創業投資的最優時機和規模選擇

閔俊棚

摘? ?要：為探究創投企業的投資決策以引導其投早、投小、投硬科技，根據包含技術創新不確定性的創業投資模型，求解投資最優時機和最佳規模，并通過比較靜態分析，探討外生參數對二者的影響。結果表明，在其他條件給定時，需求彈性降低和可變成本系數上升均導致投資時機推遲、規模下降；隨著固定成本上升，投資時機將推遲，規模隨之擴大。貼現因子的提高將降低投資規模。若固定成本較低，貼現因子提高會使投資時機提前，但若固定成本較高，貼現因子提高會對投資時機產生先提前后推遲的影響。在技術升級幅度大、創新強度高的行業，投資時機相對推遲，規模也將提高。因此，政府應根據企業所屬行業的不同特征制定有針對性的創業投資激勵政策，且對于技術迭代快的行業，應充分落實稅收優惠和補貼政策。

關鍵詞：創業投資；實物期權；投資時機；投資規模；比較靜態分析

中圖分類號：F830? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? 文章編號：1673-291X（2023）24-0075-05

引言

黨的二十大報告指出，“必須堅持科技是第一生產力、人才是第一資源、創新是第一動力。”創業投資對實現科技、人才、管理等創新要素與創業企業有效結合、 促進科技創新成果轉化意義重大[1]。在創新驅動發展戰略指引下，包括稅收優惠和資金補貼在內的多項政策相繼出臺，對創業投資予以扶持[2，3]。2022年科技部和財政部聯合印發的《企業技術創新能力提升行動方案（2022—2023年）》指出，“鼓勵各類天使投資、風險投資基金支持企業創新創業，深入落實創業投資稅收優惠政策，引導創投企業投早、投小、投硬科技。”此政策目標的實現離不開對經濟主體投資行為的充分認識。本文基于實物期權理論，從創投機構視角探究科技型企業的創業投資決策問題，并分析外生參數對創投決策的影響。

根據陸羽中等（2020）[1]對國際創業投資研究的梳理，國際上對創業投資的研究圍繞創投企業和創業企業展開。前者涉及投資的戰略、績效、決策等方面，后者集中在VC對企業的影響等方面。目前國內關于創業投資的研究主要集中在創業投資引導基金上，這與創業投資在我國發展的實際情況有關。相比許多發達國家，創業投資在中國起步較晚。1985年中國首家創業投資公司成立，隨后各地方政府相繼成立創業投資公司。2005年國家發改委等十部委共同頒布的《創業投資企業管理暫行辦法》允許政府設立創業投資引導基金。由于這些基金在引導民間創業投資資本運作中起到重要作用，所以許多以創業投資引導基金為核心的研究相繼展開，主要包括創業投資引導基金的績效評估[4，5]、對行業募資和投資的促進作用[6]以及對產業結構升級的影響[7]。另有一些文獻探討了一般情形下的創業投資行為[8-12]。

目前，國內針對創業投資的研究中對于如何進一步落實“投早、投小、投硬科技”的探討還相對匱乏。事實上，“投早、投小、投硬科技”在上述行動方案印發之前就已經備受創投機構和研究人員的關注[13-14]。究其原因，一是其對完善金融支持創新發展體系，助推高質量發展具有重要意義；二是目前創業投資對于科技型中小企業的支持力度尚有不足[15]。因此，認清創業投資行為的決定機制和影響因素，對于進一步制定投資激勵政策具有舉足輕重的作用。同時，針對科技型企業的投資具有極大的不確定性，相關研究應將其納入分析框架。實物期權投資理論正是分析不確定性投資的一種重要方法[16]。

引導創投企業“投早、投小、投硬科技”，根據實物期權的術語可表述為“鼓勵創投機構對發展早期的中小型科技企業進行更大規模的投資”。

根據實物期權理論，在基于凈現值的投資中，忽略由投資不可逆性和可推遲性所產生的期權價值，將導致錯誤的投資決策[16]。這種決策錯誤在高度不確定的投資環境中尤其嚴重。當創投機構投資科技型企業時，由于投資對象往往是早期中小企業，投資將面臨巨大的不確定性，這種不確定性賦予投資較大的實物期權價值[17]，是研究中必須考慮的因素。本文基于Huisman（2000）[18]，利用泊松過程來刻畫創業投資的技術不確定性，對創業投資問題構建實物期權投資模型，采用動態最優化方法得出投資項目的價值函數，通過值匹配條件求解投資最優時機和規模，并在此基礎上進行比較靜態分析，探討外生的經濟環境參數和技術參數如何影響投資決策。最后，根據研究結果給出對應的政策建議，指明下一步研究方向。

