聲空化氣泡的KM-NASG動力學模型

烏日樂格，那仁滿都拉

（內蒙古民族大學 物理與電子信息學院，內蒙古 通遼 028043）

在聲空化的研究中，一般情況下都采用范德瓦爾斯（VdW）方程、Tait方程等狀態方程。比如，YUAN等［1］討論液體的可壓縮性、熱傳導、狀態方程（VdW狀態方程以及M狀態方程）、表面張力、氣泡含量對聲致發光熱力學和流體動力學的影響，并與RP方程、Keller-Mirsis（KM）方程和Gilmore 方程耦合的數值結果，對聲致發光氣泡的氣體動力學進行了研究。盧義剛等［2］利用Gilmore方程與修正的Tait狀態方程相結合，研究了超臨界二氧化碳流體中聲空化氣泡的特性。SHEN等［3］利用KM方程與VdW狀態方程相結合，研究了空化氣泡壁處液體溫度的空間分布。DEHANE等［4］利用修正的KM方程和VdW狀態方程相結合，研究了環境壓力對氣泡聲化學的影響。徐珂等［5］利用修正的KM方程與VdW狀態方程相結合，研究了超聲驅動下考慮水蒸氣蒸發和冷凝的球狀泡群中泡的動力學特性。2016年，LE等［6］提出了一個狀態方程，即Noble-Abel-Siffend-Gas（NASG）狀態方程。隨之，DENNER［7］利用Gilmore方程和NASG狀態方程相結合后建立了Gilmore-NASG模型，并與Gilmore-Tait模型相比較發現，Gilmore-NASG模型更適合于研究周圍液體對氣泡空化特性的影響。鄭雅欣等［8］利用Gilmore-NASG 模型，在考慮液體可壓縮效應的邊界條件下，研究了可壓縮液體中氣泡的聲空化特性。

筆者在考慮傳質傳熱和擴散效應的情況下，利用能夠統一描述氣態、液態及氣液混合態的NASG狀態方程并與修正的KM方程相結合，建立新的KM-NASG模型。利用新模型，數值研究空化氣泡的半徑、速度、壓力、分子數、內能、溫度及馬赫數的變化，并對所得結果與KM-VdW 模型給出的結果進行比較分析。

1 氣泡動力學模型

1.1 KM-NASG模型的建立

1.1.1 修正的KM方程

YASUI［9］在考慮空化氣泡內氣體蒸發和冷凝情況下，修正KM方程，得到了修正的KM方程如下

式（1）中，小黑點表示對時間導數，R為氣泡的瞬時半徑，為空化氣泡的單位時間單位面積上的蒸發和冷凝速率，Cl、ρl,i(ρl,∞) 分別表示氣泡壁處液體中的聲速、液體（無窮遠處）的密度，Ps=-Asin(2πf(t+R/Cl))為作用于氣泡的驅動聲壓。在本文公式中，下角標l表示液體相關的量，下角標g表示氣體相關的量。其中，氣泡壁處液體壓力Pl與氣泡內氣體壓力Pg有關，它們的關系為

式（2）中，Pg為氣泡內氣體壓力，σ為液體表面張力，μ為液體黏性系數，ρg為氣泡內氣體密度。

1.1.2 NASG狀態方程

用LE等［6］給出的Noble-Abel-Stiffened-Gas（NASG）狀態方程（3）來描述［6］

式（3）中，P為壓力、γ為熱容比、CV為定容熱容、T為溫度、b為分子共體積、B為壓力常數、v為比容，與密度的關系為v=1/ρ。根據聲速定義和狀態方程（3），氣泡壁處液體中的聲速Cl可表示為

通過狀態方程（3），可得到氣泡壁處液體密度：

和氣泡內氣體和水蒸氣的壓力：

式（6）中，x=Ar,H2O 分別表示氣泡內氬氣和水蒸氣（本文假設氣泡內含有氬氣和水蒸氣），Nx為氣泡內氣體分子數，NA是阿伏加德羅常數，Mx為氣泡內氣體摩爾質量，Tg為氣泡內氣體溫度，V為氣泡體積，ΔCx為氣泡內氣體的定壓熱容和定容熱容之差，定壓熱容和定容熱容可用文獻［10］給出的表達式計算。bg,x和Bg,x分別為氣體分子共體積和壓力常數［11］。

