做數學:培養學生高階思維的有效途徑

王凌逸　李明樹

[摘? 要] 做數學是以“做”為支架，讓學生通過觀察、假設、思考、實踐等活動，發現數學規律、獲得數學概念、應用數學知識的一種有效的數學學習方式，是為了探尋數學知識，檢驗數學結論或猜想，從而進行的實驗操作或思維活動. 它改變了數學知識的形態，改進了學生學習的方式，促進了學生認知和情感的和諧發展，是培養學生高階思維的學科實踐. 文章以“三角尺拼角”為例，談談如何引導學生在做數學的過程中經歷操作、觀察、猜想、實踐、歸納、驗證、探究的學習歷程，旨在激發學生的數學興趣，培養學生的高階思維，提升學生的數學素養.

[關鍵詞] 做數學;高階思維;三角尺拼角

緣起

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程實施教學建議中指出：數學教學應結合具體的教學內容，關注學生，使其在獲得間接經驗的同時，也能獲得直接經驗. 引導學生通過實踐、思考、交流、探究等方式，能主動地、富有個性地學習，不斷提高發現問題、分析問題和解決問題的能力[1]. 對于“三角尺拼角”中蘊含的知識、方法，學生理解、掌握的知識與能力不夠，需要在教師適時引導、同學合作交流的氛圍中理性探究，方能掌握知識、關注本質、理解原理、形成能力.

在課堂教學中，教師要引導學生在操作中經歷觀察、抽象、建模的數學學習過程，通過“拼角”準確地畫圖、計算，探索出給定三角尺的角度和能拼出的角度之間的關系. GeoGebra的直觀演示，裴蜀定理的理性證明，能增強學生解決數學問題的能力，能培養學生的高階思維.

課堂回放

1. 拼角、疊角、畫角，訓練高階思維的廣度

課例以“三角尺拼角”入手，引導學生在已有知識體系的框架下初步探究角的和差關系，逐步深入理解拼角的本質;讓學生動手做數學，在“做”中思考，在“做”中積淀;引導學生在觀察、分析、抽象、推理、歸納的過程中訓練高階思維的廣度.

【情境引入】

教學時，由國家寶藏《伏羲女媧圖》引出“規”和“矩”，讓學生感受數學工具的演變與發展過程，從而自然地過渡到直角三角尺. 教師提問學生對三角尺的認知，探究為何三角尺要設計成30°，45°，60°，90°的特殊角度. 課件展示三角尺中的直角與生活密切相關，而特殊角度來源于常見的等邊三角形和正方形……直觀的圖片與數學文化知識，充分地調動了學生學習數學的興趣，也讓他們切實地感受到：數學源于生活、用于生活.

列舉常見的數學工具：直尺、圓規、量角器、三角尺. 通過畫19°，30°，15°角需要使用的數學工具，引出用一副三角尺進行特殊擺放，可以得到新的角度，自然揭題“三角尺拼角”.

設計意圖? 從敦煌壁畫《伏羲女媧圖》開始，通過圖片展示，引出數學工具，用問題驅動教學，引領學生的興趣探究，滲透用數學的眼光看待世界的思想.

【三角尺拼角】

活動一：拼一拼，擺一擺.

（1）一副三角尺任意擺放，還可以得到哪些新的角度？

15°，75°，105°，120°，135°，150°，180°（學生上臺擺放）.

（2）學生通過“圖形拼疊”與“數字加減”間的關系，初步感悟數形結合思想.

（3）將能拼出的角度從小到大排列，發現規律.

（4）發現所拼的角都是15°角的整數倍，引導學生發現少了一個165°的角.

設計意圖? 讓學生在拼圖這類做數學的過程中，溫習角的相關概念，認識并理解角與角的“和差”關系，初步感受數形結合思想. 學生利用三角尺得到新的角度，發現這些角度都是15°的整數倍，這里既有“形”的構建，又有“數”的探究. 數學實驗的關鍵在于聯結“經驗”和“思維”，實現建立在經驗直觀之上的抽象[2]，這些都是培養高層次思維能力的基本要素.

活動二：畫一畫，疊一疊.

（1）用一副三角尺畫出165°的角.（如圖1所示）

（2）用一副三角尺擺出165°的角.（如圖2所示）

（3）小結：通過加減運算可以得到的數，拼疊操作也一定可以得到這樣的角.

設計意圖? 通過做數學，學生經歷了觀察、分析、驗證等探究活動，變整體化學習為個性化學習. 在“拼一拼”“疊一疊”的實踐操作中，學生初步體會到了拼角能拼出來的角，就是角度通過加減運算所能得到的角. 通過做數學，學生了解了“數”與“形”之間的轉換.

