ZC1 蝸桿齒廓測量測頭對準誤差修正

萬 輝， 湯 潔， 石照耀

（北京工業大學 材料與制造學部 北京市精密測控技術與儀器工程技術研究中心，北京 100124）

1 引 言

蝸桿是動力傳動系統中的重要零件之一，準確測量蝸桿的各項誤差是提高蝸桿精度和保證傳動質量的重要前提。圓弧圓柱蝸桿（ZC）包括圓環面包絡圓柱蝸桿（ZC1）、圓環面圓柱蝸桿（ZC2）和軸向圓弧齒圓柱蝸桿（ZC3）［1］。

蝸桿的齒廓偏差值反映了實際齒廓偏離設計齒廓的程度，主要測量儀器有齒輪測量中心和三坐標測量機。ZC 蝸桿的軸向齒廓為凹形曲線，齒廓測量過程中，測頭與蝸桿實際齒廓接觸時易發生干涉，且測量過程受測頭尺寸和測頭位置等因素的影響，因此常采用齒輪測量中心。

齒輪測量中心齒輪測量中，凌明分析了測頭半徑對齒輪漸開線樣板齒廓偏差測量的影響，當存在齒根展開角誤差時，測頭半徑引入的測量誤差會隨測頭半徑的增大而增大，隨展開長度的減小而增大［2-3］。Yin 等建立了齒廓偏差測量模型，分析了X軸和Y軸坐標系建立誤差對齒廓偏差的影響，得出該誤差對齒廓形狀偏差的影響可以忽略不計，而對齒廓總偏差和齒廓傾斜偏差的影響較大［4］。Ling 等考慮探針位置誤差對漸開線齒廓測量的影響，提出了漸開線測量儀測頭位置調整方法，并用不同直徑測頭對齒形樣板進行了實驗驗證［5］。Lin 等提出了一種測頭中心對準方法，用傾斜的平面鏡作為標準參考［6］。

齒輪測量中心蝸桿測量中，朱志強等用插值法求解出與實際接觸點較為接近的ZC 蝸桿齒廓的理論接觸點，減小了X軸對不準引入的原理誤差［7］。祝強等為避免線性蝸桿齒廓測量發生干涉，分析了齒廓測量各階段測球、測桿與蝸桿齒面之間的位置關系，提出了基于蝸桿和測針參數的干涉預判方法［8］。籍慶校等基于ZK 蝸桿齒廓方程建立了齒廓測量誤差模型，分析了測頭偏離蝸桿軸截面對齒廓偏差測量結果的影響規律［9］。由此可見，測頭對準誤差會影響蝸桿齒廓偏差的測量結果。本文提出了齒輪測量中心ZC 蝸桿測量中測頭對準誤差的修正方法，分析蝸桿齒廓測量原理，在ZC 蝸桿軸截面齒廓方程基礎上建立測頭對準誤差修正模型，分析測頭對準誤差的影響因素并開展測量實驗。

2 測量原理

齒輪測量中心蝸桿齒廓測量原理如圖1 所示。根據被測蝸桿參數建立蝸桿齒面數學模型，以蝸桿軸線作為Z軸建立工件坐標系，測量ZC蝸桿齒廓偏差時要求測頭位于蝸桿軸截面內［10］。令X=0，求得軸截面YOZ平面齒廓的理論測量點。根據理論測量點坐標控制測頭進行測量，測頭沿Y軸和Z軸方向由齒根運動到齒頂。測量過程中，Y軸方向的位移傳感器等間距發出采樣信號，對測頭傳感器和Z軸位移傳感器進行采樣，得到測頭球心實際測量點的坐標數值。由實際測量點的坐標數值與理論測量點在Z軸方向的差異得到軸截面齒廓偏差，再依據GB/T 10089—2018［11］得 到 被測蝸桿的齒廓 偏 差 評 定結果。

圖1 ZC 蝸桿齒廓測量原理Fig.1 Measurement principle of ZC worm tooth profile

3 測頭對準誤差修正

齒輪測量中心蝸桿齒廓測量中，對準誤差是指測頭運動到X軸理論零位時，偏離蝸桿軸截面YOZ平面的位移x0（見圖1）。對準誤差是由儀器校準時采用的校準件不同導致的，如使用漸開線樣板和標準塊確定的X軸零位存在差異；此外，隨著儀器的老化，測頭也會逐漸偏離X軸零位。在存在對準誤差的情況下測頭仍按原有的運動軌跡測量軸截面齒廓，得到的是偏離蝸桿軸截面的一條齒廓線，會影響蝸桿齒廓偏差的測量結果。

這里通過分析蝸桿齒面方程，建立了受測頭對準誤差影響的蝸桿軸向齒廓測量誤差模型，將齒廓測量點投影到蝸桿軸截面，確定偏離軸截面x0處截面上齒廓線相對于軸截面齒廓線的軸向偏差，修正得到軸截面上齒廓測量點的軸向坐標。

