基于推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子的隨機(jī)系數(shù)INAR(1)模型及其應(yīng)用

曹曉涵,張慶春,趙宸稷

(1.吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院,吉林 吉林 132022;2.吉林化工學(xué)院 理學(xué)院,吉林 吉林 132022)

整數(shù)值時(shí)間序列[1]在生活中普遍存在,在醫(yī)療、保險(xiǎn)、交通、犯罪學(xué)等領(lǐng)域也都有廣泛應(yīng)用。為研究此類數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,學(xué)者們相繼提出了一系列整數(shù)值時(shí)間序列模型。基于稀疏算子的一元INAR(1)模型[2]是用于擬合一元整數(shù)值時(shí)間序列的常用模型,通常可以用兩種方法進(jìn)行構(gòu)建,一種為預(yù)設(shè)模型的邊際分布法,例如,Maya等(2022)[3]提出了一種新的雙參數(shù)復(fù)合泊松分布,構(gòu)建了基于二項(xiàng)稀疏算子的該分布的二元 INAR(1) 模型。另一種是預(yù)設(shè)新息過程分布法,例如,Su等(2021)[4]提出了一個(gè)基于二項(xiàng)稀疏算子,新息過程服從二元負(fù)二項(xiàng)(BNB)分布的二元一階INAR(1)模型。負(fù)二項(xiàng)稀疏算子[5]作為刻畫傳染病過程、繁殖過程和犯罪過程等具有活躍數(shù)據(jù)生成機(jī)制的重要稀疏算子,因?yàn)槠渥陨矶x的原因不適合利用預(yù)設(shè)新息過程分布法構(gòu)建INAR(1)模型,張等(2020)[6]提出了一個(gè)推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子并基于該稀疏算子利用預(yù)設(shè)新息過程分布法建立了INAR(1)模型。

考慮到實(shí)際生活中環(huán)境等因素的影響,INAR(1)模型中稀疏參數(shù)應(yīng)該是隨時(shí)間變化的,統(tǒng)計(jì)學(xué)者們將INAR(1)模型推廣至隨機(jī)系數(shù)INAR(1)模型,此類模型更適用于刻畫實(shí)際生活中的整數(shù)值時(shí)間序列[7]。但目前基于推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子利用預(yù)設(shè)新息過程分布法建立的隨機(jī)系數(shù)INAR(1)模型還未見報(bào)道。

本課題研究帶有隨機(jī)系數(shù)的基于推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子的INAR(1)模型,利用最小二乘估計(jì)方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),并將模型應(yīng)用于實(shí)例數(shù)據(jù),具有一定的創(chuàng)新性和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

1 模型及其性質(zhì)

1.1 ENBRCINAR(1)模型的定義

首先介紹一個(gè)推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子,假設(shè)X為一個(gè)非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量,令α∈(0,1),推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子“*”定義如下:

(1)

基于上述稀疏算子,我們把滿足迭代方程(2)的一元非負(fù)整數(shù)值時(shí)間序列{Xt}t∈N稱為帶有隨機(jī)系數(shù)的基于推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子的一元INAR(1)模型,簡稱為ENBRCINAR(1)模型。

Xt=αt*Xt-1+Rt,t∈N,

(2)

這里{αt}為i.i.d.取正值的隨機(jī)變量序列,αt∈B?R+,其分布函數(shù)為Pαt;

{Rt}是一個(gè)i.i.d.的非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量,其概率函數(shù)為fRt,對于每一個(gè)t和任意的s

1.2 ENBRCINAR(1)模型的性質(zhì)

E(Xt|Xt-1)=α(Xt-1+1)+λ,

若Var(X0)=a/(1-b),則Var(Xt)=a/(1-b),

Cov(Xt+k,Xt)=αkVar(Xt),t≥0。

2 參數(shù)估計(jì)

假設(shè){Xt}t∈N是一個(gè)平穩(wěn)遍歷的INAR(1)過程,{X1,X2…Xn}是來自模型1.1的一組觀測數(shù)據(jù),利用條件最小二乘估計(jì)法(CLS)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),記未知參數(shù)θ=(α,λ)T。最小二乘估計(jì)方程式(3)如下:

(3)

則參數(shù)θ的CLS估計(jì)定義為

這樣我們就可以通過自回歸系數(shù)服從均勻分布和模型的條件期望、條件方差進(jìn)一步計(jì)算得到條件最小二乘估計(jì),具體見公式(4)和(5)如下:

(4)

(5)

(6)