2. 探究、論證、歸納，提升高階思維的深度

高階思維和任何一種技能一樣，需要不斷地鍛煉. 觀察事物：接受事物的一切信息;分析論證：深入思考，多角度實踐;歸納總結：得出猜想、實踐、論證后的成果. 學生在不斷的“輸入”“思考”“實踐”“輸出”循環往復中，能提升高階思維的深度.

【模板畫角】

活動三：畫一畫，論一論.

（1）任意設計2個模板畫出1°的角.

（2）指定2個17°、19°的模板畫出1°的角.

設計意圖? 拼角的關鍵是如何運用所給兩個數字進行運算. 活動3能實現數形結合思想的逐步滲透，體現了“做中想”“想中做”“邊做邊想”“邊想邊做”的深度學習理念. 這一環節主要是發展學生的建構能力，需要學生將17°，19°角的模板通過拼或疊，最終建構出1°的角，而建構能力也是高階思維能力的一個重要組成部分，由此能提高學生的高階思維能力.

（3）分組討論：任意給定的兩個模板，求可以畫出的最小角.

第一組：3°和 7°;

第二組：5°和 20°;

第三組：14°和 21°;

第四組：16°和 24°.

設計意圖? 在前面數與形的經驗的積累下，學生能快速地找出各組所能拼成的最小角. 然后通過四組數據，歸納出結論：

對整數角m，n進行有限次拼疊操作，一定可以得到m，n的最大公因數d的整數倍的角.

這個結論也對接下來的活動產生了推動作用. 在從特殊到一般的思考過程中，教師引領學生發現規律，并用文字表述出來，從而揭示問題的本質，發展學生解決問題的能力. “學習的最高境界在于運用”，解決問題則是高階思維的高位形式.

（4）利用1個19°的模板畫出1°的角.

生：19×19°=361°，361°-360°=1°.

師：（小結）為什么1個19°的模板也能畫出1°的角？

生：19°是顯性角度，360°是隱性角度，這個問題可以等價于求19和360的最大公因數.

生：只要有一個角，就可以利用它的一條邊畫出直線，得到180°的平角，所以這個問題也等價于求19和180的最大公因數1.

【GeoGebra演示】

GeoGebra動態演示，能讓學生直觀感受利用19°畫1°的過程，深入理解能畫所有整數角的原因. 學生通過觀看19°和360°角的多次拼疊過程，讓自己的猜想、推理得以論證（如圖3和圖4所示）.

師：如果想利用一個角度模板m畫出任意角度，m需要滿足什么條件？

生：m和360的最大公因數是1.

師：把剛才走的每一步由直線變成曲線在圓內跳動，就可以得到我們熟悉的圖形——繁花曲線（如圖5和圖6所示）.

設計意圖? GeoGebra多角度動態的拼疊展示，能讓學生直觀地感受到“19°角是如何拼出1°角的”“為什么可以拼出任意的整數角”“怎樣的角在經過反復地拼疊操作后，可以拼出1°的角”“普通的角度折疊如何演變成廣泛運用于人民幣中的繁花曲線圖象”……這里的思維跳躍很大，也是從形到數的歸納理解的提升，從中學生感受到了數學來源于生活，又服務于生活.

【內化升華】

實踐論證，數與形是可以相互轉化的. 教師嘗試提升結論，從“形”的角度到“數”的角度的概括：

[

對整數角m，n進行有限次拼疊操作，一定可以得到m，n最大公因數d的整數倍的角.

?

對整數m，n進行有限次加減運算，一定可以得到m，n最大公因數d的整數倍的數. ]

這個從“形”到“數”的性質的升華，正是高等數學中數論里很重要的裴蜀定理，是十八世紀法國數學家艾蒂安·裴蜀所創. 這樣的教學，能讓學生感受到高等數學也不是那么遙遠，只要用心探究，大膽猜想，小心驗證，就一定有所收獲. 而這一定理，待學生學習了二元一次方程，還可以表述成：“關于x，y的二元一次方程mx+ny=kd（k為整數），一定有整數解. ”把m，n看成角度模板，其最大公因數為d，x和y則表示有限次的加減運算序數.

最后以經典的“韓信走馬分油問題”結尾，既論證了結論，又讓學生感受到數學知識從實踐中來，到實踐中去，加深了學生對這個定理的理解，還讓學生對做數學的興趣更加濃厚了.

思考

本次做數學通過問題驅動法引領學生經歷拼角、疊角、畫角、探究、論證、歸納的過程，問題由簡單到復雜，內容從具體到抽象，教學思路清晰明了，教學設計環環緊扣，知識螺旋遞進，思維拾級而上，而這一切，做數學功不可沒.

