鉛華洗盡是中點 珠璣不御用向量
——近三年全國乙卷理科數學立體幾何解答題命題特點探究

賈會新

(甘肅省嘉峪關市教科所)

筆者對大量立體幾何試題研究后發現,求解立體幾何類試題的關鍵是中點.中點是解題的出發點和突破口,也是落腳點.比如等腰三角形底邊的中點與頂角的頂點能引出垂直關系;普通三角形的中點能引出三角形的中位線的平行關系,而線線之間的位置關系多以垂直平行呈現.試題中有中點、平行或者垂直的位置關系,立體幾何的證明和計算就有了抓手.求解立體幾何問題的主要方法之一是向量法,空間向量坐標運算是特殊方法,向量的表示才是通性通法.教師在復習中要啟發引導學生掌握穩定方法,熟練特定片段,提高解題質量,落實核心素養.

一、2023年全國乙卷理科第19題原題呈現

(1)證明:EF∥平面ADO;

(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

二、2023年全國乙卷理科第19題考題分析

2023年全國乙卷理科立體幾何解答題序號是第19題,位置居中,共有3問.

(一)第(1)問解析

要證線面平行,先證線線平行.從圖中容易觀察到,若EF∥DO,則命題得證.而要保證EF∥DO,F必須得是AC的中點,而題目條件中并無F是AC中點的信息,那就得先證F是AC中點.

證明中點的方法有兩種,一種是利用空間向量的坐標運算直接求得F點的坐標,另一種是利用共線向量基本定理,用基向量表示與F點相關的合適向量.立體幾何中的向量,能夠用坐標表示或者計算的屬于特殊情況,不能用坐標表示時就只能用向量基本定理去表示,這就屬于一般方法.師生必須都要熟練掌握用基向量進行表示的通性通法.

(二)第(2)問解析

對于有些需要關注和研究的圖形,如果位置關系在原圖中特征不甚明顯,就需要將其抽取出來以平面圖形呈現,更有利于計算證明,比如第(2)問抽取了△AOD.

于是有AO2+OD2=AD2,

△AOD為直角三角形,∠AOD=90°,AO⊥OD.

有了這組垂直關系,思路迅速打開.

根據OD∥EF便可得AO⊥EF.

又AO⊥BF,且EF∩BF=F,則AO⊥平面BEF.

又AO?平面ADO,于是平面ADO⊥平面BEF.

“不畏浮云遮望眼,善從圖中抽平面”可見,第(2)問證明的關鍵在于獲得了一組垂直AO⊥OD.可是有些考生看不出來這組垂直關系,所以本例就是生動的例子.

(三)第(3)問解析

1.向量法.根據DO⊥AO,BF⊥AO,可知異面直線DO與BF所成角為D-AO-C的平面角,不妨設為θ.

但是在《立體幾何》(乙種本)全一冊,人民教育出版社中學數學室編,1983年12月第一版教材中,立體幾何二面角的求解辦法只能用幾何法,因為當時的教材中沒有引入向量概念,所有的人都是通過“一作二證三算”的高難度動作完成的,特別能考驗人,特別能折磨人,這種方法就是幾何法.為了能讓大家從知識的發展過程全方位認識一下二面角,進一步體會兩種方法的各自特點,我們不妨在此探究一下幾何法.

2.幾何法.要作出二面角D-AO-C的平面角,就得分別在兩個半平面內找到與棱垂直的線.

(1)“一作”.連接AD,BE交于點K,連接BF,AO交于點Q,連接KQ,KF,可知∠KQF為二面角D-AO-C的平面角.

(2)“二證”.根據第(2)問可知OD∥EF,可得AO⊥EF,又已知BF⊥AO,于是得到AO⊥平面BEF.又KQ?平面BEF,則AO⊥KQ,因此∠KQF為二面角D-AO-C的平面角.為了計算的便捷,可求其補角∠KQB.

(3)“三算”.△BQK的形狀無法斷定,經分析最穩妥靠譜的就是用余弦定理,但是用余弦定理就必須要算出三條邊.對考生的運算能力提出了較高的要求.

最后一步就是在△BQK中直接求解二面角的平面角正弦值.

(四)解后感悟

1.解題方法：經過對以上兩種不同的解法的對照發現,向量法簡便快捷,達到了四兩撥千斤的效果.是考生首選的方法.

