多元表征：讓概念生長“看得見”
——對“長方形和正方形的認識”的幾點思考

江蘇省常州市戚墅堰東方小學 王 莉

數學多元表征是指同一數學學習對象的多種表征形式。通俗地講，就是在數學教學過程中用圖形表征、情境表征、文字表征、語言表征以及符號表征等形式促進學生高階思維的發生，啟發學生思維顯性化，不斷提升他們的數學思維品質。基于此，本文將重點聚焦多元表征，圍繞讓概念生長“看得見”展開探究。

一、情境表征：喚醒學生經驗表達

情境表征是指對指定對象在操作以及日常環境中事件之間關系的表征，即創設一個情境。在教學引入部分，引導學生建立建構概念，過程中運用情境表征，實現表征的相互轉化，喚醒學生的經驗表達。

如從心理維度看，情境表征可以將原本比較抽象的數學知識轉化成可以看見的內容。在教學“長方形和正方形的認識”時，教師為了更好地激活學生的前置思維，在本課教學的引入部分，也就是在第一板塊（游戲導入，激活經驗）中，通過有趣的情境來幫助學生形成學習平面圖形的基本思路，運用游戲活動來喚醒學生的思維。教師從學生已經認識的平面圖形入手，通過演示文稿（PPT）展示，提問學生這些都是什么圖形。學生會根據PPT 展示的內容依次說出這是長方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形、圓形。緊接著，教師把學生已經認識的這些多邊形和圓形放在盒子中（PPT 顯示把平面圖形收進去），玩“摸長方形”的游戲，第一次追問：摸出的這個圖形會是長方形嗎？學生在第一次摸圖形的過程中進行判斷（露出的是個半弧形），通過觀察發現可能是一個圓。教師追問其判斷的依據，同時在第一次摸圖形的過程中進行小結：大家是通過觀察“邊”來判斷的。接著，PPT 中露出了一個直角，教師第二次追問：這會是長方形嗎？你們又是怎樣判斷的呢？學生根據出示的圖形再次進行判斷，可能是三角形、梯形、長方形、正方形。教師此時進行第二次小結：大家是通過觀察“角”來判斷的。從而進一步引導學生學習，要準確地認識一個平面圖形既要觀察邊的特點，又要觀察角的特點。

通過情境表征，很快對接了學生的已有認知，喚醒了學生的表達經驗，讓學生清楚了觀察平面圖形要從邊和角這兩個要素入手，為后續學習其他平面圖形埋下了伏筆，指明了學習的方向，也建構了知識學習的邏輯，有利于提升學生的數學思維能力。數學知識點是螺旋上升、逐漸再現的，教師只有引領學生建構知識的體系，形成知識之間的聯系，學生才能學會學習。

二、語言表征：助力學生自主學習

語言表征就是一個數學思維呈現的過程，而數學思維是以數和形為主體、以語言和符號為載體，并以認識和探索數學規律為目的的一種思維方式。教師在教學圖形概念時，除了要讓學生掌握基本數學知識外，更重要的是幫助學生提升思維品質和數學素養，學會用數學的語言進行表達，幫助學生形成主動學習和研究的心態。同時，在教學中還要創設問題情境，以真實任務驅動開展探究活動，在研究的過程中引導學生積極參與、體驗感悟，獲得有意義的學習經驗。在整個探究的過程中，教師應通過調動學生的多重感官參與思維的發生、發展與表達過程，用語言表達、文字描述、動手操作與實踐展現自己的思維過程，外化思維表征。而學生的思維表征可以成為教師和學習伙伴觀察、理解、觸摸的教學資源，同時有利于教師進行現場教學分析診斷、及時回應并對教學路徑做出適當的調整。

如從智力維度來看，語言表征是智力層面的建構，能將學生對數學知識的理解表征化。教師通過思維方式的傳遞，讓學生主動學習，同時以學生的生活經驗為元素，采用活動的形式，展示其思維過程，讓概念學習更加地真切。如在“長方形和正方形的認識”一課中，為了讓學生更全面地認識長方形和正方形，在提出猜想、實驗驗證、得出結論這一環節，教師首先從學生已有的知識和經驗出發，激活學生對長方形和正方形的初步認知。教師提出問題：長方形和正方形是我們比較熟悉的圖形，誰來說一說長方形、正方形的邊和角各有什么特點？學生根據已有的經驗說道：“長方形的邊有長有短，正方形的四條邊一樣長，長方形和正方形四個角都是直角。長方形上邊等于下邊，左邊等于右邊。”這樣，教師引出對邊的概念，上邊和下邊是相對的，數學中將其稱為一組對邊，隨即追問：長方形中還有其他的對邊嗎？用手比畫比畫。學生說左邊和右邊也是一組對邊，教師又問長方形中有幾組對邊。同時，教師告知學生，像這樣上邊等于下邊、左邊等于右邊，我們也可以說對邊相等。最后提出疑問：這只是同學們的一種感覺，對邊相等，四個角都是直角，這是長方形的特征，是嗎？從而引發學生的進一步思考。教師提出“這只是一種猜想，還需要驗證”，接下來為學生準備大小不同的長方形，讓其驗證。