一、創業投資的項目價值

下面將構建創業投資模型，求解投資的項目價值，并在此基礎上得出投資觸發水平。假設技術創新服從泊松過程，每次創新使科技水平提升的幅度為u，創新發生的強度為λ。令θ表示第i次技術創新后的技術水平，Ti表示第i次技術創新到來的時間。給定{Ti}i∈N，τi表示第i-1次與第i次技術創新之間的時間間隔，即τi=Ti-Ti-1。不失一般性，設T0=0，θ0=1。將記錄技術創新發生次數的計數過程記為N（t），它服從參數為λ+的泊松分布。給定上述技術過程，第n次技術創新到來的時間服從形狀參數為，強度參數為λ的Gamma分布。由此可知，第n次技術創新發生時一單位投資的現值為E（e-rTn）=λn/（λ+r）n[18]。假設產品的反需求函數為P（θ，K）=θ（1-αK），其中，α為刻畫需求價格彈性的參數，K代表投資規模。在技術水平θ下，投資項目的利潤流為π（θ，K）=θ（1-αK）K。將投資的固定成本記為I，單位可變成本記為δ，投資面臨的優化問題為

max E π（θ（T），K）e-rTdt-δKe-rT|θ（0）=θ0

其中，r是連續時間下的折現因子，是投資時間，是投資規模。將時刻的技術水平（觸發水平）記為θ*。該問題可通過兩步來解決，先在給定θ時通過解利潤最大化問題得出最優投資規模，然后求解投資觸發水平。令表示投資價值（暫不考慮固定成本），則有

V（θ）=max π（θ，K）e-rTdt-δK

求解該問題得出給定技術水平的最優投資規模，K*（θ）=max（ （1 ），0）。給定上述利潤函數和技術創新過程，存在唯一的觸發水平θ*。當創投機構在技術水平下投資時，V（θ）=max[ ，0]。投資項目的價值是投資時技術水平θ的函數，記為F（θ）。當θ>θ*時，投資價值為F（θ）=V（θ）-I。技術水平的“等候投資區間”分成兩個子區間：在區間（0，θ*-u），即使再發生一次技術創新，技術也達不到觸發水平θ*；而在區間[θ*-u，θ*），再發生一次創新，技術就達到觸發水平。在前一子區間里，運用Bellman方程和Ito引理可得，rF（θ）=lim+ E[dF]=λ[F（θ+u）-F（θ）]

解差分方程得到

F（θ）=c（ ）

其中c是待定常數，后續將利用邊界條件求解。在第二個子區間，再次運用Bellman方程和Ito引理可得

rF（θ）=lim+ E[dF]=λ[V（θ+u）-I-F（θ）]

該函數方程的解為F（θ）=（ ）[V（θ+u）-I]。根據F在θ*-u處的連續性，得出

c=（ ） （V（θ*）-I）

根據點θ*處的值匹配條件，得到觸發水平θ*的決定式：

[V（θ*+u）-I]=V（θ*）-I

綜上所述，創業投資項目的價值為

（ ） [V（θ*）-I]，θ<θ*-u（ ）[V（θ+u）-I]，θ*-u≤θ<θ*V（θ）-I，θ≥θ*

當θ<θ*-u時，創業投資項目的價值即為在技術觸發水平下投資時項目凈利潤的現值，折現因子λ/（r+λ）表示在下一次技術創新發生時單位投資的現值，在技術水平達到θ*之前共有 次技術創新發生，因此在θ<θ*-u時，創業投資的項目價值為經過 次折現的[V（θ*）-I]。當θ*-u≤θ<θ*時，技術水平θ將在一次技術創新后達到觸發水平θ*，此時投資的價值只折現一次，被折現的是創業投資在下次創新使得技術水平到達θ+u時投資所能獲得的項目凈利潤。當θ≥θ*時，該投資項目的價值為在當前技術水平下立即投資時的凈利潤。

