高維具有間接信號生成的趨化模型解的有界性

張 云,辛 巧,2

(1.伊犁師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學應用數(shù)學研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

由KELLER和SEGEL[1]于1970年提出的Keller-Segel模型(簡稱經(jīng)典的K-S模型)是經(jīng)典的生物趨化性模型之一,經(jīng)典的K-S模型描述了細菌團在趨化吸引下的聚合行為.目前,經(jīng)典的K-S模型已受到國內外學者的廣泛關注,關于解的存在性、有界性、爆破行為、漸近行為以及弱解已取得了一系列研究成果[2-8].在此基礎上,由于許多趨化模型的化學信號不能直接由細胞自身直接產(chǎn)生,因此對于經(jīng)典的K-S模型,具有間接信號以及Logistic源的研究是有意義的,如STROHM等[9]提出了一個北美物種山地松甲蟲通過啃食樹體的方式破壞生態(tài)平衡,山地松甲蟲會在樹上筑巢產(chǎn)卵分泌信息素以吸引飛行的山地松甲蟲,但飛行中的山地松甲蟲不會直接釋放信息素,從而許多數(shù)學工作者考慮如下具有間接信號生成且?guī)в蠰ogistic源的趨化模型:

(1)

假設D(u)=(u+1)-α,S(u)=u(u+1)β-1,且f(u)=μu-μu2,其中α,β∈.對于f(u)=μu-μu2的情況,當N=3,D(u)=1,S(u)=u時, HU和TAO[10]證明了模型(1)的唯一經(jīng)典解是一致有界的.同時,若則當t→∞時該模型的解在L∞(Ω)的范數(shù)下收斂于平衡點

受以上研究結果的啟發(fā),本文討論具有間接信號生成以及Logistic源的生物趨化模型:

(2)

(3)

本文的主要結果如下:

定理1當N=4,δ>τ時,且模型(2)的初值(u0,v0,w0)滿足(3)式,且非負函數(shù)u,v和w在Ω×(0,∞)上有界,則對任意的t>0,存在常數(shù)C>0,使得

‖u(·,t)‖L∞(Ω)+‖v(·,t)‖W1,∞(Ω)+‖w(·,t)‖L∞(Ω)≤C,

(4)

1 預備知識

引理1 假設非負函數(shù)u0,v0和w0滿足式(3),則存在Tmax∈(0,∞]和非負函數(shù)(u,v,w)滿足:

(5)

進一步地,若Tmax<+∞,則當t→Tmax時,有

‖u(·,t)‖L∞(Ω)+‖v(·,t)‖W1,∞(Ω)+‖w(·,t)‖L∞(Ω)→+∞.

(6)

根據(jù)以上存在性理論,對任意的s∈(0,Tmax),有

(7)

因此,不失一般性,假設存在C>0,使得

(8)

引理2 存在正常數(shù)C1>0,滿足式(2)和式(3),使得對任意的t∈(0,Tmax),有

(9)

引理3 假設

(10)

2 趨化模型解的有界性估計

(11)

(12)

其中,ε是充分小的正數(shù).

證明 設

根據(jù)文獻[14],可以得到

(13)

為了估計式(13)右邊第一項,借助Young不等式,對于任意的t∈(0,Tmax),有

設

(14)

其中,ρ0的定義見(9)式.

由式(14),結合Young不等式,對于任意的t∈(0,Tmax),有

(15)

將(15)代入式(13),對于任意的t∈(0,Tmax),可得

(16)

對于任意的t∈(0,Tmax),且對(16)結合常數(shù)變易法,有

(17)

其中,

除此之外,對于任意的t∈(0,Tmax),有

(18)

接下來,在模型(2)的第三個方程的兩邊同乘wp,并在Ω上積分,對于任意的s∈(0,Tmax),δ,τ>0,存在正數(shù)C5>0,使得

則

(19)

對于任意的s∈(0,Tmax),對式(19)運用常數(shù)變易法,有

為了方便計算,設

根據(jù)Fubini定理,可得

當C7<0,有

(20)

將式(20)代入式(18),有

(21)

接下來,將式(21)代入式(17),結合引理3,可得

其中,

因此引理4得證.

基于之前的估計,對于任意的l>N,可以得到‖u(·,t)‖Ll(Ω)的有界性.

引理5的證明過程可參見文獻[14].

定理1的證明結合以上引理4和引理5,首先根據(jù)‖u‖Lp(Ω)先驗估計,與‖w‖Lp+1(Ω)估計進行耦合,結合常數(shù)變易法以及拋物正則性理論,得到了在適當參數(shù)的范圍內,‖u‖Lp(Ω)和‖w‖Lp+1(Ω)是有界的,再結合引理1,可得模型(2)的全局經(jīng)典解是有界的,從而完成了定理1的證明.

3 結語

本文研究了具有間接信號生成且?guī)в蠰ogistic源的生物趨化模型的解的全局有界性,通過進行適當?shù)南闰灩烙?并利用常數(shù)變易法證明了該模型經(jīng)典解在適當參數(shù)范圍內是全局存在且唯一的,得到了高維情形下該模型的全局經(jīng)典解是有界的．