駁“倍率無單位”

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）新增 “量感” 為小學階段核心素養主要表現。量感內涵表明其有助于用定量方法認識和解決問題，是形成抽象能力和應用意識的經驗基礎，凸顯了量感培養的重要性。但在實際教學中，因小學量感培養涉及抽象能力與認知能力，教師難以把握不同階段培養目標，未完全領會其與 “三會”的關系及育人價值，導致量感培養缺失。教師應研讀新課標，體會量感的意義與核心素養的關系，把握育人價值，分階段培養學生 數感。

一、淺談量感培養的育人價值

（一）量感與“三會”的關系

“三會” 即 “會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”，這是新課標對核心素養構成的定義與數學學科的遞進目標層次，遵循 “會認識、會思考、會做事” 要求，指向 “抽象關系、理性精神、數學表達” 的學科培養要求。

量感 屬于認識層次，包含于 “三會” 的第一“會”。其培養需經 “抽象、推理、模型” 階段層次，“三會” 是運用數學思想認識現實世界，量感 是 “觀察現實世界” 的重要內容，培養量感有利于應用 “三會” 體會數學思想。

（二）量感與數感的關系

有人認為，“數”是從“量”中抽象出來的，“量”的表達是離不開“數”的，任何一個待測量的量一定跟一個確定的數（測量值）有一一對應關系；同時，“數”離開了“量”也就失去了實際背景與現實意義。甚至有專家認為“量感可以歸屬于數感，沒必要再分離出來”，這些都說明了量感與數感的相似性。這給我的啟示是：量感的培養可以借助數感培養的方式來進行。

數感是對數的意義、大小、運算、數量關系及表示結果的感悟，量感也可以相應地理解為對度量單位意義、大小、運算、關系（換算）及表示結果（度量結果）的直觀感知。通過這樣的比較不難發現，量感的培養在運算、關系和表示結果上存在的缺失是培養的難點，這也正是量感培養隱含的育人價值所在。

（三）量感的育人價值

新課標指出 “核心素養具有整體性、一致性和階段性”，教學與核心素養養成需注重這些特性，要從 “一以貫之” 視角看待核心素養。數學學科的簡潔（抽象）、嚴謹（唯一）、科學（邏輯推理）有育人價值，量感培養也是如此。比較量的大小、選擇合適單位、估測數量等問題都關乎核心素養養成與育人價值實現。量感的育人價值在于通過階段培養體會數學獨特魅力、反映本質特征、感受世界辯證統一的規律。

二、剖析量感培養的應用實例

對量感的培養現在主要集中在以實驗活動感悟、驗證或估測上，屬于“抽象、模型”數學思想的運用。但在“推理”方面對量感的培養較少，而這正是其與數感相連的重要組成部分，是實現育人價值的關鍵。現舉例說明。

（一）重“數”輕“量”不可取

有人認為，數感更多關注的是“數”，可以去掉后綴單位名詞，直接用數字、符號及字母表示；而量感則不能單獨表示，需要以“數+單位”的形式呈現。誠然，數字是事物高度抽象的產物，但度量單位也是實際測量結果的抽象反映，不容輕視。

如在教學“公頃與平方千米”時，談及“省份面積”，學生很容易想到用平方千米來表示。又如，教學“克與千克”時，學生知道金飾重量一般以克來計量。這些都是基本經驗，學生能感知“平方千米”其量之大，已經體現學生具備基礎量感。

因此，在教學中，應當把量與數放到一定地位來看待，談及具體情境中的事物必須考慮“單位”及其數量的實際大小來感知，避免出現重數輕量的誤區。

（二）駁“倍率無單位”

在《義務教育數學課程標準（2022年版）解讀》中提到，倍數問題的本質是基于度量單位的計數，比率問題的基本形式是“原始量×改變大小的比率=改變后的量”，其中，改變大小的比率是無單位的。還提到，第二類是由于不同量的乘除產生了新的量或者抵消了單位而成為一個單純的數值。據此，有人認為“倍率無單位”，這恰恰是對新課標的誤讀。這樣的看法非常不利于核心素養一致性的體現。史寧中教授在《義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性》一文中提到，“可建構數的概念與運算的一致性框架：一個核心概念，即計數單位；一些基本規律，即運算律與等式的基本性質；一些基本運算，即計數單位與計數單位運算，計數單位上的數字與計數單位上的數字運算……”將計數單位的運算提升到與數字計算等同的位置，體現了數運算的一致性，計數單位的運算補充了數運算，共同構成了數感的培養內容。