在學生從邊和角這兩個維度進行觀察后，教師進一步引導學生對長方形和正方形的特征進行深度思考，并讓學生在學習中沿著正確的數學研究思路，經歷“猜想—驗證—結論”的完整思考過程。在教學中，教師通過一個學習活動展開研究，首先讓學生運用量一量、折一折、比一比的方法說說剛才的想法是否正確，其次比一比誰的驗證方法多，最后和同桌交流自己的驗證方法。學生根據這三個活動要求展開活動，在學生體驗驗證后教師追問：你們是從哪個角度驗證的？驗證了什么？怎么驗證的？得出了怎樣的結論？學生會從兩個方面進行匯報：首先，驗證邊，測量出每條邊的長度，同時通過其他學生的測量數據，得出對邊相等的結論。教師追問：除了用測量的方法，還可以用其他的方法驗證長方形的對邊相等嗎？你們又是怎樣驗證的？學生補充匯報：還可以通過折一折來驗證長方形對邊相等，上下對折、完全重合，說明上邊等于下邊；左右對折，完全重合，說明左邊等于右邊。因此，長方形的對邊相等。其次，驗證角，剛剛通過量一量、折一折的方法驗證了長方形對邊相等這個結論，學生又用比一比的方法，拿直角三角板的一個直角與長方形四個角比一比，四個角都是直角，可以驗證長方形四個角是相等的。教師通過學生的學習活動展示，總結：剛才大家通過量一量、折一折、比一比的方法找到了長方形和正方形邊的特點和角的特點，在數學中長方形較長的邊稱為長，較短的邊稱為寬。

在上述整個教學過程的推進中，學生運用語言表征把動手操作的、腦中所思所想的表達出來，通過語言進行思維的外延，培養了學生主動實踐的能力，進而總結概括得出結論，并在體驗活動中提煉數學思想方法，形成學習圖形的一般學習路徑，從一節課的學習延展到一類課的研究，真正激活了學生的數學思維。

三、圖形表征：激活學生創新思維

圖形表征是指學生在解決問題的過程中，借助實物或者運用畫圖的方式，拼出或者畫出與題意相關的圖形或圖案，進而更加直觀地理解知識背后蘊含的道理。

如從效能維度看，在“長方形和正方形的認識”一課中，在學生認識了長方形和正方形，形成了數學思想方法以及思維結構后，教師就可以讓學生在掌握基本知識、基本技能的基礎上，進行創造性的學習，從而提升解決問題的能力。在教學中，從創造小能手和整理關系兩個維度進行思考。創造小能手方面，教師和學生進行對話：大家已經對長方形和正方形的特征有了深入的了解，想不想動手創造幾個呢？運用老師給大家準備的釘子板、三角板和方格紙這些工具和材料，結合活動要求進行創作。學生通過圍一圍、拼一拼、畫一畫制作出長方形和正方形，再把創作的方法和同桌分享交流。在學生充分探究后，教師運用圖形表征分別從畫一畫、拼一拼、圍一圍等方面對學生的思維進行激活，讓學生介紹各種創作的方法和過程。經歷了正向的思維過程，再進行關系的整理，對長方形和正方形的特征進行深入的辨析，教學中學生根據教師出示的信息，在作業紙上繪制，從文字抽象到圖形的具象，形成對長方形和正方形特征的靈活判斷，充分感悟了正方形是特殊的長方形，并用集合圖的形式來表示它們的關系。

通過這樣的兩組不同的練習設計，還存在疑惑或者學習困難的學生，對長方形和正方形的特征也有了更深刻的認識，從抽象到具象，再從具象到抽象建立長方形和正方形的本質概念，將文字轉化為圖形，通過圖形內化理解了長方形和正方形的特征，從而進一步實現對長方形和正方形的特征的理解；而集合圖的出示讓學生進一步形象地感悟長方形和正方形之間的關系，提升了學生提出問題、分析問題的能力，在教學過程中關注了學生空間觀念、推理意識和創新意識的培養。綜上所述，多元表征能立足于概念課型，在真實的活動中讓概念生長“看得見”，更好地為學生的思維成長注入活力。