百年數(shù)形雙心結　千里因緣一線牽

鄭智萍　黃騰達

摘? ?要：二次函數(shù)是初中數(shù)學學習的重點內容，融合初中數(shù)學代數(shù)與幾何的內容，是每年中考壓軸題的必考內容，實現(xiàn)對學生學科素養(yǎng)和思維品質的考查.作為初高中知識的銜接的一條重要紐帶，可以將高中的一些知識和數(shù)學思想融入其中.

關鍵詞：拋物線；初高中數(shù)學銜接；命題

1? 試題展示

已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點（0，-1）對于任意的實數(shù)m，若點（m，t）在圖象上，則點（-m，t）也在圖象上.拋物線與x軸相交于兩點，且兩點間的距離為4.

（1）求拋物線的解析式.

（2）【模型探究】如圖1，已知點A（0，n），n＜-1為y軸上的一個動點，過A點的直線AC與拋物線只有一個公共點B，其解析式為y=kx+n，連接OB.探究k與n的關系，并證明：OB=OA.

（3）【模型應用】如圖2，過原點的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點，經(jīng)過E點、F點分別作不與軸垂直的直線，使它們與拋物線都只有一個公共點.兩直線相交于G點，分別與y軸交于M，N兩點.過G點作x軸的平行線PG，作EP⊥PG于P，作FQ⊥PG于Q，連接OG.求證：OG2=EP·FQ.

2? 設計過程

2.1? 命題意圖

試題是一道二次函數(shù)綜合題，旨在考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、全等三角形、相似三角形、直角三角形等初中數(shù)學主干知識.試題關注拋物線幾何性質的挖掘，以素養(yǎng)立意，考查學生的數(shù)學運算、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象和邏輯推理等學科素養(yǎng)，關注學生代數(shù)推理和幾何推理能力，考查學生的創(chuàng)新意識和應用意識[ 1 ].試題涉及的數(shù)學知識對應的具體學科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)及其級別見表1.

2.2? 命題過程

2.2.1? 立意與選材：函數(shù)是初中數(shù)學的一個重要內容，承上，融合了數(shù)與式的運算、方程與不等式、平面幾何圖形的性質等知識，啟下，為學生高中學習基本初等函數(shù)、解析幾何奠定基礎，是中考重點考查的內容之一，是考查學生的關鍵能力與學科素養(yǎng)的一個重要素材.

福建省近幾年中考二次函數(shù)綜合題的命制立意高遠，有著很好的生長性，初高中銜接特點鮮明.

例1（2018福建中考摘錄）如圖3，拋物線y=-x2+2的頂點為A，P（0，4），過原點的直線交拋物線于M，N，求證：∠MPO=∠NPO.

例2（2019福建中考摘錄）如圖4，拋物線y=（x-1）2的頂點為A，過（1，1）的直線與拋物線交于B，C兩點，過B點作直線y=-1的垂線，垂足為D，求證：A，D，C三點共線.

兩道試題的背景實質上都來源于拋物線的幾何定義及性質.

借鑒兩道試題的命制，能否從拋物線其他的幾何性質入手？

2.2.2? 聯(lián)系與搭架：拋物線有這樣的光學性質：從焦點F發(fā)射出來的光線，經(jīng)過拋物線鏡面反射后，反射光線平行于對稱軸.如圖7，若過點A作拋物線的切線，則必有∠CAF=∠DAB.嘗試從這一性質出發(fā)進行設計.

2.2.3? 加工與調整：

第一稿注重推理、運算、通法.聯(lián)立方程組求直線與拋物線的交點，根據(jù)點坐標計算線段的長度，證明線段相等，運用代數(shù)的方法解決幾何問題.作為選擇部分壓軸題，試題效度不高，在班級里實測得分率偏高，與試題的實際難度相差較大.大部分學生利用圖形直觀得出答案，沒有起到對試題背后的數(shù)學知識考查的目的.

第二稿：已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點（0，-1），對于任意的實數(shù)m，若點（m，t）在圖象上，則點（-m，t）也在圖象上.拋物線與x軸相交于兩點，且兩點間的距離為4.

（1）求拋物線的解析式.

（2）如圖8，已知點A（0，n），n＜-1為y軸上的一個動點，過A點作一條與軸不垂直的直線AC，使AC與拋物線只有一個公共點B，連接OB，過B點作y軸的平行線BD.求證：∠OBA=∠CBD.

（3）如圖9，過原點的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點，經(jīng)過E，F(xiàn)兩點分別作兩條與軸不垂直的直線，兩條直線與拋物線都只有一個公共點.兩直線交于G點，分別交y軸于M，N兩點.求證：EG⊥FG.

