一道常微分方程題目的一題多解

摘?要：常微分方程是數學分析、高等代數的后繼課程，對培養學生學習和研究能力具有重要作用。對常微分方程的題目進行一題多解的講授，可使學生從多個角度體會解題方法、解題技巧，提高學生的發散思維，從而加深學生對常微分方程基本理論、基本方法的理解，提高教學效果。?本文利用積分因子法、伯努利方程、常數變易法、變量替換法、Matlab法求解一道一階常微分方程的題目。

關鍵詞：積分因子；伯努利方程；常數變易；變量替換；Matlab

1?概述

微分方程的發展與微積分的發展是交織在一起的，17世紀，牛頓對特殊的一階微分方程用無窮級數求解；萊布尼茲發現了變量分離方程，給出了一階線性微分方程的求解方法；伯努利將力學中的問題轉化為微分方程問題并進行求解。18世紀，歐拉給出了一階微分方程恰當積分的條件，發展了積分因子理論。這段時期是微分方程“求通解”的時代，即將常微分方程的求解問題轉化為積分問題，希望用初等函數或超越函數表示其解。［1］直到劉維爾證明里卡蒂（Riccati）方程不存在一般的初等解法，數學家們意識到并不是任何一階微分方程都可以用初等解法求解。盡管初等解法可解的方程類型有限，但在處理實際微分方程問題時這些方法非常有效。［14］

學生在學習一階微分方程的初等解法時，要熟悉各種類型方程的解法，準確快速地判斷出給定方程的類型，并用相應的方法求通解，這是最基本的要求。但僅僅做到這種程度還不夠，實際練習過程中，我們可能會遇到不是直接能觀察出方程類型的題目，這就要求教師在教學過程中，要注意引導學生從不同的角度出發，根據方程具體特點，通過引入適當的變量替換，或者轉換自變量和因變量的地位，將已有的微分方程轉化為易于求解的類型，進而提高學生分析問題、解決問題的能力，拓展思路，培養學生的發散思維和探索精神。所以在教學過程中，教師可以通過一階微分方程的初等解法的題目來培養學生發散思維。

文獻［57］使用多種方法解決一階常微分方程的求解問題，受文獻［57］啟發，本文以文獻［2］中習題2.5的第1題第7小題為例，利用微分方程理論，給出7種不同的解法，進而鍛煉學生一題多解的能力，培養學生的發散思維。

2?解法研究

例：求微分方程y3dx+2（x2－xy2）dy=0?（1）的通解。

2.1?解法一

把x和y平等看待，判斷出（1）不是恰當方程。參考文獻［8］中求非恰當方程積分因子的方法，假設（1）有形如μ（x，y）=xαyβ的積分因子，利用比較系數法求出α和β，再用湊微分法求通解。

M（x，y）=y3，N（x，y）=2（x2－xy2），則My=3y2，Nx=4x－2y2，由于My≠Nx，且My－Nx－M=5y2－4x－y3，My－NxN=5y2－4x2（x2－xy2），因此方程（1）不是恰當方程，且（1）式的積分因子既與x有關，又與y有關，又觀察到M（x，y）和N（x，y）都是關于x和y的多項式，不妨假設（1）式有積分因子μ（x，y）=xαyβ，則xαy3+βdx+2（x2+αyβ－x1+αy2+β）dy=0是恰當方程，因此（xαy3+β）y=（2x2+αyβ－2x1+αy2+β）x，即（3+β）xαy2+β=2（2+α）x1+αyβ－2（1+α）xαy2+β，比較系數可得2+α=0

5+β+2α=0，可以得到α=-2

β=-1，因此，方程（1）的一個積分因子為μ（x，y）=1x2y。

方程（1）兩端同乘以1x2y，得到y2x2dx-2yxdy+2ydy=0?（2），該方程是恰當方程。

對于恰當方程，我們可以直接湊微分得d（-y2x）+d（lny2）=0，因此通解為lny2-y2x=c，c為任意常數。

注1：對于一些方程，如果設積分因子形式為μ（x，y）=xαyβ，但是按照恰當方程的充要條件卻算不出α和β的值，這就說明方程沒有形如μ（x，y）=xαyβ的積分因子。

