追本溯源 以微知著
——以教材習(xí)題為載體的一節(jié)函數(shù)探究課

宋翔翔 陳 敏

(1.浙江省瑞安中學(xué) 2.浙江省永嘉縣羅浮中學(xué))

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中提出:數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的長期發(fā)展,回歸數(shù)學(xué)的本來面目.在新課程的背景下,課堂的探究活動,不再停留于機(jī)械地對課外教輔書的講評,這樣會造成學(xué)生無法抓住知識的本質(zhì),不能很好地構(gòu)建知識體系.課本中的習(xí)題具有示范性和典型性,是課本的精髓.因此要追本溯源——深化習(xí)題教學(xué),以微知著——充分挖掘習(xí)題所蘊(yùn)含的內(nèi)在價(jià)值和外延價(jià)值,從而鍛煉學(xué)生的思維能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

一、背景介紹

眾所周知,教材中的許多習(xí)題是經(jīng)過編者精心設(shè)計(jì)的,它們或是重要的結(jié)論,或體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想方法,亦或是某個(gè)數(shù)學(xué)命題的具體形式,它的延伸和拓廣,可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

數(shù)學(xué)家波利亞曾指出:“好問題同某種蘑菇有些相像,它們都成堆地生長,找到一個(gè)以后,你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找,很可能附近就有好幾個(gè).”在日常教材習(xí)題教學(xué)中,僅僅給出問題的解答,并不意味著問題探究的終結(jié),應(yīng)是導(dǎo)致新的更高層次問題的產(chǎn)生.現(xiàn)以人教A版必修第一冊的一道課后習(xí)題為載體,以一組特殊函數(shù)——雙曲函數(shù)的探究為主線,充分挖掘教材例習(xí)題的拓展教學(xué)價(jià)值.

為體現(xiàn)教材習(xí)題的內(nèi)在價(jià)值,從教材160頁綜合運(yùn)用第6題出發(fā),發(fā)揮教材習(xí)題的教學(xué)功能;通過探究雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),提升學(xué)生探究能力;通過概括研究一個(gè)新函數(shù)的一般路徑,樹立學(xué)生的模型意識;通過設(shè)計(jì)例題與變式縱向挖掘雙曲函數(shù),培養(yǎng)學(xué)生高階思維.

為體現(xiàn)教材習(xí)題的外延價(jià)值,現(xiàn)介紹雙曲函數(shù)的歷史發(fā)展,物理應(yīng)用和數(shù)學(xué)延伸,發(fā)揮其文化育人功能;提出三個(gè)提升與拓展任務(wù),橫向挖掘雙曲函數(shù),使學(xué)生開闊眼界;最后鏈接高考,通過配套作業(yè)發(fā)揮教材習(xí)題的評價(jià)功能.

二、教學(xué)過程

2.1 教材習(xí)題的內(nèi)在價(jià)值

2.1.1 在習(xí)題分析中發(fā)揮教學(xué)功能

【教學(xué)片段1】——原題呈現(xiàn),解法分析

(人教A版必修第一冊第160頁綜合運(yùn)用第6題)

(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1;

(2)f(2x)=2f(x)g(x);

(3)g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2.

解法展示解法對比教師總結(jié)同學(xué)甲直接將函數(shù)解析式代入進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算,計(jì)算量相對較大同學(xué)乙先對式子進(jìn)行平方差處理,再將函數(shù)解析式代入,簡化了運(yùn)算第(2)(3)問亦不難解決角度1:從條件中函數(shù)結(jié)構(gòu)來看,這是兩個(gè)復(fù)合函數(shù),由熟悉的指數(shù)函數(shù)和對勾函數(shù)及飄帶函數(shù)復(fù)合而成角度2:從求證的三個(gè)恒等式來看,他們均架構(gòu)起f(x)和g(x)之間的橋梁.這也反映出這兩個(gè)函數(shù)存在著某些內(nèi)在聯(lián)系,今天我們就來探究這兩個(gè)函數(shù),或許能發(fā)現(xiàn)其中的一些奧秘

設(shè)計(jì)意圖：現(xiàn)拋出一個(gè)教材中的簡單習(xí)題開啟一堂探究課,并對學(xué)生的解法做簡單點(diǎn)評.接著,從“已知”和“求證”兩個(gè)角度提出這個(gè)習(xí)題中有價(jià)值的探究點(diǎn),以小見大,在接下來的探究過程中讓學(xué)生慢慢認(rèn)識課本例習(xí)題所蘊(yùn)含的價(jià)值.