1.1.3 氣泡內水蒸氣蒸發和冷凝

氣泡內單位時間單位面積上的蒸發和冷凝速率由氣體動力學理論導出的Hertz-Knudsen公式計算［12］：

式（7）中，α為常數（α=0.4），(Ts)為分子平均速度，ρg,H2O(R)為水蒸氣密度，為飽和水蒸氣密度。因此，水蒸氣的蒸發和冷凝引起的分子數的變化可表示為

1.1.4 氣泡內氣體擴散

氣體從氣泡內部擴散到周圍液體所引起的氣體分子數的變化可由Epstein-Plesset 理論中所用的氣體擴散方程來表示［13］：

式（9）中，DAr為氬氣的擴散系數，cs、c∞分別為氣體的平衡濃度、氣體的飽和濃度。

1.1.5 氣泡內外熱量傳導

氣泡內外的熱交換量由下式計算［12］：

式（10）中，lth為熱邊界層厚度，χ為邊界層的熱擴散率，λ為混合氣體的熱導率。

1.1.6 氣泡內氣體溫度

由于氣泡的內能是溫度和體積的函數［13］：

根據恒定體積下摩爾熱容的定義，下列關系成立：

對于NASG狀態方程來講，式（11）中的第2項變為：

把式（12）和式（13）代入式（11）并進行積分，可得到氣泡內能的表達式：

其中，E為氣泡內氣體內能，CV,H2O(T)、CV,Ar(T)分別為水蒸氣和氬氣的定容摩爾熱容［10］。利用氣泡內能公式（14）并結合熱力學第一定律，可計算出氣泡內氣體的溫度。

1.1.7 氣泡內氣體內能

根據熱力學第一定律，把內能變化表示為［12］

式（15）中，等式右端第1項表示氣泡內壓力做功所引起的能量變化；第2項表示氣泡周圍液體的水分子蒸發成水蒸氣和氣泡內的水蒸氣分子凝結到液體中所攜帶的能量變化；第3 項表示熱傳導引起的能量變化；第4項表示氣泡內氣體分子擴散所引起的能量變化。綜合上述方程（1）～方程（15）就構成了空化氣泡的封閉運動方程組，即筆者建立的研究空化氣泡動力學特性的KM-NASG模型。

1.2 KM-VdW模型

所謂的KM-VdW模型是修正的Keller-Miksis（KM）方程與范德瓦爾斯（VdW）狀態方程相結合的模型［12］。此模型中使用的動力學方程也是修正的KM方程（1），而狀態方程是VdW狀態方程：

式（16）中，Pg為氣泡內氣體壓力，Tg為氣泡內氣體溫度，，V為氣泡體積，a和b為范德瓦爾斯量。

利用氣泡內能的公式（17）并結合熱力學第一定律，可計算出氣泡內氣體溫度。

此外，KM-VdW 模型中液體中的聲速和液體密度取為常數，其他各量的計算公式和表達式與KMNASG 模型中所用的相同。因此，KM-NASG 模型與KM-VdW 模型相比，主要區別是所使用的狀態方程以及由狀態方程導出的液體中的聲速表達式、液體密度表達式以及泡內溫度的計算公式不同，其他各量的表達式和計算公式都相同。

文中給出的新模型與原有模型相比：（1）所用的NASG狀態方程既簡單又能準確描述氣態、液態及氣液混合態；（2）計算時使用了更為簡單的Hertz-Knudsen公式；（3）用NASG狀態方程直接表達出了液體聲速和密度的變化；（4）熱容的表達式與YASUI［9］用的不同，使用了由氣體液體分子理論得到的熱容表達式。

2 數值模擬

文中選擇水為液體介質，氣泡內氣體為氬氣和水蒸氣，空化氣泡的初始半徑為R0=4.5 μm，驅動聲壓振幅為A=1.275 P0，驅動頻率為f0=26.5 kHz。用2種模型計算時所用的相關物理參數為：MAr=0.04 kg·mol-1，MH2O=0.018 kg·mol-1，T0=300 K，μ=0.001 Pa·s，σ=0.072 75 N·m-1，P0=1×105Pa，γl=1.19，CVl=3 61 0 J·kg-1·K-1,bl=6.675 3×10-4m3·kg-1，Bl=6.154 7×108Pa，Bg=0 Pa，aH2O=5.537×10-1J·m3·mol-2，aAr=1.355×10-1J·m3·mol-2，bH2O=3.049×10-5m3·mol-1，bAr=3.201×10-5m3·mol-1。

