數形結合思想在小學數學課堂教學中的應用策略

南寧師范大學初等教育學院（530001） 蔣 鵬梁 宇

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”這生動地指明了“數”和“形”之間相輔相成、對立統一的關系。數形結合思想將抽象的數學語言和直觀的圖形聯系起來，是連接兩者的橋梁。教師在課堂教學時要注重向學生滲透數形結合思想，加深學生對知識的理解，以提高課堂效率。

一、數形結合的含義

數形結合思想是根據數量和圖形之間的對應關系，通過相互轉化來解決問題的思想方法，它既是一種具有普遍指導意義的數學思想，也是一種數學方法，可以作為一種解決具體的數學問題的手段。“數”和“形”是對立統一的，在一定條件下可以互相轉化。一般來說，“數”主要是指數、代數式、方程、函數、數量關系式等；“形”主要是指幾何圖形和函數圖象等。在小學數學教學中，“數”與“形”的結合也可以看作是抽象與直觀的結合：“數”具有抽象性，代表數學符號、數學概念等抽象的數學知識，“形”具有直觀性，代表幾何圖形、實物教具、演示圖像等具體的形象材料。

數形結合思想的應用可以細分為兩種情形：第一種是“以形助數”，主要指利用“形”去解決“數”的問題，即借助幾何圖形的直觀性來闡明數量關系；第二種是“以數解形”，主要指利用“數”去解決“形”的問題，借助數的精確性來闡明圖象性質。以形助數和以數解形既相互獨立又相互聯系，兩者共同構成數形結合這一有機整體。

二、數形結合的應用意義

1.降低學生學習數學知識的難度，提高課堂學習效率

對于小學生，特別是低年級的學生，他們系統化學習數學知識的時間還不夠長，數學思維尚未成熟，因此在短時間內理解抽象的數字和數學概念對他們來說是有一定難度的。教師在課堂上利用數形結合思想進行教學，借助直觀圖形來幫助學生理解數量關系，使抽象的數學知識變得直觀，將原本復雜的推理和運算過程變得簡單化和可視化，從而降低學生理解知識的難度，提高課堂學習效率。

例如，在教學“20 以內的退位減法”時，如果直接解釋“破十法”的含義，容易導致學生對退位減法的算理理解不透徹，這樣學生在計算時容易出錯。但如果借助小棒這一教具，讓學生實際操作退位減法的過程，理解“破十法”的原理，那么就能顯著降低理解難度，幫助學生掌握算理。

2.發展學生抽象思維和形象思維，促進思維協調發展

根據皮亞杰的認知發展階段理論，小學一到四年級的學生尚處于具體運算階段，他們的思維主要是形象思維，即使是五、六年級的學生，抽象思維也僅處于初步的發展階段，且需要具體事物的支持。因此，教師在課堂上利用數形結合思想可以開拓學生的思維，學生思維可以從形象到抽象，也可以從抽象到形象，二者靈活變換，將“數”和“形”有機結合，同時發展學生的抽象思維和形象思維，從而促進思維協調發展。例如，教師在教學“分數的初步認識”時，先利用圖形的分割或折疊將圖形平均分成幾份，向學生介紹分數的含義，使學生在頭腦中建構起幾分之一的表象。在練習時，教師可以先給出分數，再讓學生在圖形中用涂色的方法表示出分數的大小，利用“形”認識“數”，再從“數”分析“形”。在這樣的過程中，學生的抽象和形象思維都能得到發展。

3.幫助學生形成正確的問題表征，培養問題解決能力

美國現代認知心理學家西蒙指出，表征是問題解決的一個中心環節，它說明問題在頭腦中是如何表現出來的。學生解決數學問題的關鍵在于能夠對問題進行正確的表征，要能夠依據題目給出的數學信息和已有知識經驗在頭腦中形成對問題的正確理解，進而尋求解決問題的辦法。在解題過程中，有些數學問題過于抽象或復雜，學生找不到突破口，此時，教師可以運用數形結合的思想，使復雜抽象的問題變得簡單形象，提供一種新的解題思路，打破思維定式，幫助學生形成正確的問題表征。

學生在學習數學的過程中會遇到各種問題，比如相遇問題、追擊問題、面積問題、購買商品問題、繳費問題等，這些問題往往包含著錯綜復雜的數量關系。如果學生不借助畫圖、列表等數形結合的方法，其對題意的理解就會很吃力，難以解決問題。因此，教師在教學時應利用數形結合思想，借助直觀手段幫助學生厘清問題中的數量關系，進而解決問題。

