基于提升高中數學運算核心素養的變式教學——以“數學必修第一冊(利用基本不等式求最值)”教學為例

廣東省廣州市第二中學(510530) 李 碧

1 數學變式教學的基本內涵

概念性變式和過程性變式是數學變式教學的兩種策略,概念性變式通過構建合適的變異空間,讓學生體驗學習對象,從而對學習對象的本質形成更深理解,而過程性變式的目的在于提供適當的鋪墊,幫助學生建立學習對象與已有知識之間內在合理的聯系. 其中,概念性變式有三類: (1)通過直觀或具體的變式引入概念;(2)通過非標準式突出概念的本質;(3)通過非概念性變式明確概念的外延. 過程性變式用于問題解決的教學中,在未知(復雜)問題與已知(簡單)問題之間進行適當鋪墊,作為化歸的臺階,通過構造問題多層次的變式,使學生對問題解決的過程及問題本身的結構有一個清晰的認識,是學生積累活動經驗,提高問題解決能力的一條有效途徑.

2 高中數學運算

《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》指出數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的素養. 數學運算主要表現為: 理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,求得運算結果. 通過高中數學課程的學習,學生能進一步發展數學運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數學思維發展,形成規范化思考問題的品質,養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

3 基于提升高中數學運算素養的變式教學實踐

基于《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》對高中數學運算核心素養的要求,筆者認為,理解運算對象是關鍵,探究運算思路是難點. 本文結合新教材,運用變式教學,以數學必修第一冊(利用基本不等式求最值)教學為例,就高中數學運算核心素養水平的提升談自己的思考和實踐.

3.1 概念性變式策略理解運算對象

例題(數學必修第一冊45 頁): 已知x＞0,求的最小值.

教材上這題直接用基本不等式就可以解決,但很多學生會忽略對等號成立的說明. 筆者以前以為是學生對基本不等式成立條件的忽略,其實主要是學生對運算對象不理解. 在講解這個問題時,筆者提前引導學生理解最小值的概念: 取到最小值時要有對應x的值. 學生在后續用基本不等式求最值時基本都會考慮等號成立的條件.

變式1: 已知x∈R,求的范圍.

變式1 在例題的基礎上,強化了學生對運算對象和運算規則的進一步理解,同時,也通過運算,提升了學生分類討論和轉化的數學思想. 變式1 是根據概念性變式的第一類: 基于直觀或具體的變式進行的設計.

變式2(數學必修第一冊48 頁):已知x＞1,求的最小值.

變式3(數學必修第一冊45 頁): 已知x,y都是正數,且xy,求證:.

變式3 的運算對象結構形式復雜,初看與基本不等式形式不符合. 部分學生想到用分析法兩邊平方化簡,這種證明方法當然值得肯定. 若學生繼續思考運算對象的特點,就會發現,雖然不等式左邊是分式,但仍然是和與積的形式,可以將和轉化為積,利用基本不等式證明,問題就很容易證明了.變式3 的選取是根據概念性變式的第二類: 通過非標準式突出概念的本質,此題雖然不是求最值,但學生通過使用基本不等式,加深了對運算對象的理解.

變式4: 已知x＞0,求的最小值.

變式3 做了鋪墊后,變式4 就很容易解決了. 在相同的條件下,若進一步將求最小值變為求的最大值. 結合上一節不等式的性質,學生也能很容易理解運算對象.

變式5: 若a＞0,b＞0,,求的最小值.

變式5 對運算對象的理解要求更高, 對于高一的學生,建議做思考題,給學有余力的學生自主思考,課后教師再給出轉化思路:. 當然變式5還有其他解法,這里不展開說明. 也可在變式5 前做一個鋪墊: 若a＞0,b＞0,(a-1)(b-1)=1,求的最小值. 這樣也許會讓學生進一步理解變式5 的條件,但由此也失去了通過運算培養學生發散思維的價值. 這里需要教師根據學生實際情況靈活處理.

以上的變式可以讓學生理解,用基本不等式可以快速解決運算對象結構上是求和、求積或者和與積同時出現的問題,并且要關注參數的取值范圍. 若運算對象不符合上述結構,可以通過適當的運算進行轉化. 若是轉化不成功,需要考慮其他解決辦法.

通過對運算對象的變式,學生能形成對運算對象多元表征的能力,能夠靈活的從一種表征方式轉換成另一種表征方式.

