基于ARIMA模型的我國人口數量的統計分析與預測

王燕飛,吳 珊

(1.吉林化工學院 理學院,吉林 吉林 132022;2.河北師范大學 數學科學學院,河北 石家莊 050024)

人口預測是制定正確人口政策的科學依據,對經濟社會的發展有著重要的作用。隨著改革開放的不斷深入,經濟結構不斷發生變化,對人口的研究也逐漸成為熱門課題。王婷婷[1]在關注人口數量的基礎上,將著重點放在人口質量、人口結構、人口的幸福指數等方面,用“以人為本”全新視角解讀當代中國人口問題的關鍵。高巖峰[2]通過收集1995—2005年我國人口統計數據,建立了多元線性回歸模型對影響人口數量變化的原因進行分析,并制定相應人口政策。米紅[3]采用定量和定性相結合的研究方法,利用SPSS軟件將全國各省份的人口安全程度作聚類分析,以確定人口文化素質對人口數量和結構的影響程度。張耀軍[4]基于中國人口發展趨勢、人口與經濟的協調以及人口與資源環境的關系,通過深度挖掘人口素質紅利、推進老齡化社會的保障體系建設、促進人口性別均衡、提升人口城市化質量等方式應對人口問題。Raftery Adrian E[5]使用貝葉斯分層模型,計算總和生育率和出生時的預期壽命。

本文以國家統計局中我國人口數量的相關指標數據,諸如:人口數量、人口出生率、人口死亡率進行描述性統計分析,利用時間序列分析法分別建立ARIMA模型,并利用其對2017—2021共5年的人口數量及其相關指標結果進行預測,與真實值對比體現模型的效果和精度。最后針對統計分析及預測結果,提出應對人口問題的建議。

1 我國人口數量及其相關指標的描述性統計分析

1.1 人口數量

根據國家統計局中1949—2021年73年間的我國人口數量數據,利用Excel畫出趨勢圖,如圖1所示。

由圖1可以看出我國1949—2021年人口數量總體呈增長趨勢。1959—1961年三年間人口數量呈下降趨勢,之后人口增長速度逐漸放緩,照此趨勢我國未來幾年可能會出現零增長。

1.2 人口出生率

根據國家統計局中1949—2021年的我國人口出生率數據,利用Excel畫出趨勢圖,如圖2所示。

年份

由圖2可以將出生率劃分為三個層次:高、中、低。1949—1959年,新中國成立以后,人民生活逐漸安定,1962—1974年,經歷了三年困難時期之后,社會經濟生活慢慢恢復,這兩個階段我國處于高人口出生率階段;1959—1961年,1974—1999年我國出生率適中;1999—2021年我國進入低人口出生率。由此可見,我國近幾年人口出生率不斷下降,初步判斷未來幾年我國人口出生率仍會降低。自1968年開始我國的人口出生率呈大趨勢降低,于1980—1990年間人口出生率在一定范圍內波動,自1990年起開始了波動遞減,尤其是自2014年至今,人口出生率一直處于遞減狀態。

1.3 人口死亡率

根據國家統計局中1949—2021年我國人口死亡率數據,利用Excel畫出趨勢圖,如圖3所示。

年份

由圖3可知,1949—1958年間,新中國剛成立,國家局勢逐漸穩定,生產力慢慢恢復,人口死亡率逐漸下降。1959—1961年,我國經歷三年困難時期,人口死亡率逐漸上升,其中1960年人口死亡率達到最高值25.43‰;從1961年開始人口死亡率迅速下降,到1965年人口死亡率降低至9.5‰;1966—2021年我國人口死亡率逐漸降低并于1978年后趨于平穩,期間一直處于低值的人口死亡率。可以看出我國人口死亡率基本沒有大幅度的波動,平穩在7‰附近。

