厘清結構本質,變式驅動思維

[摘? 要] 相似三角形是初中幾何的重要組成部分，相似三角形的知識，一方面來源于相似三角形本身，另一方面，在于它與全等圖形、相似圖形等都緊密聯系. 文章基于整體理念，通過問題驅動，對邊、角、三線的特殊化，研究相似基本圖形的各種變式，或強或弱，讓學生在變式過程中厘清結構本質，自主建構知識網絡，提升思維品質.

[關鍵詞] 圖形變式;結構本質;相似三角形

復習課會根據學生的認知特點和規律，鞏固梳理已學知識、技能，促進知識系統化，以提高學生運用知識解決問題的能力. 從認知任務上看，復習課主要是鞏固、消化舊知，建構知識網絡;從認知過程上看，復習課一方面要把多個相關知識進行綜合整理，形成認知結構，另一方面需要幫助學生進行數學知識的綜合應用，以及數學思想方法和解決問題策略的提煉，并在知識聯系的再理解、知識遷移與應用的再體驗的過程中，提升學生的思維能力.

內容分析

初中的平面幾何主要研究圖形在全等變換和相似變換下的不變性質，即注重圖形本身結構的定量研究和注重圖形變式的定性研究. 相似三角形是初中幾何的重要組成部分，相似三角形作為一個幾何對象，本身包含“定義—判定—性質—應用”的內容;另外，相似三角形作為一種幾何工具，與全等圖形、相似圖形、位似圖形等都聯系緊密，需要掌握“A型”“8型”“母子相似型”等相似的基本圖形. 而由于新授課時受時間限制，研究有限，因此在復習課上應注重知識的綜合研究（如圖1），如圖形的變式.

學情分析

學生在上新授課、基礎復習課時，已經學習了相似三角形的定義、判定、性質、應用，也積累了“A型”“8型”“母子相似型”等相似的基本圖形，具備了一定的基礎知識和基本技能，但都比較零散和淺顯，不能進行綜合應用，更不用說在此基礎上進行相似圖形變式的系統研究. 因此，本課例立足基礎，引領學生探索研究相似圖形的方法，積累研究經驗、厘清研究思路，培養學生發現問題、提出問題并根據所學分析問題、解決問題的能力.

教學設計

1. 問題驅動，引領變式

問題1：已知△ABC中，AB=10，AC=8，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD=2，若以A，D，E為頂點的三角形和△ABC相似，求CE.

預設（如圖2、圖3）：

設計意圖? 開門見山，直入主題，以便為后續思維的展開提供足夠的時間、空間. 對于“正A型”“斜A型”這兩種常見的“A型”相似基本圖形，學生容易解決，意在喚醒學生的思維起點.

追問：其他條件不變，若點D，E分別在邊BA，CA的延長線上，你還能求CE的長嗎？

預設（如圖4、圖5）：

設計意圖? “8型”的兩種常見相似圖形，學生也比較熟悉，只因不夠嚴謹，容易忽視. 由此，相似三角形的簡單變式就產生了一題四圖，既是對基礎知識的回顧，也是變式思維的開始.

問題2? （線段數量的特殊化）：已知△ABC中，AB=10，AC=8，點D在邊AB上，若△ACD∽△ABC，求AD.

預設：根據圖6，由相似的性質且AC為公共邊，可得AC 2=AD×AB，即可求得AD的值.

設計意圖? 圖6的“特A型”實際上是圖3的特殊化處理，即AE=AC，本質上也是相似圖形的一種變式，對學生來說，相似三角形公共邊帶來的比例中項，是需要熟練掌握的. 而這里引出“特A型”相似是為后續進行變式提供便利.

追問1（角的特殊化）：已知△ABC中，AB=10，AC=8，點D在邊AB上，若∠ACB=∠CDB=90°，如圖7，有幾對相似三角形？有幾個比例中項的數學式子？你還能求出哪些線段的長度？

預設：△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，△ACD∽△CBD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB，CD2=AD×BD. 根據這些關系，未知的線段均可求得.

