提取關鍵信息 破解建模難點
——2023年新課標Ⅱ卷第19題的價值

李振濤 王淑玲

(北京市順義牛欄山第一中學)

數學建模具有雙重的身份,既是六大核心素養之一,又是一條教學主線,從中可以發現數學建模在中學數學中的地位與作用,“作為大規模高利害考試,高考客觀上對高中教學起到重要的引導作用”,所以在高考試題中數學建模作為必考內容出現在試卷中就是必然事件.數學建模的基本流程是:在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題,分析問題、建立模型,確定參數、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題.從實際問題到建立模型是解決此類問題的關鍵,需要把實際問題中的關鍵信息提取出來,之后把這些關鍵信息符號化,才能建立相應的數學模型,最后是計算求解,用結果解釋問題.如何提取關鍵信息并符號化就是重中之重,下面通過典型試題進行解釋.

一、關鍵信息提取

1.題目

某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異,經過大量調查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:

患病者

利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設數據在組內均勻分布,以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.

(1)當漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設函數f(c)=p(c)+q(c),當c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區間[95,105]的最小值.

2.關鍵信息與符號化

序號關鍵信息數學符號表示1某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異,經過大量調查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖頻率分布直方圖

3.關鍵信息解讀

(1)前提假設

關鍵信息6是建立數學模型的前提假設,后面所有的數量關系以及由數量關系得到的模型都是在此前提假設下得到的,是檢驗模型有效性的基礎.在這個題目中,有兩個假設,一是“數據在組內均勻分布”;二是“事件發生的頻率作為相應事件發生的概率”,一是建立頻率分布直方圖的前提條件,二是利用頻率估計概率的常用方法,這兩個前提假設是解決頻率分布直方圖的常用假設,也是教學中要強調的知識點.

(2)檢測標準與漏診率和誤診率的關系

在醫學中,制定一個檢測標準需要考慮的因素很多,漏診率和誤診率是最重要的兩個指標,這個指標的確定應該使漏診率和誤診率盡量的小,這就是一個優化問題,也就是找到一個臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性,漏診率和誤診率盡量的小.誤診率與漏診率與指標c有關.從頻率分布直方圖觀察可以發現,患病者發生漏診現象是該指標在[95,105]范圍內,未患病者發生誤診現象是該指標落在[95,105]范圍內,也就說明漏診現象和誤診現象都發生在同一區間,需要對此區間進行進一步優化,使得漏診率和誤診率盡量地少.

(3)模型建立與求解

在此題中給出了兩問,第一問是對漏診率和誤診率的進一步體會,是從自然語言到符號語言的轉化,是簡單的利用題目假設和相關數據進行簡單的建模過程,是對題目相關概念的理解的一個測試,測試在一個新的問題情境中對所學知識的遷移與應用能力,是第二問的一個鋪墊.第二問是第一問的繼續延伸,通過第一問,可以發現漏診率和誤診率之間的關系,之后建立新的函數關系f(c)=p(c)+q(c),函數關系由p(c),q(c)兩部分組成,對應到關鍵信息3,4,結合頻率分布直方圖可以發現f(c)是定義在不同的頻率下的函數關系,所以應該是分段函數的形式,尋找函數的最小值是數學建模中常見的問題,只不過此時有具體的含義.

二、建模與求解

通過對以上關鍵信息的提取與解讀,可以建立以下的數學模型并求解:

解：(1)依題可知,左邊圖形第一個小矩形的面積為5×0.002>0.5%,

所以95

q(c)=0.01×(100-97.5)+5×0.002=0.035=3.5%.

(2)當c∈[95,100]時,

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02;

當c∈(100,105]時,

f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02,

所以f(c)在區間[95,105]的最小值為0.02.

三、試題價值

1.突出核心素養的考查

統計學知識是課程標準中要求掌握的重要知識,是中學數學的必備知識,是考查中學數學的核心素養和關鍵能力的重要組成部分.利用頻率分布直方圖,我們可以認識和估計總體的分布規律,估計總體的數字特征等.從各種統計圖中能讀出哪些信息和如何從統計圖中讀出信息是統計學學習和教學的重點之一.統計學的靈魂是數據,數據的呈現方式有多種,如何從數據中挖掘信息并獲得知識是統計學的核心.頻率分布直方圖是最常見的一種顯示數據的統計技術之一,它含有豐富的統計信息.試題設計的問題都要求考生能從頻率分布直方圖中讀出所需的信息建立數學模型,從中考查考生的數據處理能力、運算求解能力、數學建模能力及創新能力,進而考查核心素養,達到“引導學生會用數學眼光觀察世界,會用數學思維思考世界,會用數學語言表達世界”的目標.

2.突出育人價值

生活實踐情境已成為高考試題的常用載體,它要求考生把所學的數學知識與設問相聯系,此試題情境現實,試題考查的問題自然,有很強的現實意義.試題以考生陌生的醫學檢測為載體,將數學試題與醫學檢測相結合,啟發考生在生活中發現數學問題,并用所學知識來解決問題.問題的解決能很好地體現概率統計知識與方法的應用價值.設計的問題能有效地考查考生對統計學知識的掌握程度.試題設計了兩問,這兩個問題緊密相關,是一個理解問題、探究問題和解決問題的過程.首先要研究漏診率與誤診率的關系,通過頻率分布直方圖理解兩者間的關系,是對圖表的閱讀與考察,試題的第(1)問是為第(2)問作準備的.數學源于生活,服務生活.試題基于具體問題,易于理解,充分體現了創新性.試題考查的知識點具體但不繁難,實現了通過增加思維強度來選拔拔尖創新人才的目的,充分體現高考的改革精神,落實立德樹人的根本任務.

3.對數學建模基本流程的全面考察

通過題目的敘述與求解可以將數學建模的基本流程總結如下:

數據的收集與整理→發現和提出問題→符號化→基本假設→建立模型→模型求解→解釋實際問題

在這個基本流程中數據的收集與整理已經完成,如何讀懂數據,利用數據解決問題就是關鍵,對于關鍵信息的提取是解決問題的重要一環,是對數據分析核心素養的考察,符號化和基本假設是建模的前期準備,是解決模型的合理性的前提,也是模型檢驗的條件,模型的建立是需要根據具體條件進行的,從實際條件出發,建立合適的數學模型近似的描述客觀世界是建模的基本要求,所以在此題中要建立分段函數模型,這是高中數學中的一個難點,也是建模中常用的方法,是創新的具體體現之一,從這個題目的整個過程來看,可以很好地考查數學建模的基本流程,符合“一核四層四翼”的要求.