1.4 總和生育率

根據國家統計局中1959年至2021年的我國總和生育率數據,利用Excel畫出趨勢圖,如圖4所示。

年份

由圖4可知,五六十年代我國人口總和生育率處于較高水平,平均每個適齡婦女會孕育五六個孩子;進入七八十年代我國總和生育率水平適中,平均每個適齡婦女孕育兩到三個孩子;自從進入九十年代,我國總和生育率已經低于2.1的國際水平,平均每個婦女會孕育不到兩個孩子;從2018年開始我國總和生育率開始進一步下降,直到2021年我國總和生育率1.15。這個數據已經遠低于許多發達國家。綜合前面對我國歷年人口數量、人口出生率、人口死亡率以及總和生育率的分析,初步判斷我國人口數量逐漸趨于平緩。

2 我國人口數量及其相關指標的時間序列分析

利用時間序列分析方法對人口數量及影響人口數量的主要指標(人口出生率、人口死亡率)數據建立數學模型,通過模型結果進行統計分析及預測,并將預測結果與真實結果相比較,體現模型的有效性。其中,總和生育率與人口出生率結果密切相關,因此,只針對人口出生率數據建立時間序列分析模型,而不考察總和生育率的數據結果。

2.1 人口數量的ARIMA模型

利用從1949—2016年共68年的我國人口數量數據建立時間序列模型。根據R軟件中adf.test語句對序列進行ADF檢驗[6]以考察其平穩性,得到p=0.9543>0.05,說明該序列是非平穩序列。但觀察序列沒有季節性差異,為此對序列進行一階差分,并畫出時序圖,如圖5所示。

年份

對一階差分后的人口數量序列進行ADF檢驗,得到p=0.369 3>0.05,故該序列仍然是不平穩的,需要繼續進行二階差分。得到人口數量的二階差分時序圖如圖6所示。

年份

再對二階差分后的人口數量序列進行ADF檢驗,得到p=0.01<0.05,即二階差分后的人口數量是平穩序列。由二階差分后人口數量平穩序列的自相關圖(圖7)可見,除了延遲1、2階外,其他相關系數均在兩倍標準差內,且迅速衰減,初步判斷自相關系數屬于截尾狀態。從二階差分后人口數量平穩序列的偏自相關圖(圖8)可見,滯后一階后偏自相關值均在邊界值范圍內。偏自相關系數緩慢衰減,呈現拖尾狀態。因此,初步判斷ARIMA(m,d,q)模型中參數可能選取m=0;q=1,2,3。由于進行了二次差分,故d=2。為了確保模型更加準確,再利用R軟件中auto.arima語句自動選取最優模型,得到ARIMA(m,2,q)模型中各個m,q為不同取值的AIC值。具體結果見表1。根據AIC準則[7],AIC值越小模型越優。故ARIMA(0,2,2)為最優模型。

表1 不同m,q對應的AIC值

Lag

Lag

通過Ljung-Box統計量對ARIMA(0,2,2)模型進行殘差檢驗,p=0.11>0.05,說明該模型的殘差序列通過了白噪聲檢驗,模型擬合效果較好。故人口數量的時間序列最優模型為ARIMA(0,2,2)模型。利用該模型對2017—2021年我國人口數量進行預測,將預測值和真實值作比較,并利用誤差占真實值的百分比體現模型的預測精度。具體結果見表2。

表2 2017—2021年人口數量預測情況統計表

由預測值與真實值的誤差百分比數值可以看出,模型誤差比較小,說明模型預測效果較好。對未來5年(2022—2026年)我國人口數量進行預測,得到預測值及95%的置信下限和置信上限。具體結果見表3。

表3 2022—2026年我國人口數量預測情況統計表

2.2 人口出生率的ARIMA模型

由于我國在1970年以后推行“晚、稀、少”的人口政策,甚至在1980年全面推行“一胎化”政策。因此考察1970年以后的人口出生率數據更有價值。為此,根據1971—2016年共46年的我國人口出生率數據建立時間序列模型。根據ADF檢驗結果,p=0.371 7>0.05,說明該序列是非平穩序列。利用R軟件對序列進行一階差分。對一階差分后的出生率序列進行ADF檢驗,得p=0.02<0.05,說明該序列為平穩序列。得到一階差分后的人口出生率自相關系數圖和偏自相關系數圖,分別如圖9和圖10所示。