二、創業投資的最優時機和規模的求解和比較靜態分析

求解最優投資時機和規模的關鍵在于確定最優觸發水平θ*，投資時機由θ*所定義，投資規模由K*（θ*）決定。為方便后續比較靜態分析，對于決定技術觸發水平θ*的式（1），將該式兩邊同時乘以4aθ（r+λ）（θ+u），整理得θ3+A0θ2+B0θ+C0=0，其中，A0=4Iar-2rδ-λu/r+u，B0=-4aru-δ2r2-2δru-λu2/r，C0=δ2ru（r+λ）。定義函數g（θ）≡θ3+A0θ2+B0θ+C0，方程的解θ*也是函數g（θ）的零點。對函數g而言，g（0）=δ2ru（r+λ）>0，g=（δr）=-4Iaδ2r3-4Iaδr2u-δλu2<0。根據g（θ）的連續性和介值定理，g（θ）在（0，δr）區間有一個根。類似地，由g（δr）<0，limθ→∞可知，在區間（δ，∞）存在θ*使得g（θ*）=0，θ*即投資觸發水平。同理，結合g（-u）和g[-u（1+δ）]的取值并再次應用介值定理可得g的最小零點落在區間[-（1+δ）u，-u]內。假設g（θ）=0的根θ1*<θ2*<θ*，上述結果表明，θ1*∈[-（1+δ）u，-u]，θ2*∈（0，+δr）。通過方程根與系數的關系，技術觸發水平θ*滿足θ*=A0-θ1*-θ2*∈（-A0+u-δr，-A0+u-δu）。創業投資的最優時機由投資的觸發水平定義，在相關文獻[18-19]中，最優時機通常定義為t*≡inf（t|θ≥θ*）。本文把投資最優時機定義為第n*次創新到達的時間，即t*≡Tn*，其中達到觸發水平所需創新次數n*=[ ]+1。相對于傳統定義，這樣定義的最優時機t*的概率分布較易刻畫，t*服從Gamma（n*，λ）。

下面通過具體實例展示投資時機的決定情況。假設模型的參數為λ=1，u=0.1，r=0.04，a=0.05，δ=0.1，I=10，則觸發水平為θ*≈2.6，即經過26次創新后技術將達到觸發水平。若經濟中r=0.08，I=0，則觸發水平θ*≈1.3，投資時機縮短一半。為進一步探究外生參數如何影響最優投資決策，下面對最優時機和最優規模進行比較靜態分析。模型中外生參數可以分為兩組，一組描述企業所處經濟環境，另一組刻畫技術創新過程。

（一）最優時機的比較靜態分析

最優時機的比較靜態分析一般是指投資觸發水平對外生參數求偏導。以反需求函數參數對最優時機的影響為例，利用式（1）對a求偏導可得

=

由于g（θ）在θ*附近是增函數，上式中的分母g'（θ*）=3（θ*）２-2Ａ0θ*+Ｂ0>0。對上式中的分子，根據A0，Ｂ0，Ｃ0的定義可得

（θ*）２+ θ*+ =-4Ir（θ*）２-4Iurθ*=-4Irθ*（θ*+u）<0

因此可得？鄣θ*/？鄣a>0。同理，可得出其他參數的比較靜態分析結果（表1）。

的強度和提升幅度變大，在更高技術水平下投資的利潤流將增加，投資項目的期權價值會更高，從而導致投資的推遲。

（二）最優規模的比較靜態分析

最優規模的比較靜態分析是指最優規模對外生參數的偏導。參數I、u、λ、θ0不直接影響最優規模，而是通過觸發水平間接影響，結果表明這些參數對K*均有正向影響。根據上述分析，投資項目的固定成本較高時，投資將被推遲。投資的推遲一般伴隨著投資規模的擴大，這是因為在其他條件不變時，投資規模擴大所對應的可變成本被折現得更多。至于刻畫技術創新過程的參數θ0、u、λ，在其他條件不變時，若初始技術水平θ0更高、創新的幅度u更大，或者創新到來的強度λ更大，擴大投資是有利可圖的，創投機構將進行更大規模的投資。