3.2 過程性變式探究運算思路

同一道題,因為運算思路不同,導致運算路徑也會有差異. 教師在平時的教學中,引導學生理性對待運算: 首先思考算法流程,若沒有較優的算法,應該按照常規解法認真做好每一步的運算. 算完后再思考,是否可以優化運算思路. 在解題過程中進行一題多解或一題多變,并不等于不要常規的算法思路,每種算法思路蘊含著不同的數學思想,學生在嘗試多種解題思路后,會讓他們明白各種思路的優越性,從而選擇最優解法,掌握其算法思路,形成自己的解題策略.

例題: 若正數x,y,滿足x+3y= 5xy,求3x+4y的最小值.

這是一道用基本不等式求最值的經典問題. 很多參考資料和教師總結為:“1”的代換或者“1”的妙用. 令教師們意外的是,課堂上學生接受得很好,但測試成績不盡人意. 原因是這個思路是教師或者參考書總結的,技巧性太強,對于學生而言,這個思路并不自然,學生不能透徹理解問題的本質,只能靠記憶,時間一長就忘記了. 所以,筆者建議,對于這道題,應該有不同的解法,教師通過引導學生探究不同的運算思路,總結出運算思路的根源.

解法一分析: 由x+3y= 5xy得:, 則.

解法二分析: 由x+ 3y= 5xy得:, 則.

以上兩種方法殊途同歸,顯然方法一更簡單,但方法二思考更自然. 作為教師,應該引導學生對運算思路做深入思考,并能通過探究,優化和豐富運算方法.

這題還有其他解法,例如令3x+4y=t,通過代換,將x+3y= 5xy轉化為,再轉化為二次方程根的分布問題,這里隱含y＞1 5 這個條件.

此題可以引導優秀學生繼續研究其他運算思路. 但不管哪種方法,作為教師,應該引導學生對解法每一步進行邏輯分析. 最后,引導學生回看不同的解題方法,其實只有兩種思路: (1)通過消元,轉化為一個變量; (2)保留兩個變量,用基本不等式或者方程思想求解.

變式1:x＞1,y＞1, 且滿足x+y=xy, 證明:最小值為.

例題做了鋪墊后,設計變式1 是為了促進學生進一步優化和豐富運算思路. 此題解法與例題類似,但通過變式增加了運算思路的難度.

變式1 最優的解法思路如下: ∵x+y=xy,

變式2: 小云家后院閑置的一塊空地是扇形AOB,計劃在空地上挖一個矩形游泳池,有如下兩個方案可供選擇,經測量,∠AOB=60°,OA=2.

(1)在方案1 中,設OE=x,EF=y,求x,y滿足的關系式;

(2)試比較兩種方案,哪一種方案游泳池面積S的最大值更大,并求出該最大值.

解(1) 連接OC, ∵OE=x,EF=y, ∠AOB= 60°,OA= 2, ∴, 在RtΔOCF中(x+y)2+,∴x,y滿足的關系式為4x2+2xy+y2-4 =0(其中x∈(0,1),y∈(0,2));

(2) 方案1: 設游泳池DEFC的面積為S(1), 由(1) 得4x2+ 2xy+y2= 4 ≥2xy+ 4xy= 6xy, ∴,當且僅當2x=y, 即時等號成立,∴;

方案2: 設游泳池DEFC的面積為S(2), 取CF的中點M,連接OM,OC,設OE=m,EF=n,在RtΔOCM中, 所以,∴,當且僅當時等號成立, ∴, 而,則S(1)max＞S(2)max,所以選擇第一種方案,此時游泳池面積的最大值為.

變式2 是借助基本不等解決實際問題. 在運用基本不等式求最值的過程中,理解了運算對象,深入探究了運算思路,學生解決變式2 也不容易,因為變式2 滲透了將實際問題翻譯成數學問題的建模思想. 設計變式2 是為了有效借助運算方法解決實際問題.

通過一題多解,一題多變,有助于提高學生思維的靈活性,學生能根據具體的問題靈活的選擇算法策略.

4 反思

高中數學運算核心素養的提升是一個連續的,不斷上升的過程,也與其他數學素養相互交融,是一個有機整體. 變式教學可以激發學生對數學對象多維度的思考,促進對運算思路逐步深入的探究. 在教學實踐中,怎樣設計變式問題值得進一步深入研究.