2.1.2 在發(fā)現(xiàn)之旅中提升探究能力

【教學(xué)片段2】——繪制圖象,探究性質(zhì)

(學(xué)生動手操作,投影展示學(xué)生成果,分享作圖過程)

生:我是通過取幾個(gè)特殊點(diǎn),再用光滑的曲線連接,作出f(x)的圖象.

師:用有限個(gè)點(diǎn)是否能較為精準(zhǔn)的刻畫函數(shù)的圖象?

生:不能,需要借助函數(shù)的性質(zhì)研究.

師:你要研究這個(gè)函數(shù)的哪些性質(zhì)?研究的先后順序如何?

生:先研究定義域,奇偶性,再研究單調(diào)性,值域等.

師:奇偶性在研究函數(shù)性質(zhì)的過程中能起到怎樣的作用?

生:奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.

奇偶性可以讓函數(shù)單調(diào)性的研究縮短一半進(jìn)程.

師:在(0,+∞)上只取了有限個(gè)點(diǎn),用光滑曲線連接,一定是單調(diào)遞增的嗎?

可以通過哪些方法來研究函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性呢?

生:增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù);用定義法嚴(yán)格證明.

師:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,是否有可能最后趨向一個(gè)常數(shù)?

生:不可能趨于一個(gè)常數(shù).角度1:指數(shù)函數(shù)爆炸式增長;角度2:函數(shù)值域.

生:類比f(x)的探究過程,g(x)先研究函數(shù)的定義域,奇偶性,再研究其單調(diào)性.

師:定義法不再重復(fù),可以選擇復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析.

學(xué)生導(dǎo)學(xué)案:f(x)=ex-e-x2g(x)=ex+e-x2定義域奇偶性單調(diào)性值域漸近線

師:在幾何畫板中把兩個(gè)函數(shù)放在同一直角坐標(biāo)系中,兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)嗎?

生:形少數(shù)時(shí)難入微,g(x)-f(x)>0從代數(shù)的角度嚴(yán)格論證f(x)的圖象始終在g(x)的圖象下方.

設(shè)計(jì)意圖：給出一個(gè)問題的解答,并不意味著問題探究的終結(jié),而要引出更高層次問題.關(guān)于問題1,教師要鼓勵學(xué)生勇于探索和大膽實(shí)踐,及時(shí)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多的問題,由淺入深,進(jìn)而在教師的引導(dǎo)下解決.不斷挖掘教材中例習(xí)題的多種功能,挖掘其值得探究的知識增長點(diǎn),深化例習(xí)題教學(xué),發(fā)揮其內(nèi)在作用,以達(dá)到深化知識、活躍思維、提高能力的目的.

2.1.3 在歸納概括中樹立模型意識

【教學(xué)片段3】——?dú)w納路徑,建立模型

問題2:你能否根據(jù)兩個(gè)特殊函數(shù)的探究過程,總結(jié)一個(gè)新函數(shù)的基本研究路徑?

設(shè)計(jì)意圖：關(guān)于問題2,讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的抽象概括活動,有目的性、有針對性、有選擇性地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí),教給學(xué)生探究的方法和策略,培養(yǎng)科學(xué)的探究精神,使學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“知識價(jià)值”到“思維價(jià)值”的轉(zhuǎn)化,逐漸樹立模型意識,從而達(dá)到會一題通一類的效果.

2.1.4 在變式訓(xùn)練中培養(yǎng)高階思維

【教學(xué)片段4】——典例和變式

探究與發(fā)現(xiàn)：

師:雙曲正弦函數(shù)和雙曲正切函數(shù)的圖象除了(0,0)還有別的交點(diǎn)嗎?