3 數(shù)值模擬

表1 ENBRCINAR(1)模型的CLS估計(jì)結(jié)果

從表1中ENBRCINAR(1)模型的CLS估計(jì)結(jié)果可以看出,隨著樣本量的增大,最小二乘估計(jì)法的經(jīng)驗(yàn)偏差、標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)誤差都在減小,說明估計(jì)量具有漸近性,都可以得到可靠的估計(jì)結(jié)果,最小二乘估計(jì)方法用于此模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)是可行的。

4 實(shí)例分析

為進(jìn)一步闡述該模型的應(yīng)用性,我們把ENBRCINAR(1)模型應(yīng)用于實(shí)際問題,選用羅切斯特地區(qū)第247街區(qū)警車盜竊案的數(shù)據(jù)作為參考,所選用的數(shù)據(jù)是1991年1月到2001年12月共132個(gè)月度的觀測值。圖1為該序列的樣本路徑,可以看出該數(shù)據(jù)基本平穩(wěn)。

時(shí)間/月

圖2與圖3分別為自相關(guān)(ACF)圖和偏自相關(guān)(PACF)圖,可以看出ACF呈拖尾狀,PACF為一階截尾,所以可以建立INAR(1)模型擬合該組數(shù)據(jù)。

Lag

Lag

為了研究本文提出的ENBRCINAR(1)模型擬合實(shí)際數(shù)據(jù)的應(yīng)用效果,考慮該模型和其他四個(gè)模型進(jìn)行對比研究。現(xiàn)將用于對比的模型作如下簡介:

INAR(1)模型[2]:Al-Osh和Alzaid(1987)提出的基于二項(xiàng)稀疏算子,新息項(xiàng)為泊松分布的INAR(1) 模型。

NBRCINAR(1)模型[8]:張等(2011)提出的基于帶有隨機(jī)系數(shù)的二項(xiàng)稀疏算子,新息項(xiàng)為泊松分布的INAR(1)模型。

GNBINAR(1)模型[6]:張等(2020)提出的基于推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子,新息項(xiàng)為泊松分布的INAR(1)模型。

PME-INAR(1)模型[9]:Maya等(2023)提出的基于二項(xiàng)稀疏算子,新息項(xiàng)為PME(Poisson-moment exponential)隨機(jī)分布的INAR(1)模型。

ENBRCINAR(1)模型:本文提出的基于帶有隨機(jī)系數(shù)的推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子,新息項(xiàng)為泊松分布的INAR(1)模型。

我們將前127個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)估計(jì)模型的參數(shù)值,把最后5個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本外數(shù)據(jù)。估計(jì)參數(shù)時(shí),由于樣本量較小,我們利用Kunsch(1989)[10]針對相依時(shí)間序列數(shù)據(jù)提出的Block Bootstrap方法進(jìn)行重復(fù)1 000次抽樣,得到參數(shù)的估計(jì)值。另一方面,條件期望也是常見的預(yù)測方法,但由于均值相同,因此達(dá)不到比較的效果,并且條件期望得到的預(yù)測結(jié)果也不一定是整值。因此,我們采用Freeland和McCabe(2004)提出的中位數(shù)及Kim和Park(2008)[10]提出的修正Bootstrap法來分析數(shù)據(jù),得到樣本外的數(shù)據(jù)的預(yù)測值以及相應(yīng)的平均絕對誤差(MAE)和均方誤差(RMSE)。結(jié)果見表2。

表2 比較模型及Bootstrap預(yù)測值

通過對比五個(gè)模型的RMSE值,我們發(fā)現(xiàn)本文提出的ENBRCINAR(1)模型所得到的RMSE值最小,得出更適合實(shí)際數(shù)據(jù)的模型是本文提出的帶有隨機(jī)系數(shù)的基于推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子的INAR(1)模型。

5 結(jié) 論

基于推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子利用預(yù)設(shè)新息過程分布法建立一元的隨機(jī)系數(shù)INAR(1)模型,研究了該模型的概率統(tǒng)計(jì)性質(zhì),利用條件最小二乘法研究參數(shù)的估計(jì)問題,通過數(shù)值模擬分析估計(jì)量的估計(jì)效果,模擬結(jié)果顯示隨著樣本量的增大,最小二乘估計(jì)方法的經(jīng)驗(yàn)偏差、標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)誤差都在減小,說明估計(jì)量具有漸近性,模擬結(jié)果可行。給出實(shí)例展示模型的應(yīng)用效果,并將該模型與其他模型進(jìn)行對比研究,通過MAE和RMSE的數(shù)據(jù)對比得出,帶有隨機(jī)系數(shù)的基于推廣的負(fù)二項(xiàng)稀疏算子的一元INAR(1)模型更適用于實(shí)際數(shù)據(jù)。