三、數形結合應用的策略

1.以形助數，借助直觀材料講解抽象知識

小學生的思維方式以形象思維為主，抽象思維尚未得到充分發展。然而，概念、定律、公式等數學知識是抽象的，這就決定了小學數學知識的學習需要“形”的輔助。教師在教學時要運用好以形助數，將抽象難懂的數學知識轉化為形象直觀的圖形，利用圖形展現數量關系，讓學生通過感性材料獲得理性認識。

（1）利用實物展現數學內容

在教學過程中，教師利用實物將抽象的數學內容展現出來，讓學生不再僅是學習枯燥的數學公式、定理，還要通過實際操作感受數學的魅力。這些實物既可以是課堂上的教具，也可以是日常生活中的物品。在接觸實物的過程中，學生充分運用自身的感官獲得豐富的感性經驗，把抽象的數學知識變得形象直觀，進而明確數學內容中的數量關系。最終，學生將感性經驗轉化為理性認識，完成數學知識的學習。

例如，在教學“幾分之一”時，教師如果直接告訴學生“幾分之一表示將一個物體或一個圖形平均分成幾份，每一份就是它的幾分之一”這樣的數學概念，那么學生理解這一抽象概念的內涵會有一定的難度。但如果讓學生實際操作幾分之一的形成過程，比如讓學生動手去切一塊月餅，先理解將一塊月餅平均分成幾份，每一份就是這塊月餅的幾分之一，再由月餅引申到一般物體或圖形，那么學生就能很迅速地在頭腦中構建分數的概念。

（2）引導學生利用畫圖厘清數量關系

有些數學問題中的數量關系過于復雜，學生在解題時很容易思緒混亂，這時教師可以鼓勵學生根據題意畫圖，將問題中的數量關系描繪在圖形上，再對畫出的圖形進行分析，以正確理解數量關系。小學課堂上常用線段圖、韋恩圖等刻畫數量關系，這些圖形可以化復雜抽象為簡單形象，幫助學生解決數學問題。

畫圖尤其適合在應用題中使用，因為應用題中有大量的文字描述，并且隨著年級的升高，題目給出的條件越來越復雜，解答的難度也隨之增加。教師引導學生畫圖，可以幫助學生在大量的文字中抓住多個數量之間的聯系。例題：快遞員從甲地送快遞到乙地，一開始是2千米的上坡路，接著是一段4千米的平路，最后是3 千米的下坡路。快遞員上坡時速度為每小時3 千米，走平路時速度為每小時4千米，下坡時速度為每小時5 千米，若早上六點出發，請問他何時能回到郵局？學生遇到該題時，很容易誤解為來回時間都一樣。究其原因，是沒有搞清楚來回上下坡的速度不同。教師在教學時可以引導學生用畫圖的方式解決該問題。學生在圖中（如圖1 所示）明確標出各項數字信息，可以發現題目中的各項數量關系非常清晰，再利用路程和速度的關系即可解決問題。

圖1

（3）運用數線圖教授有關數的知識

數軸是以形助數的重要工具，它通過一條直線將眾多數字直觀地呈現出來，讓學生明白數是有順序的，數的排列也是有規律和方向的。小學階段沒有正式引入數軸的概念，一般都是以數線圖的方式呈現。數線圖是一條標有數量的線段。學生可以通過直觀的數線圖認識各種類型的數，例如自然數、分數、小數、負數等，并且經過長期的學習，學生還能明白任何有理數都可以用圖上的點表示，數和圖上的點是一一對應的。數線圖還能幫助學生比較數的大小和理解運算過程，學生通過觀察知道較大的數總是在較小的數的右邊，加和乘一個正數就是向右數格子，減就是向左數格子。此外，數線圖不僅能顯示出各個數所在的位置，還能幫助學生計算出從一個點到另一個點的距離，并且具有一定的方向性，這有助于學生理解方向和距離。