設計意圖? 母子相似三角形是一個基本圖形，是“特A型”角度特殊后的特例，是初中幾何的三大結構之一，多用于幾何圖形的定量研究，涉及勾股定理、等面積法、相似三角形和銳角三角函數四種常用的求線段長度的方法，可見其作用和價值.? 而這里的前后變式聯系，不僅加深了學生對“母子相似型”的認識，也讓學生認識到它的作用.? 另外，這里還可以由AC 2=AD×AB和BC 2=BD×AB證明勾股定理，這是學生沒有想到，也不曾聯系過的，從這一層面讓學生體會到知識的融會貫通和互相聯系需要從整體和發展的視角來看待，提升學生的創新意識.

追問2（增加三線“豐富化”）：如圖8，已知△ABC中，AB=10，AC=8，點D在邊AB上，若E是AC中點，連接ED交CB的延長線于點F，找出與△CDF相似的三角形. 你還能求出哪些線段的長度？

設計意圖? 因為是基礎復習課，思維的提升不能總是停留在淺層，而應在層層變式中綜合上升. 為了提升學生的綜合應用能力，可以將幾何圖形的結構進行“豐富化”處理，常見的是增加三線，構造新圖形. 由角特殊得到的母子型相似，再增加三角形三線中的中線，帶出這樣一個綜合性問題，而它的解決正好融合了所復習的這些基本圖形（如圖9呈現的一種方法），讓學生感受到復習課不再是一味地“炒冷飯”，而是新穎的，能觸發深度思考和提升思維的.

追問3（線段位置的特殊化）：如圖10，在△ABC中，若AB=AC=10，△ACD還能與△ABC相似嗎？可能存在與△ABC相似的三角形嗎？若存在，能求出此時AD的長度嗎？需添加什么條件？

設計意圖? 如圖10，將BC邊軸對稱后得DC，則△BCD∽△BAC，顯然，這不足以求出AD的長度，需要再特殊化，如線段位置的特殊化（其實就是將三角形的高線變為角平分線），CD平分∠ACB，或角特殊化，如∠A=36°.? 這樣設置問題，一方面可以培養學生如何研究幾何圖形——既然角可以特殊化，那么邊也可以特殊化，甚至還可以邊、角同時特殊化. 不僅如此，同樣是角特殊，∠ABC可以特殊，∠A也可以特殊;同樣是邊特殊，可以AB=AC，也可以CA=CB，還可以DA=DC. 授之以魚，不如授之以漁，這樣的思維方式讓學生正向遷移，自己都能發現問題、提出問題，使學生真正成為學習的主體. 另一方面，借助邊、角特殊化，讓學生在添加條件、證明相似的過程中，根據圖象最近聯想黃金等腰三角形（如圖11、圖12）和等腰直角三角形（如圖13）.

設計意圖? “特A型”通過條件特殊化，可進行變式，那么這種思維一定也可以遷移到“斜A型”“正A型”. 這里先對“斜A型”展開變式，在特殊化角后，可找出三組共8對相似三角形，尤其在證明△AED∽△ABC和△DOE∽△BOC時，需通過對應邊比例的轉換才可以證得. 因此這個變式一方面意在鞏固相似三角形的判定，另一方面也給學生聯想的余地，類比之前的研究方法——除了角特殊，還可以邊特殊，如AB=AC;可以連線，構成新的三角形，是否還可以添加背景，如圓. 更深一層講，增加一條高線后，圖形結構更加復雜，也更加豐富，產生了新的相似三角形.? 此時再增加量化條件，就可以求得所有幾何量.

追問：在圖14中，一定要滿足∠BDC=∠BEC=90°，才能證明△AED∽△ABC嗎？

設計意圖? 指引學生看清問題本質，只需要∠BDC=∠BEC（如圖15），一樣可以證明△AED與△ABC相似. 既可以特殊化、強化條件進行變式，也可以看清本質弱化條件進行變式，再一次讓學生獲得新的研究方法和新的研究經驗.

問題4：如圖16，在△ABC中，BC=10，BC邊上的高為10，點D，E分別在邊AB，AC上，點H，G在邊BC上，若四邊形DEGH為正方形，求正方形DEGH的邊長.

設計意圖? 這是延續前面三個問題的研究方法，對“正A型”進行變式，如果學生在解決問題3時已經聯想了“正A型”的變式，就可以把問題4前置. 學生自己提出的問題，更能激起解決的興趣，這是課堂最好的資源.

