在探索中感悟規律　在交流中升華認知

[摘? 要] 在探究一次函數圖象和性質的過程中，教師以生為本，引導學生通過觀察、操作、實驗等實踐活動自發地揭示蘊含其中的規律，總結并歸納一般結論，讓學生體驗自主探究的樂趣，從而有效地鍛煉學生的思維. 另外，在教學中，數形結合思想方法和分類討論思想方法的應用，能讓學生體驗到數學的簡潔美、嚴謹美，能有效地提升學生的學習品質.

[關鍵詞] 規律;自主探究;學習品質

函數是初中數學的重要內容之一，是揭示事物變化規律的有效手段，其理論和應用涉及數學的各個分支，在初中數學教學中的地位和價值是不言而喻的. 函數既重要，又難學，是被公認的難以理解和掌握的內容之一. 所以，想讓學生將函數及其相關內容學懂學透，單純地靠教師被動講授課本內容或直接陳述結論是不夠的，教師還應帶領學生去觀察、去操作、去實驗、去交流、去反思，讓學生經歷知識形成、發展與應用的過程，引導學生通過自主探究發現數學規律，總結數學結論，以此促進學生更深層次地理解數學，培養學生的自主學習能力，增強學生的創新意識.

下面筆者以“一次函數的圖象”一課為例，在教學中帶領學生通過多元探究感悟數學發現之美，培養學生的數學能力.

設計思路

本課從學生已有知識和經驗出發，如函數概念、一次函數的表達式等，帶領學生通過觀察、實驗、交流、反思等實踐活動理解一次函數的性質. 同時，在實踐活動中讓學生感悟分類討論、數形結合等思想方法，激發學生的數學探究積極性，提升學生的數學學習能力.

在本課教學中，教師主要通過以下四個環節展開教學：一是通過探索發現當k>0和k<0時，函數值y與自變量x之間存在怎樣的變化規律;二是通過探索發現當k的值相等時，b的值對函數圖象的影響;三是解決問題;四是總結評價.

課堂實錄

1. 回顧舊知，引出主題

師：一次函數的表達式是什么？

生（齊）：y=kx+b（k≠0）.（教師板書）

師：很好. 它反映的是函數值y與自變量x之間的變化規律. 今天，我們就在此基礎上深入地探究這種變化規律.

設計意圖通過簡單的舊知回顧，教師直接引出今天的探究主題. 同時，教師引導學生關注函數值和自變量的變化規律，為接下來的性質探究埋下伏筆.

2. 探究1——發現k值的秘密

（1）從“數”的角度出發

師：通過剛剛的回顧我們知道，一次函數表達式中有一個限定條件，即k≠0. 對這一限定條件的理解，在之前的教學中我們已經重點分析過，這里就不再重復. 那么當k≠0時，k的值可以是什么呢？

生1：k>0或k<0.

師：很好，這樣我們在探究一次項系數時就需要分類討論了. 現在我們不妨先研究k>0時一次函數有何性質.

師：現給定一次函數y=2x+4，請在表1中填寫對應的函數值. （教師用PPT給出表1）

（教師預留時間讓學生按照表格給出的順序填一填，2分鐘后，學生已經全部填寫完畢）

師：觀察以上函數值，隨著自變量x的值的增大，y的值是如何變化的？

生2：y的值也逐漸增大.

師：很好. 也就是說，對于一次函數y=2x+4，函數值y隨自變量x的增大而增大. 那么是不是可以說所有k>0的一次函數都有這一性質呢？

生3：利用一個函數就推導出這個性質有些草率了，應該再列舉一些一次函數進行驗證.

師：很好，現在請每人自選一個k>0的一次函數，然后組內交流，看看你們有什么發現.

設計意圖? 教師從學生最熟悉的“數”出發，通過直觀觀察得到函數值y隨自變量x變化的規律. 在以上教學中，教師先從特殊出發，通過對一次函數y=2x+4的探究，猜想一次函數的性質，然后進行一般性驗證，其體現了從特殊到一般的處理方法. 同時，在驗證猜想的過程中，學生雖然收獲了成功的喜悅，但是也體會到了列表的煩瑣和局限，這就為接下來從“形”的角度探究做了鋪墊.

（2）從“形”的角度出發

師：通過列表、觀察、猜想、驗證，大家一致認為，對于一次函數y=kx+b，當k>0時，函數值y隨自變量x的增大而增大. 觀察表1不難發現，其數據有限，即使增加表格數量也難以呈現所有數值，那是否可以換一種形式來呈現函數呢？

生（齊）：可以用圖象來呈現.

師：很好，接下來我們就從“形”的角度出發，借助一次函數的圖象來研究一次函數的性質.

師：請大家先畫出y=2x+4的圖象.（教師讓學生獨立操作）

師：現在我們一起來用幾何畫板畫一畫，看看老師畫的圖象和你們畫的是否一致.