2.知識技能：如果從學生平時復習系統性來看,對幾何法的研究還是很有必要的,本題第(3)問中,步步為營,步步驚心.“一作”讓學生明白了二面角的平面角是怎么做出來的,加深對二面角定義的理解;“二證”讓學生加深對“線面垂直的判定”的理解;“三算”讓學生會利用平面幾何的知識層層遞進、抽絲剝繭,加深對相似三角形、中位線、余弦定理等知識的理解和應用.

3.復習效果：幾何法的繁雜過程提示我們,計算二面角的平面角絕非易事.考生只有在兩種方法的比較中才能感同身受.只有系統掌握幾何法求二面角的整個流程,又熟練掌握向量法求二面角的快捷方法.才能統領全局,居高臨下,收放自如.復習能達到這個層級,收獲就會最大化.

三、近三年全國乙卷理科立體幾何題考點比較

年份2023年2022年2021年卷型理科全國乙卷第19題,共3問理科全國乙卷第18題,共2問理科全國乙卷第18題,共2問圖形中點O,D,E分別為BC,PB,AP的中點E為AC的中點M是BC的中點第一問1.線面平行2.共線向量基本定理3.中點4.線線平行5.線面平行1.三角形全等2.等腰三角形底邊中點3.線線垂直4.線面垂直5.面面垂直1.線面垂直2.線線垂直3.余角與等角4.三角形相似比5.求線段第二問1.勾股定理的逆定理2.線線垂直3.線面垂直4.面面垂直1.面積最小2.等邊等腰直角三角形3.勾股定理逆定理4.共線向量基本定理5.中點的中點即四等分點6.線面角、法向量7.空間向量數量積應用8.線面角正弦值1.平面向量坐標運算2.法向量3.法向量的夾角4.空間向量數量積應用5.二面角正弦值第三問1.二面角定義2.空間向量數量積應用3.BF→·OD→=|BF→|·|OD→|cosθ4.二面角正弦值

四、近三年全國乙卷理科立體幾何解答題特點分析

通過比較近三年全國乙卷理科立體幾何解答題可以發現,它們之間所考查的知識點重合度高,共同特點多.可以概括為:

(一)中點.都會考查到中點或者與中點相關的知識.

(二)勾股定理.證明線面位置關系都需要通過邊的關系利用勾股定理逆定理a2+b2=c2證得直角三角形找出垂直線段.2023年全國乙卷理科第19題、2018年全國乙卷理科第20題,兩年的考點完全相同.

(三)相似全等推余角關系.根據兩個三角形的已知邊角關系證明三角形相似或者全等,得到兩個等角,根據等量代換,推出另一個三角形中兩個角的和為90度,于是進一步得到第三個角為直角,就推出了邊的垂直關系.這種考查方式與勾股定理逆定理的考查方式經常交替出現.

根據試題中的已知條件容易得出△DCF∽△DBC,于是可以推出∠1=∠2,又因為已知∠1+∠3=90°,等量代換得到∠2+∠3=90°,所以可得∠CFB=90°,即CE⊥DB.又獲取一組線線垂直關系.這種由相似全等推出余角關系找垂直和前面提到的利用數量關系驗證a2+b2=c2找垂直關系,是立體幾何高考解答題中兩朵美麗的浪花,是實現數形轉化,由數量關系推導位置關系的兩大基石.學生在日常的學習中潛移默化地掌握兩種獲取位置關系的方法,就成為解決問題的有力武器.

(四)向量數量積公式.求線面角或者二面角,都可以轉化為向量方法,借助平面的法向量,利用向量數量積公式m·n=|m||n|cosθ求解.

五、近三年全國乙卷理科立體幾何解答題核心素養匯總

數學核心素養2023年2022年2021年邏輯推理能夠對與學過的知識有關聯的數學命題條件與結論的分析,探索論證的思路,選擇合適的論證方法予以證明,并能準確地用數學語言表述論證過程直觀想象能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數量之間關系的基本方法,能夠借助圖形性質探索數學規律,解決實際問題或數學問題數學運算能夠針對運算問題,合理選擇運算方法,設計運算程序,解決問題.能夠理解運算是一種演繹推理.能夠在綜合運用運算方法解決問題的過程中,體會程序思想的意義和作用

在數學六大核心素養中,數學抽象與直觀想象作為一類,它們是觀察世界的數學思維;邏輯推理與數學運算作為一類,是思考世界的數學思維;數學建模與數據分析作為一類,是描述世界的數學思維.