進一步地，我們可以給出方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0有形如μ（x，y）=xαyβ積分因子的充要條件。

定理：假設M（x，y）和N（x，y）為關于x和y的多項式，方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0有形如μ（x，y）=xαyβ積分因子

My-NxαNx-βMy=1。

證明：由恰當方程判定的充要條件知，方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0有形如μ（x，y）=xαyβ積分因子。

y（xαyβM）=x（xαyβN）

βxαyβ-1M+xαyβMy=αxα-1yβN+xαyβNx

xαyβ（My-Nx）=αxα-1yβN-βxαyβ-1M

xy（My-Nx）=αyN-βxM

xy（My-Nx）αyN-βxM=1

My-NxαNx-βMy=1

2.2?解法二

先分組求積分因子，再利用恰當方程的判定或直接利用公式求通解。引理［2］若μ=μ（x，y）是方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0的一個積分因子，使得μM（x，y）dx+μN（x，y）dy=du（x，y），則μg（u（x，y））也是方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0的一個積分因子，其中g（·）是任意的可微函數。

將方程（1）進行分組y3dx-2xy2dy第一組+2x2dy第二組=0，由觀察知，第一組有積分因子μ1（x，y）=1xy3，第二組有積分因子μ2（x，y）=1x2，因此1xdx-2ydy=d（lnxy2），2dy=d（2y），即第一組和第二組對應的原函數分別為u1（x，y）=ln（xy2），u2（x，y）=2y，由定理知，μ1g1（u1）是第一組的積分因子，μ2g2（u2）是第二組的積分因子，其中g1，g2是任意的可微函數。如果選取g1（t）=e-t，g2（t）=2t，則μ1g1（u1）=μ2g2（u2）=1x2y：=μ，所以μ=1x2y是方程（1）的一個積分因子。

利用恰當方程的判定求解。

求u（x，y）使其滿足ux=y2x2?（3），uy=2y-2yx?（4），將（3）對x進行積分，得到u（x，y）=-y2x+φ（y）?（5），將（5）對y求導，并由（4）得到uy=-2yx+φ′（y）=2y-2yx，因此dφ（y）dy=2y，解得φ（y）=lny2。

因此，方程（1）的通解為lny2-y2x=c，c為任意常數。

也可直接利用公式求通解，

∫M（x，y）dx+∫N（x，y）-y∫M（x，y）dxdy

=∫y2x2dx+∫2y-2yx-y∫y2x2dxdy

=-y2x+lny2=c

其中c為任意常數。

2.3?解法三

化為伯努利方程求解，將方程（1）化成dydx=y32（xy2-x2）的形式，發現該微分方程的求解比較困難，但是若把y當作自變量，x當作未知函數，方程可化為n=2的伯努利方程。

dxdy=2yx-2x2y3（n=2），令z=x-1，則：dzdy=-1x2dxdy=-2yz+2y3?（6）

方程（6）是以y為自變量，z為因變量的一階線性微分方程，可以用常數變易法求其通解。

首先求（6）對應齊次方程dzdy=-2y的通解z=ce∫-2ydy=cy2，然后利用常數變易法求（6）的通解，設（6）的通解為z=c（y）y2，那么dzdy=dc（y）dy·1y2-2y3，代入（6）得到dc（y）dy=2y，解得c（y）=lny2+c-，則原方程的通解為1x=lny2+c-y2，c-為任意常數，化簡后與解法一、二的結果一致。

事實上，伯努利微分方程dydx=p（x）y+q（x）yn（n≠0，1）的通解公式為y1-n=e（1-n）∫p（x）dx（（1-n）∫q（x）e-（1-n）∫p（x）dx+c），本題中把y當作自變量，x當作未知函數，因此，p（y）=2y，q（y）=-2y3，直接利用公式求解：

x-1=e-∫2ydy（-∫-2y3e∫2ydydy+c）

=1y2（∫2ydy+c）

=lny2+cy2

其中c為任意常數。

2.4?解法四

對方程dxdy=2yx-2x2y3兩邊同時除以x2，得到1x2dxdy=2y1x-2y3，先把dx進行湊微分，得到-d（1x）dy=2y1x-2y3，此時令z=1x，上述方程化為dzdy=-2yz+2y3。

