基于一般二元關系粗糙近似算子的格結構研究

王 豪，劉銀山，秦克云

（西南交通大學數學學院,四川 成都 611756）

粗糙集理論（Rough Sets）是波蘭學者 Pawlak[1-2]于1982 年提出的一種處理不確定性知識的數學工具。作為一種處理不確定性問題的數學工具，粗糙集理論將知識理解為區分對象的能力，形式化的知識是對論域的劃分，通過論域上的等價關系表示。不確定性概念借助相應的等價類構造近似算子進行逼近。目前，粗糙集理論已經在知識與數據發現、模式識別與分類、知識推理、不確定性決策等領域取得了成功的應用[3-7]。Pawlak 粗糙集模型中，等價關系起著至關重要的作用，但是在許多實際問題中，論域的二元關系不是等價的。從更廣義的角度出發，Yao[3]將Pawlak 粗糙集模型拓展為一般二元關系的粗糙集模型。Song 等[4]刻畫了基于L-模糊廣義鄰域系統和基于L-模糊關系的粗糙集的格結構。一般二元關系是L-模糊關系的特例，所以也具有格結構。宋巧玲等[5]給出了基于一般二元關系的格結構和悲觀多粒度近似算子的格結構，證明了給定論域上所有的基于一般二元關系的上（下）近似算子構成完備格。完備格滿足一定條件后成為剩余格，剩余格既具有代數結構又具有序結構，成為多個數學分支的研究課題。陳子春等[6]證明了在適當選取蘊涵算子及剩余算子之后，粗糙集代數成為剩余格。喬全喜等[7]證明了在適當選取蘊涵算子之后，粗糙集代數成為布爾代數。筆者將對基于一般二元關系的近似算子的完備格結構進行進一步的刻畫，刻畫格結構上下確界的代數表示，并且將證明在適當選取蘊涵算子之后，基于一般二元關系的粗糙近似算子構成MV、R0 與布爾代數。

1 預備知識

本節本文給出一些關于Pawlak 粗糙集模型、多粒度粗糙近似算子和剩余格的概念。

定義1[2]設U是一個非空集合，R是U上的等價關系，且X?U，則稱(U,R)為Pawlak 近似空間，并分別稱為X的R-上近似和X的R-下近似。如果則稱是一個關于R的Pawlak 粗糙集，而映射分別被稱作下近似算子和上近似算子,其中 2U表示U的冪集。

命題1[2]設R是非空集合U上的等價關系，則?X,Y?U，有：

引理1[8]設R和Q是U上的兩個等價關系，則下列結論等價：

下面給出一般二元關系下悲觀和樂觀多粒度粗糙集模型的概念。

以下U表示論域，R1,R2,···,Rm表示論域U上的一族二元關系，?x∈U,?i=1,2,···,m，假設Ri(x)={y∈U:(x,y)∈Ri}。

定義2[9]1）?X?U，X的悲觀多粒度下近似集合與上近似集合分別定義為：

一般情況下，當R1,R2,···,Rm中存在不自反的二元關系時，樂觀多粒度上近似集合和下近似集合有可能不滿足上下近似集合的包含關系。

引理2[9]令U為論域，R1,R2,···,Rm為論域上的一族二元關系，?X?U，有

其中，sinX表示集合X的補集。

定義3[10 -11]設 (L,∨,∧,0,1)是一個有界格，其中 0和 1分別是它的最小元與最大元。如果L上還有兩個運算 ? 和 →，且滿足：

1) (L,?,1)是以1為單位的交換半群；

2) (?,→)是伴隨對，即a?b≤c當且僅當a≤b→c，?a,b,c∈L；

則稱 (L,∨,∧,?,→,0,1)是一個剩余格。

定義4[10,12-15]設 (L,∨,∧,?,→,0,1)是一個剩余格，若L滿足條件

則稱 (L,∨,∧,?,→,0,1)為MTL 代數。一個MTL 代數若還滿足條件 (a→0)→0=a,?a∈L。則稱其為IMTL 代數。一個MTL 代數若還滿足條件a∧b=a?(a→b),?a,b∈L。則稱其為布爾代數。一個IMTL代數，若還是布爾代數，則稱其為MV 代數。一個IMTL 代數若還滿足條件 (a→b)∨((a→b)→?a∨b)=1,?a,b∈L則稱其為R0 代數。