很顯然,立體幾何解答題,至少考查了四個數學核心素養,首先在思維特征方面通過數學抽象與直觀想象進行觀察,提取了有用信息并進行化歸轉化.其次在思維特征方面通過邏輯推理和數學運算進行思考,定量探究了邊角關系.可見,滲透了數學核心素養的“觀察、思考、運算”是立體幾何求解的重要特征.

六、近三年全國乙卷理科立體幾何解答題相關特征分析

(一)幾何圖形的模型特征

2023年模型為底面是直角三角形,側面與底面垂直的三棱錐;2022年模型為底面是等邊三角形,側面與底面垂直的三棱錐;2021年模型為底面是矩形,有一側棱垂直于底面的四棱錐(陽馬模型);2020年模型為底面是等邊三角形的正三棱柱;2019年的模型為長方體.底面圖形都很特殊,都有一條垂直于底面的線存在,這就為向量運算提供了保證.

(二)是否具備空間向量坐標運算要素

2023年考題具備建立空間直角坐標系運算的要素,分別以OA,OC,OP為x,y,z軸建立空間直角坐標系;2022年考題具備建立空間直角坐標系運算的要素,分別以EA,EB,ED為x,y,z軸建立空間直角坐標系;2021年考題具備建立空間直角坐標系運算的要素,分別以DA,DC,DP為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

(三)滲透的數學思想方法

三年的考題均考查了數形結合思想、化歸與轉化思想、待定系數法等數學思想方法.

七、復習備考建議

在一套共6道高考解答題中,沒有一道題會輕松得分,概率需要建模抽象,三角函數需要邏輯推理和數學運算,其他如圓錐曲線、導數與最值等題型都不容易得分.而唯獨立體幾何解答題,經過有針對性的訓練之后,學生解題成功率和成就感就會大大增強,所以說立體幾何解答題是學生最容易拿到較高分數的題型,應該是師生重點關注的題型.

縱觀近年來全國乙卷理科立體幾何解答題命題特點,建議今后立體幾何解答題高考復習備考中要注意以下幾點.

(一)牢固樹立“中點”的核心意識

猜想、推理、計算都要緊緊圍繞“中點”展開,“中點”能派生出等腰三角形的垂直,能派生出中位線的平行.立體幾何的落腳點是線線關系,有了平行和垂直的位置關系,所有的考點都會豐滿而靈動.

(二)努力挖掘“a2+b2=c2”的數量關系

該數量關系可為幾何證明提供有力的垂直依據.一部分學生在面對歷年立體幾何高考試題時,因苦于找不到充足的線線垂直條件而一籌莫展,實際上專家的命題意圖就是要讓考生對已知數據進行處理整合,通過三角形中邊的關系得到直角三角形,教學中要提醒學生養成這樣的思維意識,就是要從計算得垂直.過了這個坎,難度得到分散,思路隨之開闊.

(三)精準計算“法向量”的待定儲備

向量工具的引入,求角變得比較簡單,考生可以不用作出所求的角,同樣可以通過向量計算得到所求角.因此,利用待定系數法精準計算出平面的法向量作為儲備,特別重要.

向量的坐標運算是特殊方法,是在能夠建系的基礎上的解法,當無法建系時,就要學會用基底去表示所需向量.這才是通性通法,這是教師要必須引導學生熟練掌握的一項基本功.

在向量工具未引入高中數學課本以前,立體幾何求線面角或者面面角難上加難,因為都要經歷對相應角“一作、二證、三算”的艱難過程,尤其是“二證”“三算”部分相當困難.前面已經將兩種解法進行了較為全面的闡釋,經歷過兩種解法對照的考生,會留下極其深刻的印象并且堅定地選擇向量法穩定發揮.教師在復習過程中讓學生探究體會兩種方法,在比較中選擇向量法作為儲備.

(四)系統研究“幾何模型”的相應策略

雖然幾何圖形無法猜測,但是立體幾何解答題中的圖形類型卻也能有章可循.底面不外乎正方形、矩形、等腰三角形、等邊三角形、直角梯形.與底面垂直的要素不外乎是線面垂直或者面面垂直.根據“中點”的核心意識,盡快定位空間直角坐標系,思路就打通了.把常見的幾種幾何模型訓練熟悉了,提取其中的共性,分析立體幾何的解答題就變得簡單有趣,考生面對此類解答題就更加有自信.