一道2023年IMO不等式試題的解法與推廣

江智如 蔡 珺

福建省南平市高級中學 (353000)

1 試題呈現

本試題是2023年第64屆IMO第4題．從an的表達式容易想到Cauchy-Schwarz不等式,可得an>n,等號不成立,于是a2023>2023,與試題結論相異,所以改變思路方向,考慮遞推關系式．

又an+1=

2 解法探究

解法1：(利用Cauchy-Schwarz不等式證明[1])

解法2：(利用數學歸納法證明)由分析可知a2023≥2023,而3034-2023=1011,故2023=2×1011+1,3034=3×1011+1．

下面先歸納證明:a2m+1≥3m+1,其中m=1,2,…,1011．

(i)當m=1時,a3=

=3,其中x1,x2,x3兩兩不等,故等號不成立．

又a3∈Z,故由整數的離散性可得a3≥4,所以原不等式成立．

(ii)假設m=k,k=1,2,…,1010時,不等式成立,即a2k+1≥3k+1．那么,a2(k+1)+1=a2k+3=

所以,由(i)(ii)知,對m=1,2,…,1011,a2m+1≥3m+1均成立,因此,當m=1011時,a2023≥3034成立．

3 推廣

由解法2的證明過程,我們可以將m取值范圍推廣到全體正整數,得到試題的推廣形式[2]:

結論：設x1,x2,…,xn,…,是一組兩兩不等的無窮正實數列,若對?n∈N*,an=

本結論是原試題的推廣,但使用范圍更廣．