下面我們給出一些剩余格的示例。

例1L=([0,1],∧,∨,?,→,0,1)，其中a?b=0∨(a+b-1)，a→b=(1-a+b)∧1。則L稱為Lukasiewicz代數，L是一個剩余格，且是IMTL 代數。

例2L=([0,1],∧,∨,?,→,0,1)，其中a?b=a∧b，則L稱為Godel代數，L是一個剩余格，不是IMTL 代數。

例3L=([0,1],∧,∨,?,→,0,1)，其中a?b=a·b，。則L稱為Goguen 代數，L是一個剩余格，且是MTL 代數，不是IMTL 代數。

2 基于一般二元關系的粗糙近似算子的代數結構

宋巧玲等[5]已經給出基于一般二元關系的粗糙近似算子的格結構，在此格結構的基礎上，將上下確界的代數表示刻畫得更加簡單，并給出基于等價關系的粗糙近似算子上下確界的代數表示、悲觀多粒度的粗糙近似算子上下確界的代數表示和基于一般二元關系粗糙近似算子其他的代數結構。

用R(U×U) 表示U上所有的二元關系之集，容易得出 (R(U×U),?,∪,∩)是有界完備格，最大元為U×U，最小元為?。

例 4集合U′={a,b,c}，R′(U′×U′)表示U′上所有的二元關系之集，集合R′(U′×U′)元素個數為29，則R′(U′×U′)關于集合的包含關系構成偏序集，且(R′(U′×U′),?,∪,∩) 是有界完備格，最大元為U′×U′={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b)}，最小元為?。

對于任意R1,R2∈R(U×U)，令R1∧R2=R1∩R2，R1∨R2=R1∪R2。容易驗證 ∧與 ∨是R(U×U)上封閉的二元運算。

在R(U×U)上定義運算→如下：對于任意R1,R2∈R(U×U)R1→R2=sinR1∪R2，容易驗證 →是R(U×U)上的封閉的二元運算。

引理3→與∧ 構成伴隨對。

證明若R1∧R2≤R3，則R1∩R2?R3。R1=(R1-R1∩R2)∪(R1∩R2)，由于R1-R1∩R2?sinR2，R1∩R2?R3，故有R1=(R1-R1∩R2)∪(R1∩R2)?sinR2∪R3。即R1 ≤R2→R3。

另一方面，若R1≤R2→R3，有R1?sinR2∪R3，故R1∩R2?R3。否則存在 (x,y)∈R1∩R2?R3，則(x,y)∈R1。又因為(x,y)?sinR2∪R3，故有R1?sinR2∪R3，與R1?sinR2∪R3矛盾，所以R1∩R2?R3，即R1∧R2≤R3。

由引理可得以下定理。

定理1(R(U×U),∨,∧,→,∧,?,U×U)構成一個剩余格，記為R(U×U)1。

引理4[5]設R,Q是U上的一般二元關系，則?X?U，下列等式成立：

引理5下列3 個條件等價：

證明1)?2)：

本文通過對完備格結構的下確界的代數表示進行刻畫，使得下確界表示方式上更加簡單。

在悲觀多粒度粗糙集模型中，由引理2 和引理3 得

所以悲觀多粒度粗糙近似算子是特殊的基于一般二元關系的近似算子。

記U上所基于一般二元關系的悲觀多粒度上（下）近似算子之集為mH(U)(mL(U))，在mH(U)(mL(U))上定義序關系當且僅當我們有以下推論。

引理6在集合H(U)上，→與 ∧ 構成伴隨對。

定理4H(U)1是MV 代數。

定理5H(U)1是R0 代數。

綜上可知，H(U)1是布爾代數。

由引理5 我們能夠得出基于一般二元關系的上、下近似算子分別構成的完備格是同構的，故L(U)定義上文的蘊涵之后，也成為MV、R0 與布爾代數。

3 結論

本文主要研究基于一般二元關系的粗糙近似算子的代數結構。Song 等[4]分別刻畫了基于L-模糊廣義鄰域系統的粗糙近似算子和基于L-模糊關系的粗糙近似算子的格結構。一般二元關系是L-模糊關系的特例，我們在本文中給出了基于一般二元關系的粗糙近似算子完備格結構，同時也給出了基于等價關系粗糙近似算子的完備格結構和基于一般二元關系的悲觀多粒度粗糙近似算子的完備格結構。在一般二元關系集合中定義蘊涵算子，則給定論域上所有的基于一般二元關系的粗糙近似算子集合成為MV、R0 與布爾代數。