3.1 ZC1 蝸桿齒面方程

砂輪磨削ZC 蝸桿時，建立圖2 所示的坐標系。其中，Ot-XtYtZt是與砂輪固連的動坐標系，且Zt軸與砂輪軸線重合，Ot位于砂輪軸截面中部。O-XYZ是與蝸桿固連的動坐標系，Z軸與蝸桿軸線重合。為便于說明蝸桿和砂輪之間的數學關系，建立固定坐標系Ow-XwYwZw，Zw軸和Z軸重合。

用環面盤形砂輪磨削ZC1 蝸桿的螺旋面時，砂輪以較高的速度旋轉，其切削刃在旋轉中形成一個回轉表面；蝸桿則做螺旋運動。根據砂輪與蝸桿之間的相對運動關系，得到蝸桿齒面方程［12］：

其中：a為兩軸線之間的最短距離；R為砂輪產型線上任意點到Zt軸的距離；f（R）為砂輪產型線上任意點在Zt方向上的坐標值；η為蝸桿相對固定坐 標 系Ow-XwYwZw繞Z軸 轉 過 的 角度；γ為Zt軸和Z軸的夾角，即蝸桿導程角；φ為過砂輪產型線上任意點到Zt軸的垂線與XtOtZt平面的夾角；p為螺旋參數。

3.2 蝸桿軸向齒廓測量誤差模型

將受測頭對準誤差影響的x=x0截面齒廓線投影到x=0 的軸截面上，記為zo；x=0 的軸截面齒廓線記為z，將z沿Z軸平移到與zo在齒頂處重合，記為z'，如圖3 所示。結合圖1 和式（2）可知，蝸桿軸截面齒廓的徑向坐標記為Y，軸向坐標記為Z。蝸桿測頭對準誤差模型主要給出受測頭對準誤差影響的蝸桿軸向齒廓測量誤差Δ，即蝸桿在x=x0截面上和軸截面上Y值相等點的Z值之差。rf表示齒根圓半徑，ra表示齒頂圓半徑。

圖3 軸向齒廓測量誤差Fig.3 Tooth profile measuring error

根據蝸桿齒面方程，分別建立蝸桿軸截面齒廓模型和偏離軸截面x0處截面上的齒廓模型，在此基礎上建立ZC1 蝸桿測頭的對準誤差模型。砂輪回轉面相對蝸桿做螺旋運動即可生成蝸桿齒面模型。為方便后續齒廓模型的推導，令砂輪回轉面方程為：

將式（2）帶入式（1）得ZC1 蝸桿的齒面方程為：

求解蝸桿軸截面齒廓時，令x=0 即可。此時：

代入式（3）求得ZC1 蝸桿軸截面齒廓上點的z坐標：

當測頭有偏置量x0時，有：

兩邊同時除以，整理得：

其中：β=arctan (x1/y1)，繼續化簡得：

將式（9）代入式（3）中z坐標的表達式，即可得到x=x0截面上齒廓點的z0坐標：

根據式（10）與式（5），測頭偏離軸截面x0處截面上的齒廓模型與蝸桿軸截面的齒廓模型相比，得到ZC1 蝸桿測頭對準誤差引入的軸向齒廓測量誤差模型：

式中：p為螺旋參數；x0為測頭偏置量；x1，y1為砂輪回轉面參數，見式（2）。

3.3 軸向齒廓修正值

受測頭對準誤差影響的蝸桿軸向齒廓測量誤差Δ包含兩部分，即Δ=fz+ez，如圖3 所示。其中fz為齒廓形狀測量誤差，即fz=zo-z'，表示由測頭對準誤差導致的被測齒廓形狀改變；ez為齒廓軸向平移測量誤差，即ez=z'-z，由蝸桿螺旋升角導致，齒根圓到齒頂圓的任意截面內導程相等，ez為常數。ez等于Δ在齒頂時的值，即：

由此得出齒廓形狀測量誤差為：

式 中：xa，ya是 齒 廓 在 齒 頂 位 置 時 的x1，y1，見式（2）。

由式（13）可知，在蝸桿參數確定的情況下，fz是測頭偏置量x0的函數。以蝸桿參數：m=4 mm，z=3，d=60.5 mm 為 例，測 頭 偏 置 量 為±60 μm，±30 μm 時的齒廓形狀測量誤差曲線如圖4 所示。由圖可知：測頭偏置量大小相等符號相反的情況下，齒廓形狀測量誤差曲線在fz=0的兩側對稱分布；fz隨測頭偏置量x0的增大而增大；在蝸桿齒根部位，fz值最大，由齒根到齒頂，fz值逐漸減小。

圖4 齒廓形狀測量誤差曲線Fig.4 Measurement error curves of tooth profile shape

由于測頭對準誤差的存在，測量得到的齒廓偏差中包含齒廓形狀測量誤差，直接進行齒廓偏差評定會對測量結果產生較大影響。因此，需要對齒廓測量值進行修正，減小測頭對準誤差造成的影響，記受測頭對準誤差影響的軸向齒廓修正值為C，即有：