例如，在教學“10 以內的數”時，教師可以利用數線圖讓學生對數的大小有初步的認識和理解，明確“在數線圖上，越往右數越大”，理解數的順序排列。為了讓學生進一步理解數的大小，可以在圖上留空幾個數不出示，引導學生進行填空。教學“10以內數的加減法”時，教師可以讓學生利用數線圖計算，向學生介紹加法就是先在數線圖上找到一個加數，再向右走另一個加數的格數，走到的位置上的數就是和，減法反之。學生在一個一個數格子的過程中，可以很直觀地觀察到加減法的過程，理解算理。

2.以數解形，引領學生從數的角度探究幾何圖形的特點

以數解形是一種主要應用于幾何圖形中的方法，其核心思想是用有關數的知識解決幾何問題。有的幾何圖形看似比較復雜，但其中的數量關系很簡單，這時就可以借助數學語言闡明“形”的屬性。例如，圖形的性質特點、有關圖形的體積和面積的計算等。教師在教學有關幾何圖形的知識時，要多讓學生從數的角度分析形的特點，借助簡潔的數學語言描述抽象的圖形，從而使學生更深入地理解有關圖形的知識和特性。

（1）引導學生利用數學公式解決幾何問題

數學公式反映了不同事物之間的數量關系，它是學生解決許多幾何問題的關鍵。小學中有許多數學公式，包括幾何圖形的周長、面積、體積計算公式，數量關系的計算公式，例如路程=時間×速度等。在求解有關圖形的問題時，教師要引導學生利用相關數學公式尋找圖形之間的聯系，探究圖形中蘊含的數量關系。

例如，在求解不規則圖形的面積時，主要通過多種方式將不規則圖形轉化成規則圖形。在轉化成三角形、長方形、圓形等規則圖形時，要考慮到規則圖形適用哪些數學公式，依據數學公式進行轉化。例如，在求解圖2 陰影部分的面積時，教師可以讓學生先分析一下可能會用到哪些數學公式，再對圖形進行分割。該題可以只用三角形面積公式求解，也可以并用三角形面積公式和圓的面積公式求解。

圖2

（2）幫助學生建立數學模型，探索一般規律

數學模型是用數學語言、符號概括或近似地表達系統規律的數學結構，它反映了一個系統內部各變量之間的關系。利用數學模型，學生可以解決某一種類型的圖形問題，而不僅僅是某一個圖形問題。在教學時，教師可以讓學生從探索特殊情況開始，分析數的特點，逐步得出一般規律，最終發現數學模型，使學生對知識有更深刻的理解。

例如，在教學“多邊形內角和”時，學生已經掌握了三角形的內角和是180°，也知道了長方形和正方形的內角和是360°，但不知道不規則四邊形以及多邊形的內角和是多少。教師要從四邊形內角和的探究入手，讓學生自主探究，利用測量法、剪拼法和分割法等探索得知四邊形內角和為2×180°=360°，并且明白分割法（將四邊形分割為2 個三角形，2 個三角形的內角和相加的和等于四邊形內角和）是最方便快捷的方法。再利用分割法將五邊形分割為3 個三角形，五邊形內角和為3×180°=540°。同理，將六邊形分割為4 個三角形，六邊形內角和為4×180°=720°。在探索完這些圖形的內角和后，教師要引導學生根據這些式子發現多邊形的邊數和內角和的關系，最終得出數學模型：多邊形內角和=（邊數-2）×180°，用符號表示為n邊形內角和=（n-2）×180°。

3.數形融合，將直觀和抽象統一起來進行教學

數形融合既包含以形助數，也包含以數解形，是數和形的統一。“數”和“形”具有內在聯系，共同構成數形結合這一整體，數量關系可以生動描述圖形的性質特征，圖形中也存在著許多數量關系。在數學教學中，數和形相輔相成，缺一不可，教師不能將二者拆分，而是要將二者融合。

例如，在“用數對確定位置”的教學中，教師可以創設學生座位分布、電影票等情境，幫助學生理解數對的具體內涵和書寫形式。在學生熟練掌握后，讓學生依據數對說出對應位置同學的名字。先利用以形助數，用直觀的座位分布幫助學生理解抽象的數對，再利用以數解形，用數對分析座位分布情況。從“形”到“數”，再從“數”回到“形”，“數”和“形”得以巧妙結合。

總而言之，教師在課堂上運用好數形結合方法，既可以讓復雜抽象的數學知識以簡單形象的方式呈現出來，讓學生更容易理解，也可以增強學生對幾何圖形的理解，拓寬學生解題思路，提高教學質量。