師:如何求雙曲正切函數(shù)的值域?

生:利用復(fù)合函數(shù)求解,值域是(-1,1).

師:這說明函數(shù)h(x)不同于雙曲正弦函數(shù),它有兩條漸近線.

學(xué)生導(dǎo)學(xué)案:f(x)=ex-e-x2g(x)=ex+e-x2h(x)=ex-e-xex+e-x定義域奇偶性單調(diào)性值域漸近線

師:將具體函數(shù)h(x)換成一個(gè)抽象函數(shù)模型,同樣的問題,該如何解決?

生:需要探究抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.

師:沒有具體解析式,如何研究函數(shù)的這兩個(gè)性質(zhì)?

生:借助奇偶性和單調(diào)性的定義(動手操作并展示).

師:事實(shí)上這個(gè)抽象函數(shù)的具體函數(shù)模型就是例題中的雙曲正切函數(shù),有興趣的同學(xué)可以課后證明一下.

設(shè)計(jì)意圖：通過例題和變式,縱向探究雙曲函數(shù),在教學(xué)中應(yīng)盡可能多地從深度和廣度上挖掘教材習(xí)題涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容,并引導(dǎo)學(xué)生對它們進(jìn)行梳理、歸類、比較和優(yōu)化.這樣,在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、掌握基本技能的同時(shí),能使學(xué)生的高階思維能力得到培養(yǎng).

2.2 教材習(xí)題的外延價(jià)值

2.2.1 在文化滲透中實(shí)現(xiàn)育人功能

【教學(xué)片段5】——雙曲函數(shù)的背景介紹

(1)雙曲函數(shù)的歷史發(fā)展

我們探究的這一組函數(shù)叫作雙曲函數(shù),分別為雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù).

雙曲函數(shù)最早出現(xiàn)在懸鏈線的研究之中.意大利著名畫家達(dá)·芬奇在創(chuàng)作《抱銀貂的女子》時(shí)思考過:固定項(xiàng)鏈兩端,在重力的作用下自然下垂,項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么?這就是著名的懸鏈線問題.連接重慶和湖南的世界第一懸索橋——矮寨大橋就采用這種方法設(shè)計(jì)的.

(2)雙曲函數(shù)的物理應(yīng)用

雙曲函數(shù)并非單純是數(shù)學(xué)家頭腦里的抽象,在物理學(xué)眾多領(lǐng)域都可以找到豐富的實(shí)際應(yīng)用實(shí)例.比如:阻力落體,導(dǎo)線電容,粒子運(yùn)動,懸鏈線等.

(3)雙曲函數(shù)的數(shù)學(xué)延伸

從形式上看,雙曲函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的初等函數(shù),而從名字上看,它和三角函數(shù)有著千絲萬縷的聯(lián)系.另外,我們還可以在課后了解雙曲函數(shù)和導(dǎo)數(shù),不定積分,級數(shù)表示等知識的聯(lián)系.

設(shè)計(jì)意圖：在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂中,單一的評價(jià)體系以及孤立的學(xué)科建設(shè)弱化了數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值,使得課堂趨于乏味、枯燥.隨著新課程改革的深入,數(shù)學(xué)的文化價(jià)值受到強(qiáng)調(diào),在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化,能夠讓數(shù)學(xué)課堂“有血有肉”.

2.2.2 在提升拓展中開闊眼界

【教學(xué)片段6】——提升與拓展

拓展點(diǎn)1：(方法遷移)你能用所學(xué)的其他基本初等函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算或函數(shù)復(fù)合,得到新的函數(shù)并對其展開研究嗎?

拓展點(diǎn)2：三個(gè)雙曲函數(shù)所滿足的恒等關(guān)系式遠(yuǎn)不止教材提供的三條,你能挖掘更多關(guān)于雙曲函數(shù)的恒等關(guān)系式嗎?

例如:sinh(x±y)=sinhxcoshy±coshxsinhy;

cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy.