追問1：你能對圖16進行相似變形嗎？

預設：若四邊形DEGH為矩形，如圖17，當DH為何值時，矩形DEGH的面積最大？

設計意圖? 思維能力的提升，不是一蹴而就的，很大程度上是通過實踐和感悟來實現的. 相似圖形的變式，拓展了知識和方法運用的廣度和深度——從正方形到矩形，學生借鑒前面的方法和策略，類比遷移，將條件弱化，抓住相似的本質，為后續發散再做鋪墊.

追問2：對于圖17，若對其進行變式，你有怎樣的想法呢？大膽說一說.

設計意圖? 由最近聯想，學生可能把角特殊化，如∠BAC=90°（如圖18）;把邊特殊化，如AB=AC（如圖19）;或者把矩形恰好分割成若干個小正方形（如圖20）. 而后在這些圖形的基礎上又可以再強化條件或弱化條件，得到新的特殊圖形——這里生成的東西學生一定印象深刻，不僅能獲得成就感，同時也能提升自信心.

在學生大膽猜想、變式后，教師可指導縱向疊加：如圖21，在△ADE中，使矩形D1E1G1H1的面積最大，則D1E1在△ADE的什么位置？D1E1長是多少？繼續疊加，得到DnEn，用含n的代數式表示DnEn的長. 這樣的變式變得更綜合，但學生并沒有覺得難，而是在層層變式中早已看清了本質，實現超越自我的復習效果.

2. 框圖總結，系統整理

如圖22所示.

設計意圖? 教學有法，教無定法，貴在得法. 學生學習的知識不少，但都處于零散的、碎片化的狀態，教師要引導學生把課堂中層層遞進獲得的碎片化的知識整體化、結構化、系統化，并適時深度化和遷移化，在對圖形要素關系的深入理解和對圖形結構的“整體把握”后，使得思維更完善、更嚴謹. 此處，將課堂中的基本圖形、生成的變式圖形系統地整理在一起，讓學生“一眼萬年”，進一步看清本質，把握內在聯系，提升思辨能力.

教學反思

1. 基于學情，精心設計變式

數學復習課教學過程的設計，既要有利于學生加深理解和系統掌握所學過的知識，提高數學思維的能力和綜合運用知識解決問題的能力，同時又要有利于增強學生學習數學的信心，有利于教師了解學生和改進教學工作，為學生進行后續學習奠定良好的基礎[1]. 本課例便是基于學生的學習情況——已經學習了相似三角形的所有基礎知識，但還比較零散、碎片化，不清楚最終如何應用這些不完整的知識和技能，選擇相似三角形最基本的相似圖形，然后分別對其邊、角特殊化，添加三線等，或強或弱，變式出如圖22 的幾乎涵蓋了所有“A型”的變式圖形. 當然還可以與圖形變換相結合，比如軸對稱、旋轉、平移后會出現更豐富的教學資源.

2. 基于理念，提升思維品質

《普通高中數學課程標準（2017版）》強調：要突出數學的整體性，關注統一主線內容的邏輯關系，關注不同主線內容之間的邏輯關系，關注不同數學知識所蘊含的通性通法、數學思想，使學生的學習過程成為一個在通性通法、數學思想指導下的具有系統性、連貫性的有機整體[2]. 這種要求，對中學階段的數學教學都是一致的. 初中幾何的三大基本結構：“角平分線—平行線—等腰三角形”“母子相似三角形”和“A型”，分別用于圖形的定性研究、定量計算（涉及勾股定理、等面積法、相似三角形和銳角三角函數四種常用的求線段長度的方法）和變化研究. 本課例基于這樣的整體理念，通過相似基本圖形的各種變式，厘清相似背后的結構信息，讓學生感悟與總結幾何圖形的研究方法、研究策略，積累解決幾何問題的經驗，真正提升思維能力和思維品質.

參考文獻：

[1]許芬英. “浙江省中小學學科教學建議”案例解讀：初中數學[M]. 杭州：浙江教育出版社，2015.

[2]鄭瑄. 整體觀下“平行線”教學的再思考[J]. 中學數學教學參考，2021（32）：12-16.

作者簡介：駱寅飛（1986—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數學教學工作.