在題中△EFG為直角三角形的背景下繼續(xù)分析圖形（如圖2），根據(jù)拋物線的性質得出有GO⊥EF的結論，聯(lián)系射影定理，有GO2=EO·FO.兩直線垂直的代數(shù)表征是兩直線斜率之積為-1，但這是高中知識范圍.如何轉化成初中學生所能接受的方法，突出對初中核心知識的考查，同時關注初高中數(shù)學思想方法上的銜接？

由拋物線的性質可知，點G在拋物線的準線上.在此基礎上，如圖2，過G點作x軸的平行線PG，作EP⊥PG于P，作FQ⊥PG于Q，由于原點為該拋物線的焦點，可以知道有EO=EP，F(xiàn)O=FQ的結論.再根據(jù)MO=EO可以得到∠OEG=∠PEG，由此可以證明出△EPG≌△EOG，于是有EO=EP，F(xiàn)O=FQ，故有GO2=EO·FO.通過改編，以高中的知識為背景，著重對初中知識的考查，題在課外，根在課內，較好考查學生綜合運用知識解決實際問題的能力，對學生的學科素養(yǎng)要求更高，最終完成本題定稿.

2.3? 試題分析

3? 試題評析

作為一道函數(shù)綜合題，本題以拋物線的光學性質、拋物線阿基米德三角形為背景，立意深遠，難易適度，區(qū)分度高，綜合性強，既面向全體又能照顧優(yōu)等生，關注初高中知識和方法上的銜接的同時，突出對初中核心知識與能力的考查.本題考點多，涵蓋了二次函數(shù)的圖象與性質、直線和拋物線的位置關系、全等三角形、相似三角形、等腰三角形的性質與判定、兩條直線位置關系的判定等初中數(shù)學核心知識.本題綜合性強，考查學生的綜合分析法、數(shù)形結合、轉化與化歸等重要數(shù)學方法，要求學生能夠綜合運用所學知識解決實際問題.本題重視對素養(yǎng)考查，全面考查學生的數(shù)學運算、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象和邏輯推理的學科素養(yǎng)[ 2 ].

第一問，考查二次函數(shù)的圖象和性質.面向全體，起點低，體現(xiàn)基礎性.

第二問，考查運用代數(shù)的方法研究幾何問題的能力，涉及直線與拋物線相切的代數(shù)表征、兩點坐標求線段長度的通法，體現(xiàn)綜合性.

第三問，需要學生對第二問的結論進行數(shù)學抽象，得出數(shù)學模型，并利用數(shù)學模型進行推理.考查學生綜合分析法解決問題的能力和綜合運用知識的能力.考查學生的數(shù)學建模、數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理的學科素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應用性和創(chuàng)新性.

4? 命題拓展

本題揭示了拋物線的光學性質：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線鏡面反射后平行于拋物線的對稱軸.

更一般地，若經(jīng)過（0，b）（b>0）的直線交拋物線y=ax2于A，B兩點，D為AB中點.過A，B兩點作拋物線的切線，交于點C.則C點在直線y=-b上，CD與對稱軸平行[ 3 ].

5? 命題反思

“數(shù)”與“形”，是兩個永恒的數(shù)學話題，總是形影相隨不可分割.本題通過“拋物線”的紐帶，將代數(shù)推理和幾何推理進行了深度融合，把高中的知識分解成學生能夠理解掌握的知識進行滲透，實現(xiàn)初高中數(shù)學思想方法上的銜接.當然，試題由于涉及高中知識背景，若過份強調初高中銜接問題，在一定程度上會造成高中知識下放等教學內卷的不良現(xiàn)象.

近幾年來，“初高中銜接”又登上了熱門話題.筆者認為，初高中銜接，絕不是簡單地把公式、結論介紹給學生，也不是一味地灌溉式的拔苗助長.初高中銜接，要關注課內知識的生長點，關注它與高中對應知識在數(shù)學思想方法上的銜接.所以在教學中，教師在講授課內知識時，除了關注“它是什么？”“它從哪里來？”，還要關注“它要到哪里去？”“它要怎么去？”，把部分高中的知識點在恰當?shù)臅r間恰當?shù)墓?jié)點以恰當?shù)男问匠尸F(xiàn)給學生，拓展學生的知識面，領悟其中的思想方法，提升學生的學科素養(yǎng)，讓學生更快適應今后高中的數(shù)學學習.

參考文獻：

［1］ 卞倩璐，濮安山. 數(shù)學核心素養(yǎng)考查分析：以2020年南京市中考數(shù)學試題為例[J].初中數(shù)學教與學，2021（13）：4-6.

［2］ 徐登近.聚焦核心素養(yǎng) 探尋數(shù)學本質：以一道解析幾何模擬試題教學為例[J].中學教研：數(shù)學版，2021（11）：18-20.

［3］ 蘇立標.尋找探究的鏈接點 有效激活課堂教學[J].中學數(shù)學，2010（9）：9-10.