1. 做數學，讓課堂教學突出重點、突破難點

新課改要求學生從被動接受式學習向主動探索型學習轉變，倡導樂于參與、勤于探究、勇于實踐. 在課堂教學中，重點如何突出，難點如何突破？假如教師適當借助一定的數學實驗活動，定能既加強學生的基礎性學力，又能提高學生的發展性學力和創造性學力，從而培養學生終身學習的能力.

要拼出15°，75°，105°，120°，135°，150°，180°的角，借助三角尺，學生能輕易地完成，但他們卻被如何拼出165°的角給難住了. 在教師的適時引導下，學生動手操作，探究發現，在“形”的拼、疊下，在“數”的加、減中，難點迎刃而解.

做數學，活動目的明確了，主題切入點找準了，理解數學，理解教學，理解學生，教學設計化繁為簡，不停留在表面，并進行融會貫通，定能讓課堂活潑靈動，充滿智慧.

2. 做數學，讓學生學會發現、善于歸納

做數學，追求的是理解、發現和創造，其并不聚焦于教師的教學行為，而是聚焦于學生的學習品質. 學生在實驗情境中的“做中學”，對問題發現、解決、引申、變換等過程的實驗模擬和探索，促進了高階思維的深刻性和歸納性.

在小組探究這一環節，學生通過仔細觀察、合作探究、大膽猜測、小心求證，歸納出“對任何整數角m，n和它們的最大公因數d，一定可以通過角m，n進行有限次的拼疊操作，得到任意d的整數倍的角”這一結論. 絢爛的繁花曲線，直觀而精彩的GeoGebra演示，讓學生們的課堂不只是教室，而是進入到一個更廣闊的世界——在學習初等數學的同時，卻滲透了高等數學的內容. 從“角”的發現到“數”的定理，這是質的飛躍.

俗話說“眼過千遍，不如手過一遍”，數學課堂不應讓學生生搬硬套公式、定理，而要注重知識的生成過程，教師應想方設法為學生提供素材，讓學生通過實際操作去探索、去發現、去猜想、去驗證、去證明、去解決問題，教師要鼓勵學生通過合作探究獲取知識，理解知識的本質，從而進行深度學習，培養高階思維.

3. 做數學，讓數學內涵始于生活、用于生活

知識是發現的對象、實驗的基礎、方法的載體. 學生在學習數學的過程中，往往需要利用已有的知識和方法，通過觀察、實驗、分析、歸納，發現數學特征，揭示數學本質. 但義務教育階段的學生卻是通過“課堂聽、反復記、重復練”來學習數學，缺乏對數學知識本源的理解，缺少對數學思想方法的感悟，對數學學習也普遍缺乏熱情.

數學是研究數量關系和空間形式的科學，而數量關系大多來源于生活，所以教師在教學時不應只關注成績單上的分數，更重要的是要教會學生用數學的眼光看待生活，用數學的思維思考問題，用數學的語言表達情感.

數學文化，古今中外，源遠流長. 從古代的矩到現代的尺，從華夏的“韓信走馬分油”到國外的“裴蜀定理”……通過做數學，學生由“聽”數學變為做數學，由“被動接受”變為“主動探究”;通過做數學，學生獲得如何探究、如何發現的方法感悟，實現了接受式、思辨式學習向探究式、體驗式學習的轉變;通過做數學，學生經歷了動手操作、用眼觀察、提出猜想、驗證結論等環節，充分體驗到了“知識是什么”“知識從何而來”“知識向何而去”的完整數學學習過程，獲得了如何探究、如何發現的方法論感悟，實現了被動學習方式向體驗式、探究式學習方式的轉變[3].

學生在做數學中體驗到了發現的樂趣，感悟到了數學的真諦，發展了數學思維和智慧，提高了數學能力，培養了高階思維，全面發展了核心素養. 這也是我們數學教育者永遠的追求.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]林松. 關于數學實驗的理性思考與實踐[J]. 數學教學通訊，2019（32）：5-6+29.

[3]董林偉. “做數學”：中小學生適合教育的實踐構建[J]. 教育研究與評論，2021（03）：16-21.

基金項目：蘇州市教育科學“十四五”規劃2022年度立項課題“初中數學‘做中學體系的構建研究”（2022/LX/02/166/09），江蘇省教育學會“十四五”教育科研規劃課題“指向核心素養的初中數學混合式教學實踐研究”（22A11SXSZ295），蘇州工業園區基礎教育前瞻性教學改革實驗項目“基于STEAM理念的初中數學綜合與實踐教學設計研究”.

作者簡介：王凌逸（1997—），二級教師，李明樹名師工作坊成員，主要從事數學教學與研究工作.