生（齊）：一致.

師：請大家結合圖象說一說應該如何表述剛才的性質.

生4：從左往右看，x的值在逐漸增大，y的值也在逐漸增大，圖象上升.

接下來教師動畫演示圖象上一點A自左向右運動，相應的函數值逐漸增大，點A逐漸上升.

師：請大家自己列舉一些一次函數，并畫一畫它們的圖象，看看是否也有發現剛剛的性質.

學生繼續繪制圖象，很快便有了答案. 教師投影展示學生繪制的圖象并互動交流.

師：大家觀察一下，這些函數有何共同特征？

生5：當k>0時，函數圖象自左向右看都是上升的.

師：由此可以得到什么結論？

生5：當k>0時，函數值y隨自變量x的值的增大而增大.

師：很好，看來大家已經可以進行準確的表述了. 利用“數”進行分析時，我們不難發現數據不能全部列舉出，所以具有一定的局限性，而借助“形”來進行探究時，沒有“數”的輔助也難以看出函數值隨自變量的值改變的細微變化，但通過“數”與“形”的結合，則既嚴謹又明了.

設計意圖? 從表格到圖象，教師引導學生進行數形轉換，體驗利用圖象解決問題的直觀、簡潔，體現了數學的簡潔美.

（3）“數”與“形”齊上陣

師：前面我們從“數”和“形”兩個角度對一次函數的性質進行猜想、驗證，得到當k>0時一次函數的性質，接下來我們該研究什么呢？

生（齊）：研究當k<0時一次函數的性質.

師：很好，請大家先猜想一下性質會是怎樣的.

生6：當k<0時，對于一次函數y=kx+b，函數值y隨自變量x的增大而減小.

師：很好，通過剛剛的活動我們得到了新的猜想，但是猜想不能作為最終的數學結論，那接下來我們需要做什么呢？

生（齊）：驗證.

師：具體如何做呢？

生7：可以和探究k>0時一樣，任選一個k<0的一次函數，先從“數”的角度出發列出表格，然后從“形”的角度出發畫出圖象，最后多角度分析，得到最終結論.

生8：一次函數的圖象為一條直線，這樣只要確定兩個點的坐標就可以了.

師：生8說得非常好. 現在請大家各列舉一個函數，動手畫一畫，并結合圖象說一說自己的發現.

（教師讓學生各自畫圖，然后互動交流）

師：請同學們根據自選的一次函數說一說自己的發現.

生9：對于函數y=-2x+2，從圖象上看，自變量x逐漸增加時，函數值y逐漸減小.

師：我們用幾何畫板畫出一次函數y=-2x+2的圖象，看看是不是有同樣的發現.（教師用幾何畫板進行演示）

接下來教師又點名讓幾個學生根據自選圖形表述自己的發現，從而引導學生總結、歸納出當k<0時，一次函數的性質.

設計意圖? 該環節以學生的自主探究為主，教師讓學生根據前面的探究經驗，總結、歸納當k<0時一次函數的性質，至此既可以完善學生的認知，又能鍛煉學生的語言表達能力，還能提高學生的自主學習能力.

（4）鞏固運用，深化理解

練習（略）.

設計意圖? 在此環節，教師借助具體應用幫助學生加深對一次函數性質的理解，并根據學生反饋進行一些針對性的指導，以此讓學生掌握一次函數的性質.

3. 探究2——發現b值的秘密

師：若在同一平面直角坐標系中繪制出兩個不同的一次函數圖象，兩圖象會有怎樣的位置關系？

生（齊）：相交或平行.

師：很好，從“形”的角度來看，可以得到以上兩種位置關系，那從“數”的角度出發，兩個一次函數表達式是否也存在某種特殊的關系呢？（教師鼓勵學生思考、猜測、交流）

師：帶著剛剛的問題，請同學們在同一平面直角坐標系中畫出以下3個函數的圖象（教師用PPT給出函數）

①y=2x;②y=2x+4;③y=2x-4.

（學生獨自畫圖，教師投影三個函數的圖象，并用幾何畫板畫出它們的圖象）

師：觀察以上圖象，它們具有怎樣的位置關系？

生（齊）：三條直線互相平行.

師：觀察函數①的圖象，你有什么發現？

生10：該函數的圖象經過原點.

師：很好，這個函數是我們之前學過的正比例函數，那么是不是所有的正比例函數都經過原點呢？

生11：是的，因為對于正比例函數y=kx（k≠0），當x=0時，y=0，所以所有正比例函數的圖象都經過原點.

師：很好，觀察函數②和函數③的表達式，它們有什么特殊的地方嗎？

生12：這兩個函數的一次項系數k相同.