其實，在量感培養中，度量單位在運算中的地位也完全可以等同于數與計數單位，即度量單位也可以參與運算。試舉四例。

其一，加減法。如“30千克+40千克”，數30與40相加，計數單位1與度量單位千克不變（還能看成“3個10千克加4個10千克”），這是由于加減法是同單位量的計數，因此單位不同的不能相加（同類單位要化成相同的才能相加，如4千克+500克=4500克或者4.5千克，3個10+4=34或3.4個10，在教學實踐中忽視計數單位同樣導致各種誤區，如“分數單位”。

其二，乘法。如求解長方形面積“3米×2米”中，3×2=6，米×米=米2（讀作平方米，表示兩個米相乘，平方運算的意義），數的計數與新單位的生成同時進行。

其三，除法。如求解行駛速度“10千米÷2小時”時，10÷2=5，千米÷小時=千米/小時（讀作千米每小時，/表示除法）。

其四，乘除法混合。如求解鋪路效率“2米×1.5米/秒”（2米表示壓路機滾筒寬度，1.5米/秒表示行進速度）中，2×1.5=3，米×米/秒=米2/秒（讀作平方米每秒，表示兩個米相乘再除以秒），實際表示單位時間的鋪路面積。再如，求解行駛時間“20千米÷4千米/時”時，20÷4=5，千米÷千米/時=時（這里運用連除性質，或可看成分數運算，或可運用商不變規律等），得到的5時就表示行駛時間。

以上表明，度量單位與數、計數單位同等參與運算并運用運算定律完全是可以理解的，這更體現了數學核心素養的一致性。但為什么到了同單位相除產生倍率以及同類單位相除產生的進率時，我們卻沒有底氣將其歸一化呢？再舉兩例說明。

其一，同單位相除的倍率。如求大樹高度是小樹的幾倍“6米÷2米”時，6÷2=3，米÷米=米/米=1（兩個相同的非0數相除商為1，這里將度量單位按照數、計數單位的運算法則統一運算），這個1不僅不是“不存在”或“沒有單位”，反而意義重大——其恰恰表示了同單位相除時二者更重要的關系“倍、比、率”，這個1我們稱為“單位‘1’”，是學習分數和分率的重要概念。

其二，同類單位相除的進率。如求1米等于多少厘米“1m÷1cm”中，1÷1=1，m/cm，得到“1m/cm”，但由于單位不同不能包含比較，因此看成100cm÷1cm=100cm/cm，答案是100。

所以，如果將進率看成相同單位或同類單位相除的形式，再運用數運算的方法和規律，我們就不會混淆單位轉換是應該乘還是除以進率。如給定“1.5米”和進率“100cm/m”，要得到其轉化為多少cm，還會除以100嗎？當然，用估算大小或將米看成100cm的方式也能得到應該用乘法，但“帶單位的進率”拓寬了對單位轉換問題的視角。

綜上所述，倍率單位僅僅是相同單位或同類單位轉化成相同單位后的簡化形式，其單位“1”并不能等同于“無（不存在，或0）”。

（三）借助單位加強關系教學

有了以上對單位認識和單位運算的看法，我們可以試著借助量感培養中的單位意識來加強數與量的關系教學。試舉三例。

其一，雙向歸一問題。在學習“小數除法”后，在解決“5分鐘行了2千米”中“每分鐘行幾千米”的基礎上要回答“走1千米需要幾分鐘”時易錯。在教學時嘗試從單位入手，讓學生遷移求“每分鐘行幾千米”的方法。如能夠說出“求單位時間內行的路程就是求速度，應當用路程除以時間”，提醒單位“千米/分”的意義（求每一分鐘行的路程，平均除）和運算方法（千米÷分），再對比“1千米要幾分鐘”，學生就能將千米數平均分成2份，用“分÷千米”的單位去尋找數量條件。避免通過數字大小判斷除法方向的慣性思維錯誤。

