Rosenau-KdV-RLW 方程的高精度線性化差分格式

易莉佳，陳 舉，胡勁松

（西華大學理學院,四川 成都 610039）

1 預備知識

Rosenau-KdV-RLW 方程[1-3]

作為非線性淺水波的一個重要模型有著廣泛的應用，文獻[1-3]研究了它的孤波解和不變量，其數(shù)值方法研究也備受關注[4-14]。本文考慮如下一類Rosenau-KdV-RLW 方程初邊值問題：

文獻[4-5]對問題（2）—（4）分別提出了擬緊致線性格式和加權線性格式，文獻[7-8]在時間層進行線性化離散，分別建立了新的三層和兩層線性化差分格式，提高了數(shù)值求解的效率，但理論精度都只達到2 階。為了進一步提高數(shù)值方法的理論精度，本文在時間層對非線性項uux進行線性化外推離散，在空間層進行外推組合離散，從而對問題（2）—（4）構造了一個理論精度為O(τ2+h4)的三層線性化數(shù)值差分格式，利用離散泛函分析方法和數(shù)學歸納法不僅證明了其差分解的存在唯一性，還證明了該差分格式的收斂性和穩(wěn)定性。最后數(shù)值實驗證明該差分方案是有效的。

2 差分格式及其可解性

在時間層和空間層分別進行外推數(shù)值離散，對問題（2）—（4）構造如下三層外推有限差分數(shù)值求解格式：

定理1當取時間步長 τ足夠小時，線性差分格式（5）—（8）的數(shù)值解是唯一存在的。

證明：由式（6）和式（7）知，顯然U0和U1是線性差分格式（5）—（8）的數(shù)值解。現(xiàn)假設Un-1和Un（n≤N-1）是唯一存在的，則

考慮式（5）中的未知層Un+1對應的齊次線性方程組，有

以Un+1對式（10）取內(nèi)積，由式（8）、式（9）和引理1，并利用分部求和公式[16]，并且注意到

取時間步長 τ足夠小，使得當 (1-Cτ)>0時，關于Un+1的齊次線性方程組（10）有且僅有唯一零解，于是關于Un+1的非齊次線性方程組（6）的解是唯一存在的。從而由歸納假設知，線性有限差分格式（5）—（8）的數(shù)值解是存在且唯一的。

3 差分格式的收斂性和穩(wěn)定性

將外推線性化有限差分數(shù)值格式（5）—（8）的截斷誤差定義為：

且由Taylor 展開公式顯然有，當h,τ →0時

引理2[7]假設u0∈H2，初邊值問題（2）—（4）的連續(xù)解滿足如下估計式：

定理2假設u0∈H2，若空間步長h和時間步長τ足夠小，則外推線性化差分格式（5）—（8）的數(shù)值解Un以范數(shù) ‖·‖∞收斂到初邊值問題（2）—（4）的連續(xù)解，此時收斂階為O(τ2+h4)。

證 明記，用（12）—（15）式減去（5）—（8）式，可得

根據(jù)截斷誤差式（16）和引理2 可知，存在與空間步長h和 時間步長 τ都無關的常數(shù)Cu和Cr,滿足

再根據(jù)式（19）以及初始條件（6）可得估計式：

將式（18）兩端與e1作內(nèi)積，再由邊界條件（20），得

于是根據(jù)式（16）和Cauchy-Schwarz 不等式以及引理1 可以推出

其中C1是 與 τ 和h無關的常數(shù)。

假設

其中Cl(l=2,3,···,n)為與空間步長h和 時間步長 τ都無關的常數(shù)。利用Cauchy-Schwarz 不等式，再由離散Sobolev 嵌入不等式[16]有

并由離散分部求和公式[16]，整理得

根據(jù)微分中值定理，結合引理2 有

此時取 τ 和h充分小，使得

于是，由引理1、引理2 和式（25）、式（27）、式（28），利用Cauchy-Schwarz 不等式有

同理可得

將式（29）—式（31）代入式（26），整理得

將式（32）兩端同時乘以τ，從1到n遞推求和，再根據(jù)引理1 整理可得

又根據(jù)式（21）、式（23）有

最后再根據(jù)離散的Sobolev 不等式[16]，即得

定理3假設u0∈H2，如果空間步長h和 時間步長 τ充分小，那么外推線性化有限差分格式（5）—（8）的數(shù)值解滿足如下估計式：

證明由定理2 的結論，當時間步長 τ和空間步長h足夠小時，有

由定理3 可知，如果時間步長 τ和空間步長h足夠小，外推線性化有限差分格式（5）—（8）的數(shù)值解Un以范數(shù) ‖·‖∞關于初始值絕對穩(wěn)定。

4 數(shù)值實驗

Rosenau-KdV-RLW 方程（1）的孤立行波解[7]為

為了驗證本文外推線性化有限差分算法的可行性，取初值函數(shù)u0(x)=u(x,0)進行數(shù)值模擬求解，固定xL=-30，xR=120，T=40。為了驗證差分格式（5）—（8）對函數(shù)u(x,t)數(shù)值求解時在不同范數(shù)下的理論精度為O(τ2+h4)，分別定義

就 τ 和h的 不同取值，外推線性化有限差分格式（5）—（8）的數(shù)值解在不同時刻的誤差及其對理論精度的數(shù)值檢驗見表1—表2。

表1 不同時刻數(shù)值解的誤差Tab.1 Error of numerical solution at different time

表2 對格式的理論精度O (τ2+h4)的數(shù)值模擬Tab.2 Numerical example of the scheme on theoretical precision O(τ2+h4)

數(shù)值結果表明，本文對初邊值問題（2）—（4）所提出的外推線性化有限差分數(shù)值格式（5）—（8）是有效的。更為重要的是，該格式是線性的，計算時間比較節(jié)約。