師：很好，現在我們來驗證一下以上三條直線是否平行.（教師引導學生通過平移進行驗證）

師：剛剛我們通過平移直線y=2x，發現其與y=2x+4和y=2x-4重合，從而驗證了三條直線是平行的. 對于平移變換，大家并不陌生，那誰來說一說平移變換的兩個要素是什么？

生（齊）：方向和距離.

師：很好，請大家思考一下如何平移y=2x的圖象得到y=2x+4和y=2x-4的圖象呢？（生沉思）

生13：y=2x的圖象沿y軸向上平移4個單位長度后可以得到y=2x+4的圖象;y=2x的圖象沿y軸向下平移4個單位長度后可以得到y=2x-4的圖象.

師：很好. 那如何平移y=2x的圖象可以得到y=2x+7和y=2x-6的圖象呢？

生14：把y=2x的圖象沿y軸向上平移7個單位長度后可得y=2x+7的圖象;沿y軸向下平移6個單位長度后可得y=2x-6的圖象.

師：很好. 那么對于一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象，可以由y=kx（k≠0）的圖象通過怎樣的平移得到呢？（生沉思）

生15：這個需要分類討論. 若b>0，則把y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上平移b個長度單位;若b<0，則把y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向下平移b個長度單位.（教師進一步利用規范語言進行表述并板書）

設計意圖? 由兩直線的位置關系誘發學生思考表達式中的特殊關系，引導學生通過由特殊到一般的轉化得到一次函數的又一性質，讓學生體驗探究數學的樂趣.

4. 解決問題，深化理解

師：剛剛我們借助一次函數的圖象探索了一次函數的性質，現在我們來看看能不能靈活運用一次函數的性質解決問題.（教師用PPT給出如下例題）

例題：已知一次函數y=2x+4.

（1）當x=3.5時，y=______.

（2）當y=-2時，x=______.

（3）當x為何值時，y>0，y=0，y<0？

對于第（1）問和第（2）問，學生通過代入法順利得到了答案，本題的焦點集中在第（3）問的解決上.

師：對于第（3）問，你們的答案是什么？

生16：當x>-2時，y>0;當x=-2時，y=0;當x<-2時，y<0.

師：說一說你是如何得到這一結果的.

生16：我是通過解方程和解不等式得到的. 例如，y>0就是2x+4>0，易解得x>-2.

師：這是個不錯的方法，其他人還有不同的求解方法嗎？

生17：畫出一次函數y=2x+4的圖象，當x=-2時，y=0;在x軸上方的部分就是y>0，在圖象上表現為x>-2;在x軸下方的部分就是y<0，在圖象上表現為x<-2.

師：很好，利用圖象來判斷也是一個非常不錯的方法. 那利用今天所學，你們能發現第3種解法嗎？

生17：在一次函數y=2x+4中，一次項系數大于0，由一次函數的性質可知函數值y隨自變量x的增大而增大，而當x=-2時y=0，所以當x>-2時，y>0;當x<-2時，y<0.

設計意圖? 在解決問題的過程中培養學生的解題技能，讓學生實現由知識向能力轉化. 同時，教師鼓勵和引導學生尋求不同的解決問題的方法，鍛煉學生的思維，提高學生的數學應用能力.

5. 總結歸納，認知升華

此環節，教師先鼓勵學生通過互動交流對所學內容、方法、問題進行總結和歸納，然后通過師生互動對結論進一步規范，從而幫助學生建構準確、完善的認知. 總結歸納后，教師又提出這樣一個問題：你能畫出一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象嗎？希望學生通過“畫”實現認知的升華.

設計意圖? 通過課堂小結引導學生反思、回顧，不僅可以讓學生從總體上把握知識，而且能強化學生對新知的理解. 在小結過程中，教師精心創設問題，引導學生畫出如圖1所示的圖象，并通過“畫”進一步理解一次函數的性質. 同時，能讓學生體驗“形”的簡單明了，感悟分類討論的科學嚴謹性，從而提高學生對數學思想方法的認識的運用能力.

教學思考

在數學教學中，部分教師認為一次函數比較基礎、簡單，沒有必要大費周章地進行數學探究. 他們認為只要將性質、圖象等相關知識講授給學生，學生也能理解和接受. 但是，教師要認識到，學生對一次函數的認知過程同樣適用于認知其他函數，若學生能夠掌握一次函數性質的研究方法，那么今后他們在研究反比例函數、二次函數，乃至高中階段其他函數的時候，也能駕輕就熟. 此外，數形結合、分類討論等數學思想方法的運用，還能讓學生在理解知識的同時，更好地理解數學，理解數學學習.

總之，在數學教學中，教師應從學生的實際學情出發，為學生搭建一個探索的舞臺，鼓勵學生去發現、去探索、去應用，以此提高學生的自主學習能力，培養學生的創新意識.

作者簡介：單小燕（1980—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學工作.