二維趨化–流體系統的整體適定性

況 旺，冬 英

（西華大學理學院，四川 成都 610039）

1 預備知識

在實際生活中，船蛆會聞到木材散發出來的木質素,集體靠近木材進行啃食；草履蟲會避開有害的高濃度鹽水且移動到有0.2% 乙酸的溶液區域。類似的自然現象十分常見。學者們稱這些細胞或者組織根據化學信號的刺激而產生的定向移動現象為趨化現象。在此基礎上,Tuval 等[1]通過實驗觀察發現流體會對枯草芽孢桿菌的運動產生影響。由此，學者們為刻畫實驗中觀察到的現象,將描述細胞趨化運動的Keller-Segel 方程組與描述不可壓縮流體運動的Navier-Stokes 方程組耦合建立如下趨化–流體系統

其中：? ?RN（N為正整數）是一個具有光滑邊界的有界區域；未知函數n=n(x,t)表示細菌密度；c=c(x,t)表示化學信號濃度；u=u(x,t)和P分別表示流體速度場和相應的標量壓力；參數 κ ∈R刻畫了非線性對流的強度。另外,S、f、? 均是給定的函數,S=S(c)表示趨化靈敏度函數,f(c)表示氧氣消耗率,?為重力勢函數。

近年來，在趨化靈敏度函數S(c)、耗氧率函數f(c)和勢函數 ?滿足一定的技術性假設條件下，關于系統(1)在有界區域中的初邊值問題解的整體存在性、最終光滑性以及大時間漸近行為等方面的研究已經頗有碩果。在無通量–無通量–無滑移邊界條件

下（其中 υ 表示 ??上的單位外法向量）,Winkler[2]已經證明系統(1)在二維情形下存在整體有界且唯一的經典解；對于三維情形，證明了當 κ=0時，對應方程組存在整體弱解。在此基礎上，學者們[3-4]進一步討論系統(1)解的最終光滑性和大時間漸近行為。當S=S(x,n,c)時,Cao[5]證明了當足夠小時，系統(1)初邊值問題經典解的整體有界性。進一步,Zhou[6]去掉小性條件得到三維情形下相應的結果。

除此之外，學者們發現細菌的生存環境中存在氣體交換現象,該現象出現在流體與空氣的交互界面。為了描述此類現象，學者們提出了無通量-Dirichlet-無滑移邊界條件，即

其中c?≥0。Wang 等[7]證明了在三維有界區域中，當S(c)≡1,κ=0且滿足邊界條件(2)時，系統(1)存在整體廣義解。此外,Wang 等[8]還得到二維情形下，若存在常數δ >0,使得初值滿足≤δ,則系統(1)存在整體經典解。

然而，如果趨化靈敏度函數S=(1+n)-α,趨化–流體系統在邊界條件(2)下的研究成果還很少。因此本文將考慮如下初邊值問題

其中：? ?R2是一個具有光滑邊界的有界區域；c?≥0；α>0。本文的主要困難是處理非齊次邊界條件。為此，我們需要對方程組(3)進行正則化處理，然后通過一系列的先驗估計和取極限過程證明正則問題的經典解可以收斂到原問題的解。

為行文方便，本文先給出一些記號說明和假設。記

A:=-P?表示空間L2(?;R2)中的Stokes 算子[9],其定義域為

其中P表示L2(?;R2)到(?)上的Helmholtz 投影。此外，對于任意的 ? ∈R,用符號A?表示A的自伴分數階算子。二維情形下,? ∈(,1)。另外，假設初值 (n0,c0,u0)具有如下的正則性要求

基于上述假設，本文可得如下結論。

定理1假設 ? ?R2是一個具有光滑邊界的有界區域,α>1且重力勢函數 ? ∈W2,∞(?)。那么當初值 (n0,c0,u0)滿足條件(4)時，系統(3)存在整體經典解(n,c,u,P),并且存在常數C>0,使得對任意的t>0,有

2 局部存在性和預備引理

為了克服Dirichlet 型邊界條件帶來的困難，我們首先考慮系統(3)的正則問題。為此，根據文獻[10]，我們定義截斷函數族(ρε)ε∈(0,1)和 (χε)ε∈(0,1)分別滿足

那么可以考慮系統(3)的如下正則系統

為方便書寫和計算，可記Fε:=Fε(x,nε)和令=cε-c?,使原問題的邊界條件變為齊次邊界條件。因此，系統(7)可進一步改寫為下列系統

對于所有的邊界條件都是齊次形式的系統(8),由標準的拋物型方程解的理論、半群理論和不動點定理，可以得到系統(8)存在唯一的局部經典解，再由=cε-c?可得系統(7)解的如下性質，其具體的證明細節可以參見文獻[2]的引理2.1。

引理1假設 ? ?R2是一個具有光滑邊界的有界區域,α >0且重力勢函數? ∈W2,∞(?),初值(n0,c0,u0)滿足條件(4)且邊界值c?≥0。則存在Tmax,ε∈(0,∞],使得系統(7)在 ?×(0,Tmax,ε)上存在唯一的經典解(nε,cε,uε,Pε)且滿足