直接代入一階線性微分方程通解公式。

z=e∫p（y）dy（∫q（y）e∫-p（y）dydy+c）

=e∫-2ydy（∫2y3e∫2ydy+c）

=lny2+cy2

其中c為任意常數，與前三種解法結果一致。

2.5?解法五

將原方程改寫為dxdy=（2y-2xy3）x，可利用常數變易法求解。

首先求dxdy=2yx的通解，其通解為x=ce∫2ydy=cy2。

其次用常數變易法求原微分方程的通解，設x=c（y）y2，則dxdy=c′（y）·y2+c（y）·2y=（2y-2c（y）y2y3）c（y）y2，整理化簡得到-dc（y）c2（y）=2ydy，通解為1c（y）=lny2+c-，因此原方程通解為x=y2lny2+c-，c-為任意常數，化簡后與解法一、二、三、四的結果一致。

2.6?解法六

將方程（1）轉化為dxdy=2yx-2x2y3后，可做變量替換z=xy，得到dxdy=z+ydzdy=2z-2z21y，y≠0時，上式化簡為dzdy=zy-2z2y2，該方程經變量替換u=zy后為變量分離方程。

因此，可直接做變量替換u=xy2，則x=uy2，dxdy=y2dudy+2uy=2uy-2u2y，因此dudy=-2u2y，這是變量分離方程，通解為1u=lny2+c，因此原方程的通解lny2-y2x=c，c為任意常數。

2.7?解法七?Matlab法

Matlab具有數值計算和符號計算等功能，下面利用Matlab軟件中的dsolve函數［9］求方程dxdy=（2y-2xy3）x的符號解。

輸入命令

dsolve（'Dx=2*x*（y^2-x）/y^3'，'y'）

輸出

ans=

y^2/（C1+2*log（y））b

0

通解化簡后與前六種方法一致。

3?解法小結

解法一、解法二分別使用了待定系數法和分組組合法求出了方程（1）的積分因子，然后用湊微分法、恰當方程的判定法、公式法對得到的恰當方程求通解。這兩種方法是求解一階微分方程的基本解法，可以求解一大類一階微分方程的題目，應該要求學生熟練掌握。解法三將方程進行化簡，得到易求通解的伯努利方程，引入變量替換后將伯努利方程轉化為一階線性微分方程。解法四在解法三的得到伯努利方程的基礎上，直接進行湊微分換元，一階線性微分方程。解法五直接將化簡后的方程利用常數變易法求解。解法三、四、五反映了學生對一階線性微分方程解的結構的理解，應該要求學生熟練掌握。解法六引入新的變量替換，將方程轉化為更易求解的變量分離方程，這種解法比較靈活，學生需要多觀察、多練習，積累經驗。解法七給出了一種Matlab解法。一題多解的案例激發了學生的學習興趣，培養了學生的發散思維。

參考文獻：

［1］王高雄，周之銘.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［2］袁榮.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［3］丁同仁．常微分方程［M］．北京：高等教育出版社，2010．

［4］［美］克萊因（M.Kline）.古今數學思想［M］.張理京，張錦炎，譯.上海科學技術出版社，1979.

［5］史周晰，趙臨龍.一類常微分方程的解法研究與推廣［J］.科技風，2023（4）：98100.

［6］林均，羅日才.一道常微分方程題的幾種解法［J］.高等數學研究，2021，24（03）：5456.

［7］朱華，楊廣宇.基于微分方程的教學案例研究［J］.高等數學研究，2023，26（03）：9597.

［8］趙莉莉.積分因子與積分因子法［J］.高等數學研究，2023，26（03）：1922+25.

［9］鄧麗瑩，梁倩倩，羅媚，等.MATLAB在求解常微分方程積分因子中的應用［J］.科技風，2019（10）：3536.

作者簡介：李曉彤（1996—?），女，漢族，山東德州人，碩士研究生，助教，從事圖論研究。