參數a的分析結果表明，創業投資項目在面對較大的a時，最優投資規模較小。直觀來看，a的提高將產生兩方面的影響，一是提高了觸發水平θ，推遲投資；二是使創業項目產品對應的價格更低。前者意味著投資規模將擴大，而后者將使投資規模降低。比較靜態分析結果表明，第二種效果起主導作用。也就是說，如果產品需求對價格更為遲鈍，創投機構將降低投資規模。可變成本系數δ對最優規模的影響與a的情況類似，參數δ的提高，一方面使投資推遲，從而間接擴大投資規模；另一方面通過降低投資項目的利潤流來直接降低投資規模。從計算結果來看，δ的直接作用更大，即單位投資成本的上升將降低投資規模。類似地，折現因子的推導結果表明，在其他條件不變時，折現因子越大，投資規模越小。

三、結論

在高質量發展階段，如何引導創投企業投早、投小、投硬科技是當前亟需解決的問題，但目前國內在這方面研究較為匱乏。本文從創業投資機構視角，構建了包含最優投資時機和規模的實物期權模型，通過投資項目價值函數的值匹配條件求解投資觸發水平和最優投資規模，并在此基礎上，利用比較靜態分析探究外生技術和經濟環境參數對創業投資決策的影響。

針對投資最佳時機問題，關于經濟環境參數的研究表明，若其他條件不變，需求彈性的降低、可變成本系數和固定成本的上升，都將導致投資最優時機的推遲。貼現因子對投資時機的影響依賴于固定成本的大小。在固定成本較低時，貼現因子的提高會使投資時機提前；在固定成本較高時，貼現因子的提高對投資時機的影響會出現先提前后推遲的效果。這一結論表明，政府可利用不同的政策工具對創業投資機構進行激勵，但激勵政策應根據行業類型的不同或創業企業的特點進行有針對性的實施。降低創業投資項目的投資成本可以激勵創業投資企業投早、投小，其具體影響可以通過模型參數校準來估算得出。關于技術環境參數的研究顯示，在技術升級幅度大、創新強度高的行業，創業投資的期權價值較大，從而使得投資相對推遲。為實現投早、投小的目標，應深入落實創業投資稅收優惠等政策，給予其更多經濟激勵。

關于投資最優規模的研究結果顯示，經濟環境參數中產品需求彈性降低、折現因子和可變成本系數上升均會降低創業投資規模，而投資中固定成本的上升將通過推遲投資時機而使得投資規模擴大。技術進步過程參數（初始技術水平、創新到來的強度、每次創新的幅度）的上升對投資規模均會產生正向影響。這說明，投早、投小的相關激勵政策可能會導致投資規模降低，因此，制定相關政策時應首先明確政策目標的優先順序，并全面考慮政策工具影響效果的相對大小。后續研究可通過納入政府對創業投資的直接影響來進行更深入的探討，這也是相關研究未來的擴展方向。

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The Optimal Timing and Scale Selection for Entrepreneurial Investment

— From the Perspective of Venture Capital Institutions

Min Junpeng

（School of Economics， University of Chinese Academic of Social Science， Beijing 102488， China）

Abstract： To understand the decision making of venture capital companies investment and guide them to invest in early small firms with core technologies， the optimal timing and scale of investment are solved in a venture capital model with technological innovation uncertainty. The impacts of exogenous parameters on them are discussed using comparative static analysis. The results indicate that given other conditions， the decrease of demand elasticity or the increase of variable cost coefficient leads to the delay of investment timing and the decrease of scale; with the increase of fixed cost， the timing is delayed and the scale is expanded accordingly. The increase of the discount factor reduces the investment scale. Given low fixed cost， the increase of the discount factor hastens investment timing， but if the fixed cost is high， the increase of the discount factor first advances and then delays the timing. In industries with large technological upgrades and high innovation intensity， the timing is relatively delayed， and the scale is increased. Therefore， in order to encourage venture capital investments， targeted policies should be made based on different characteristics of the industries， and the tax and subsidy policies should be fully implemented for industries with rapid technological innovations.

Key words： venture capital; real option; investment timing; investment scale; comparative static analysis

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