成立。

引理 2設 (nε,cε,uε,Pε)是正則系統(7)的經典解，對任意的ε ∈(0,1)有

作為后續估計的一個準備工作，我們還需要介紹下列的ODI 引理，其證明過程請參見文獻[11]中的引理3.4。

引理 3令T>0 且函數y∈C0([0,T))∩C1((0,T))。如果對任意的t∈(0,T),函數y(t)滿足

其中g∈(R),a>0且存在 τ>0 和b>0,使得函數g滿足

那么對任意的t∈[0,T),有

3 先驗估計

為了得到系統(3)有整體存在經典解的結論，需要建立逼近系統(7)經典解的一致估計。而其中有關 ‖nε‖Lp(?)的有界性，我們首先需要證明一個有關化學信號濃度梯度的正則性的引理,該引理的詳細證明請參見文獻[8]的引理3.1。

引理4設 (nε,cε,uε,Pε)是正則系統(7)的經典解，則存在常數C>0 使得對任意的 ε ∈(0,1)有

引理5設 (nε,cε,uε,Pε)是正則系統(7)的經典解，則對任意的 α>1,存在常數C>0使得對任意的ε ∈(0,1)有

證明我們在系統(7)的第一個方程兩端同乘并在 ?上積分，通過分部積分公式有

再根據條件和式(6),并且對式(16)使用Young 不等式，可得

?·uε=0

利用Gagliardo-Nirenberg 不等式、Young 不等式和式(11)有

其中常數C1、C2和C3均大于零，。再結合式(17)和式(18)可知

其中常數C4>0,即證得結論(14)。最后在式(17)兩端同時關于時間t在 (t,t+τ)上積分，并由引理4 和式(20)可得結論(15)成立。

類似地，應用引理3 的結論，可以得到關于‖uε(·,t)‖L2(?)的估計。

引理6設 (nε,cε,uε,Pε)是正則系統(7)的經典解。那么存在常數C>0 使得對任意的 ε ∈(0,1)有

證明在系統(7)第3 個方程的兩端同時乘uε并在? 上積分，通過分部積分公式，? ·uε=0，H?lder不等式和Young 不等式可得存在常數C1>0使得

成立，其中應用了二維情形下的Sobolev 嵌入定理：W1,2(?)嵌入。再將引理5 中的式(18)代入式(23)可得存在常數C2>0使得

成立。之后由Poincaré不等式知，存在常數C3>0使得

成立。最后結合引理3 和引理4，有式(21)成立。進而，在式(24)兩端同時關于時間t在 (t,t+τ)上積分，并根據引理4 的結論可得式(22)成立。

基于上述引理，并且參考文獻[2]中的式(4.16)和式(4.17),我們可以證明得到有關的估計。

引理7設 (nε,cε,uε,Pε)是正則系統(7)的經典解。那么對任意的p>1,存在常數C>0使得對任意的ε ∈(0,1)有

證明在系統(7)的第三個方程的兩端同時乘上A:=-P?,并由Young 不等式，可得

其中常數C1>0。對于不等式(27)右端中最后一項，我們應用插值不等式,等價范數以及引理6 的結論(21)式可得

其中常數C2和C3均大于零。因此，將式(28)代入式(27)中有

其中常數C4>0 。至此，可令,則式(29)滿足

其中常數C5>0。再根據引理6 中的式(22)可得結論(25)成立。最后，對任意的p>1，根據二維情形下Sobolev 嵌入定理，W1,2(?) 嵌入Lp(?)和式(25)可得結論(26)成立。

引理8設 (nε,cε,uε,Pε)是正則系統(7)的經典解。那么存在常數C>0使得對任意的ε ∈(0,1)有

證明對系統(8)的第2 個方程運用常數變易公式，可得對任意的t∈(0,Tmax,ε),有

因此，利用Dirichlet 型半群的Lp-Lq估計[12]和引理2,存在常數和使得C1,C2,C3C4>0

其中T∈(0,Tmax,ε)，則根據式(31),可得

其中C5>0 。因為θ<1,所以由Young 不等式可得有界，之后再通過回代變換=cε-c?可得結論(30)。

引理9設 (nε,cε,uε,Pε)是正則系統(7)的經典解。那么存在常數C>0 使得對任意的 ε ∈(0,1)有

證明利用常數變易公式,Neumann 熱半群的Lp-Lq估計理論和引理6 的證明方法可得結論。詳細的證明過程請參見文獻[5]的引理4.7 和引理4.8。

結合已經證明的引理，可以得到逼近系統(7)解的整體存在性結論。

命題1假設 ? ?R2是一個具有光滑邊界的有界區域,α>1且重力勢函數 ? ∈W2,∞(?),初值(n0,c0,u0)滿足條件(4)且邊界值c?≥0。那么系統(7)存在一致有界的整體經典解 (nε,cε,uε,Pε)。并且存在常數C>0 使得對任意的ε ∈(0,1)和t∈(0,∞),有

證明結合引理2、引理8、引理9可得是關于時間一致有界的。再由引理1 的爆破準則可以推出Tmax,ε=∞,因此系統(8)存在一致有界的整體經典解。

4 定理1 的證明

由命題1 知系統(7)存在一致有界的整體經典解。之后基于命題1 中的一致估計(32)和標準的正則理論能夠證明系統(7)的經典解收斂到系統(3)的弱解。最后由拋物型方程解的正則性理論[13]可以得到系統(3)存在一致有界的整體經典解，即存在 γ ∈(0,1)使得函數對 (n,c,u)滿足下述條件：

更詳細的證明過程可以參考文獻[5]中章節6 的證明。