其二，“出油率”問題。“10千克油菜籽榨出8千克菜籽油，問40千克菜籽油要多少油菜籽榨？”這樣的問題容易出錯，正是因為“倍率無單位”觀點作祟。鑒于相同單位不易區分，可以分別看成“籽kg”和“油kg”，得到條件進率“10籽kg/8油kg”和重量“40油kg”，要得到“籽kg”唯一的方法就是相乘。

其三，運用數學轉化思維一題多解的歸一問題。筆者曾做過一個測試，“一種藥材，4元可以買20克，問8元可以買多少克？”大部分學生采用“20×（8÷4）”的擴倍法，少部分學生采用“8÷（4÷20）”的比率法（有趣之處在于學生寧可“忍受”數字計算及兩次除法運算的不便也要采用g作為均分單位，體現了生活經驗的影響）（如圖1右面和上面深色箭頭所示，方向表示除法方向）。但其實“20÷4×8”和“20÷（4÷8）”通過除法和單位的意義也能解釋（淺色箭頭），這樣多角度審視題目，有助于學生養成轉化思維，體會數學順逆變化的一致性。

三、試論量感培養的階段建議

（一）落實量感培養的階段任務

由于量感與數感在核心素養階段表現的相似性和相關性，應當加強量感與數感的聯系對比，參照數感培養的方式培養量感。如在數的認識時，我們需要計數、比較、近似感知、估計、計算，在認識單位時可以借助同樣的方式。但由于量感培養更依托基于實物的抽象過程，量感的養成也與學生的心智發展水平相關，因此建議小學階段按數學認知層次，分三段來完成培養任務。

低段重在感性認識，通過數學實驗或操作活動積累度量經驗，認識度量單位。要發展學生的“定量刻畫”能力，也就是要引導學生在數學實驗中，真切體驗量的形成過程，讓量感的培養真實可見。

中段嘗試理性推理，通過運算、換算、推理、證明等方式，將量感與數感聯系起來協同培養。通過緊扣度量本質展開，使學生的量感體驗豐富起來，提煉教學支點的剛性，可以取得以簡馭繁的教學效果。或者將不同類型知識整合聯系起來思考，以計量“單位、進率、工具、應用”等關鍵要素將核心知識串聯為網狀結構，在“做數學”的過程中積累活動經驗，引導學生通過類比、遷移，深刻把握計量知識的內在結構，實現量感素養的穩步提升。

高段探索實際應用，通過已有的單位感知和單位轉換、推理的能力，在實際活動中進行大量估測、對比，調整、修正量感的養成。這里面還包括跨學科的內容，如運用創新意識應用創造的度量工具（如身體上的尺子）進行估測，認識和創造新的單位（如彈簧張力系數N/m），發展金融素養（如購物、貨幣兌換與利率）等。

（二）落實量感培養的注意事項

在量感階段培養中，要根據階段任務和學生發展特點，有不同的側重點。

低段的感性認識階段，要采用多種單位認識和描述同一事物。如“分的認識”教學中，一分鐘有60秒，60秒可以做多少事情？10個俯臥撐，100下跳繩，20道口算題，擦4塊1平方米的地磚，背2篇古詩……

中段的理性推理階段，要重視數與量的聯系教學。如在計算中單位怎么處理，如何通過單位推理計算等。如在有余數的除法中通過各個數量的單位確定[13本書平均分給5個人，每人得到幾本，還剩幾本，13（本）÷5人=2（本/人）……3（本）]，再次認識到“余數是被除數的一部分，單位與被除數相同”。

高段的實際應用階段，要注重學生對認識、推理的應用與表達。如“一公頃有多大”，學生通過教室長約8米，寬約6米，估算面積大約50平方米，再通過1公頃=10000平方米的換算和倍數計算，得出“一公頃約等于200間教室”的結論。再聯系已有的知識“故宮面積44公頃”，推理出“故宮面積約為8800間教室”，再從“故宮有房間9999間”推理出“故宮房間平均面積小于教室（同時也考慮公共交通面積，如走道和花園等）”的結論。

綜上所述，“倍率無單位” 體現了對單位的忽視、重“數”輕“量”和量感不足。小學應分階段明確量感培養目標，遵循 “認識、推理、應用” 路徑，即低段親歷度量認識單位形成量感，中段通過想象推理活動掌握聯系發展量感，高段在應用活動中運用認識及推理增強量感。同時，將量感與數感聯系起來，關注單位在數量關系中的作用，以達成核心素養相關特性，實現量感培養的育人價值。