拓展點(diǎn)3：課上提到了懸鏈線問題,有興趣的同學(xué)可以查閱資料,了解更多關(guān)于雙曲函數(shù)的相關(guān)知識,以及它和三角函數(shù),對數(shù)函數(shù),導(dǎo)數(shù)等知識領(lǐng)域的聯(lián)系.

設(shè)計(jì)意圖：通過提升與拓展,把探究延伸到課堂之外.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們要善于挖掘教材的外延教學(xué)功能,教材中有一些典型性題目,它們或者是重要的結(jié)論,或者是某種數(shù)學(xué)思想方法,或者是某個(gè)數(shù)學(xué)命題延伸和拓廣,課上有限的時(shí)間無法完成的探究,咱們可以拋磚引玉,引導(dǎo)學(xué)生課后主動學(xué)習(xí),開闊眼界.

2.2.3 在高考真題中發(fā)揮評價(jià)功能

【教學(xué)片段7】——課后作業(yè),鏈接高考

1.(2019年北京卷理科13)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x,若f(x)為奇函數(shù),則a的值為________;若f(x)在R上是增函數(shù),則a的取值范圍為________.

【參考答案】-1,(-∞,0]

2.(2021年新高考Ⅰ卷13)已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=________.

【參考答案】1

3.(2017年全國Ⅲ卷理科11)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+k(ex-1+e-x+1)和x軸有唯一交點(diǎn),則k=________.

( )

A

【參考答案】B

設(shè)計(jì)意圖：雙曲函數(shù)是工程技術(shù)中的常用的函數(shù),盡管高中數(shù)學(xué)教學(xué)中沒有對其進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí),但隨著新課程改革的深入,教材習(xí)題正向我們發(fā)出信號,要把它當(dāng)做一個(gè)研究性學(xué)習(xí)的對象.可以看到,近幾年高考題中經(jīng)常看到與之相關(guān)的考題.因而對這組函數(shù)的圖象性質(zhì)等進(jìn)行一個(gè)深入的探索,對提高數(shù)感,提高解題速度與準(zhǔn)度,數(shù)形結(jié)合巧解相關(guān)題目等是很有幫助的.

三、教學(xué)反思

3.1 教材是命題的源

教材習(xí)題經(jīng)常不經(jīng)意出沒于高考之中,讓人猝不及防.

如一道天津高考數(shù)學(xué)卷的填空壓軸題:設(shè)a∈R,對任意實(shí)數(shù)x,記f(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5},若f(x)至少有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為________.不知道細(xì)心的老師有沒有注意到這樣一個(gè)細(xì)節(jié)?取小函數(shù)、取大函數(shù)命題人默認(rèn)考生是知道的.命題人的底氣是什么?底氣就是新教材.在新教材必修第一冊的第68頁,例6給出了取大函數(shù)的定義.

按照目前的命題趨勢,命題老師可以圍繞教材里給出的很多例習(xí)題做文章.以人教A版必修第一冊為例,第43頁綜合運(yùn)用第10題的糖水不等式,第46頁聯(lián)系第2題的調(diào)和不等式,第74頁綜合運(yùn)用第13題的取整函數(shù),第86頁綜合運(yùn)用第8題的對勾函數(shù),第101頁綜合運(yùn)用第8題出現(xiàn)的琴生不等式,第135頁探究與發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)的反函數(shù)概念等等,諸如此類潛藏在教材里的素材舉不勝舉.

3.2 教材是教學(xué)的根

教材是最標(biāo)準(zhǔn)、最權(quán)威的示范性文本,是教材編寫者的匠心所在.本節(jié)課我們從教材習(xí)題出發(fā),通過對一類特殊函數(shù)的研究,進(jìn)一步加深對研究函數(shù)知識的認(rèn)識與理解,同時(shí),提升了直觀想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).作為一線教師,我們要重視教材,鉆研教材、吃透教材、整合教材,認(rèn)真研習(xí)每一道習(xí)題,實(shí)現(xiàn)教材教學(xué)功能的最大化、最優(yōu)化,這樣對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有著深遠(yuǎn)的意義,也是我們自身專業(yè)成長的必經(jīng)之路.