3 結果與分析

圖1（a）為氣泡半徑的變化，可看出，當使用KM-NASG模型時，計算得到的崩潰深度約為0.856 9 μm，當使用KM-VdW模型時，計算得到的崩潰深度約為0.721 5 μm（圖1（a））。KM-NASG模型的崩潰深度較淺的原因是因為新模型相比于KM-VdW模型更充分考慮了氣泡周圍液體的可壓縮性（液體密度是可變的），能夠讓氣泡周圍的可壓縮液體吸收部分入射聲波能量，輻射出更多的聲波能量，起到了像“彈簧”的作用。這與文獻［1］給出的現象解釋是一致的。圖1（b）為氣泡壁速度隨時間的變化。對比發現，KMNASG 模型給出的崩潰速度和回彈速度均大于KM-VdW 模型給出的相應值。可知，崩潰深度較淺的氣泡，氣泡的崩潰速度也減小；回彈半徑較大的氣泡，氣泡的回彈速度也較大。

圖1 氣泡脈動過程中氣泡半徑和氣泡壁速度隨時間的變化Fig.1 The change of bubble radius and bubble wall velocity with time during bubble pulsation

圖2（a）和圖2（b）為氣泡內氣體壓力和溫度隨時間的變化。2種模型對比可看出，KM-NASG模型計算出的氣泡內壓力峰值大于KM-VdW模型給出的壓力峰值；并且用KM-NASG模型預測出的溫度高，相比于KM-VdW模型給出的溫度約增加了20%，約達到14 409 K。這是由于2種模型所使用的狀態方程不同，導致KM-NASG模型給出的氣泡內壓力和溫度增大。

圖2 氣泡脈動過程中氣泡內氣體壓力和氣泡內溫度隨時間的變化Fig.2 The change of gas pressure and temperature in bubble with time during bubble pulsation

圖3（a）和圖3（b）為氣泡內水蒸氣分子數和氬氣分子數的變化。氣泡崩潰時由于氣泡內壓力突然增加，導致水蒸氣分子數和氬氣分子數減少，也就是氣泡內總氣體含量減少，但是2種模型所使用的狀態方程不同，導致KM-NASG模型的水蒸氣分子數增大、氬氣分子數增大。圖3（c）為氣泡內能的變化。可以看出，氣泡崩潰時氣泡內壓力突然增加，使得泡內壓力所做的功迅速增大，導致氣泡內能迅速增加。此時，雖然有泡內熱量向周圍液體的傳導、泡內水蒸氣的凝結和氬氣的擴散等引起的能量損失，但這些損失的影響遠小于泡內壓力所做的功引起的氣泡內能的增大，所以KM-NASG模型給出的氣泡崩潰時的內能大于KM-VdW模型給出的值。

圖3 氣泡脈動過程中氣泡內氣體分子數和氣泡內能隨時間的變化Fig.3 The changes of the number of gas molecules and the internal energy of the bubble with time during bubble pulsation

圖4（a）和圖4（b）為氣泡壁處液體中聲速和液體密度的變化。可以看出，KM-NASG模型給出的氣泡壁處液體中聲速和液體密度在氣泡崩潰時迅速增大，而KM-VdW模型給出的氣泡壁處液體中聲速和液體密度在整個空化過程中是不變的量。圖4（c）是液體馬赫數的變化。對比可知，KM-NASG模型計算出的液體馬赫數小于KM-VdW模型給出的液體馬赫數。這是因為在氣泡崩潰時，KM-NASG模型給出的氣泡壁處液體中聲速較高而有效地降低了氣泡壁處液體馬赫數變大的可能。

圖4 氣泡脈動過程中氣泡壁處液體中的聲速、液體密度和液體馬赫數隨時間的變化Fig.4 The change of sound velocity，liquid density and liquid Mach number at the bubble wall with time during bubble pulsation

通過以上的分析可以看出，新建立的模型與原有的其他模型相比，使用形式更簡單的NASG狀態方程直接表達出了氣泡周圍液體密度和液體中的聲速；使用更簡單的Hertz-Knudsen公式表示了水蒸氣的蒸發和冷凝速率。由此，筆者建立的新模型具有使用簡便且不失準確性的特點，更便于研究和處理聲空化問題。

4 結論

結合NASG狀態方程和修正的KM方程，建立了研究具有傳質傳熱及擴散效應的聲空化氣泡的新模型。利用新模型分別計算了氣泡半徑、速度、內能、壓力、溫度、分子數、馬赫數以及氣泡壁處液體密度和液體中的聲速隨時間的變化。相比于KM-VdW 模型給出的結果，用KM-NASG 模型計算得到的氣泡崩潰深度略淺，內能、溫度、液體中的聲速和液體密度、壓力峰值變大，馬赫數變小。通過對聲空化具體問題的應用可看出，建立的新模型使用簡便且不失準確性，對空化氣泡內溫度和壓強的計算，周圍液體密度、壓強以及液體中的聲速與馬赫數的計算等方面有其優點。