Lag

Lag

由于對序列進行了一階差分,故d=1。利用R軟件中auto.arima語句自動選取最優模型,ARIMA(1,1,0)的AIC值更小,模型最優。利用Ljung-Box統計量對ARIMA(1,1,0)模型進行殘差檢驗,p=0.96>0.05,說明擬合模型的殘差序列是白噪聲序列,擬合模型顯著有效。故選取ARIMA(1,1,0)模型作為我國人口出生率的最優時間序列模型。利用該模型對2017—2021年我國人口出生率進行預測,得到預測值和95%的置信上限值和置信下限值,把它們與真實值作對比,具體結果見表4。

表4 2017—2021年人口出生率預測情況統計表

從表4可以看出,人口出生率的預測值與真實值隨著年份的增長誤差逐漸變大,但5年的真實值均在95%的置信區間之內,并且都比較接近置信下限值,說明模型預測精度較好。導致人口出生率預測值偏離真實值較大的情況,考慮是人口結構、人口政策、生育壓力等原因,這些有待今后進一步研究。進一步預測未來5年的人口出生率及95%的置信下限和置信上限,具體結果見表5。這些可以為我國相關人口問題提供一定的數據依據和參考價值。

表5 2022—2026年人口出生率預測情況統計表

2.3 人口死亡率的ARIMA模型

根據1949—2016年共68年的我國人口死亡率數據建立時間序列模型。根據ADF檢驗結果,p=0.432 1>0.05,說明該序列是非平穩序列。為此利用R軟件對序列進行一階差分。對一階差分后的死亡率序列進行ADF檢驗,得p=0.01<0.05,說明該序列為平穩序列。畫出一階差分死亡率的自相關圖(圖11)和偏自相關系數圖(圖12)。由于對序列進行了一階差分,故d=1。利用R軟件中auto.arima語句自動選取最優模型,ARIMA(0,1,2)為AIC值最小的最優模型。

Lag

Lag

利用Ljung-Box統計量對ARIMA(0,1,2)模型進行殘差檢驗,p=0.83>0.05,說明擬合模型的殘差序列是白噪聲序列,擬合模型顯著有效。故選取ARIMA(0,1,2)模型作為我國人口死亡率的最優時間序列模型。

利用該模型對2017—2021年我國人口死亡率進行預測,將預測值和真實值作比較,并利用誤差占真實值的百分比體現模型的預測精度。具體結果如表6所示。

表6 2017—2021年人口死亡率的預測情況統計表

由預測值與真實值的誤差百分比數值可以看出,模型誤差比較小,說明模型預測效果較好。進而得到未來5年(2022—2026年)我國人口死亡率的預測值及95%的置信下限和置信上限。具體結果見下表7。

另外,比較人口出生率與人口死亡率2017—2021年的真實值。我國人口死亡率呈上下微小波動狀態,但幅度不大,基本平穩在7‰附近,稍低于人口出生率,人口仍處于增長狀態。而隨著年份的增加,人口死亡率與人口出生率越來越接近,這說明人口數量將逐漸穩定。人口數量是否會下降,起到決定作用的是變化較大的人口出生率數值。這些對未來的預測數據可以為解決我國相關人口問題提供一定的數據依據和參考價值。

3 結 論

本文通過描述統計法和時間序列分析法對我國人口數量及相關指標進行了統計分析。得出如下結論:

(1)人口數量的最優時間序列模型為ARIMA(0,2,2)模型,模型預測效果較好,人口數量在短期內緩慢增長;

(2)人口出生率的最優時間序列模型為ARIMA(1,1,0)模型,模型預測精度較好,但預測值與真實值的偏離程度隨著年份的增加逐漸增大。人口出生率下降速度較快;

(3)人口死亡率的最優時間序列模型為ARIMA(0,1,2)模型,模型預測效果較好。人口死亡率在短期內基本沒有變化,對人口數量影響不大。

綜上可知,對人口數量整體影響的主要指標是人口出生率和總和生育率,國家可以通過一些鼓勵政策和切實可行的有效措施激勵育齡婦女的積極性,提高總和生育率和人口出生率,進而增加我國人口數量。