根據圖4 中的齒廓形狀測量誤差曲線確定每個測量點對應的修正值。將受測頭對準誤差影響的齒廓測量點的z值與測頭對準誤差軸向齒廓修正值相加，得到蝸桿軸截面上的齒廓測量點坐標，再與理論齒廓對比，得到修正后的齒廓偏差，進而減小測頭對準誤差對齒廓偏差評定結果的影響。

測頭對準誤差會對ZC1 蝸桿齒廓測量產生影響。根據微小誤差原理，確定測量儀器或設備精度的通行原則：儀器或設備總誤差與被測參數的公差之比在1/3～1/10 內。在已知蝸桿參數的條件下，由被測蝸桿的精度等級確定測頭偏置量的允許值。例如，z=3，m=4 mm，d=60.5 mm的ZC1 蝸桿5 級精度的齒廓總偏差Fα1=12 μm，當選取測頭對準誤差與被測參數的公差之比為1/3 時，要求測頭對準誤差fz≤2 μm。由圖4 可知，在上述條件下，測頭偏置量在±60 μm 之內，齒輪測量中心可測量5 級精度的ZC1 蝸桿。選取測頭對準誤差與被測參數的公差之比為1/6 時，則測頭偏置量在±30 μm 之內，齒輪測量中心可測量5 級精度的ZC1 蝸桿。

4 蝸桿參數對齒廓的影響

ZC1 蝸桿參數不同的條件下，測頭對準誤差x0對齒廓形狀測量誤差fz的影響不同。由式（13）和式（2）可知，除x0以外的參數均由蝸桿的基本參數（頭數z、模數m和分度圓直徑d）確定。其中，p=mz/2；γ=atan（mz/d）；a，R由分度圓直徑和模數確定；φ由頭數、模數、分度圓直徑確定。

在蝸桿的齒根處，齒廓形狀測量誤差fz最大，分析ZC1 蝸桿在不同頭數、模數和分度圓直徑下，測頭對準誤差對齒廓形狀測量誤差的影響規律。

4.1 蝸桿頭數的影響

蝸桿參數設置為：模數m=4 mm，分度圓直徑d=60.5 mm。在蝸桿模數和分度圓直徑不變的條件下，將頭數分別設置為1，2，3，得到齒廓形狀測量誤差與測頭對準誤差之間的關系，如圖5所示。測頭對準誤差x0=50 μm 的條件下，z=1時，fz=1.0 μm；z=2 時，fz=2.0 μm；z=3 時，fz=3.0 μm。隨著蝸桿頭數的增加，齒廓形狀測量誤差呈均勻增大的趨勢。

圖5 蝸桿頭數的影響Fig.5 Influence of number of worm threads

4.2 蝸桿模數的影響

蝸桿參數設置為：頭數z=3，分度圓直徑d=60.5 mm。在蝸桿頭數和分度圓直徑不變的條件下，將模數分別設置為4，8，10 mm，得到齒廓形狀測量誤差與測頭對準誤差之間的關系，如圖6 所示。測頭對準誤差x0=50 μm 的條件下，m=4 mm 時，fz=3.0 μm；m=8 mm 時，fz=7.1 μm；m=10 mm 時，fz=9.6 μm。隨著蝸桿模數的增大，齒廓形狀測量誤差不斷增大，并且變化越來越顯著。

圖6 蝸桿模數的影響Fig.6 Influence of worm module

4.3 蝸桿分度圓直徑的影響

蝸桿參數設置為：頭數z=3，模數m=4 mm。在蝸桿頭數和模數不變的條件下，將分度圓直徑分別設置為40.0，60.5，80.0 mm，得到齒廓形狀測量誤差與測頭對準誤差之間的關系，如圖7 所示。測頭對準誤差x0=50 μm 的條件下，d=40.0 mm 時，fz=7.6 μm；d=60.5 mm 時，fz=3.0 μm；d=80.0 mm 時，fz=1.7 μm。隨著蝸桿分度圓直徑的增大，齒廓形狀測量誤差呈現減小的趨勢。當分度圓直徑較小時，齒廓形狀測量誤差的變化更加明顯。

圖7 分度圓直徑的影響Fig.7 Influence of pitch circle diameter

由上述分析可知，蝸桿分度圓直徑對齒廓形狀測量誤差的影響最顯著。

5 實 驗

蝸桿軸截面齒廓測量實驗在JE42 齒輪測量中心上進行，如圖8 所示。該儀器示值誤差為1 μm、坐標分辨力為0.1 μm。ZC1 蝸桿的相關參數如下：蝸桿軸向模數為4 mm，頭數為3，壓力角為20°，導程角為11°13′08″。雙面圓弧砂輪參數如下：砂輪半徑為380 mm，砂輪曲率半徑為30 mm。

圖8 被測蝸桿Fig.8 Measured worm

齒輪測量中心復位后對測頭進行標定，標定后的狀態作為測頭對準誤差較小的初始狀態，該狀態不考慮測頭對準誤差對齒廓偏差測量結果的影響。對蝸桿下齒面第一個齒重復進行5 次測量，對實測數據進行最小二乘擬合，得到平均齒廓線，依據GB/T 10089—2018 進行齒廓偏差評定，評定結果如表1 所示。

表1 初始狀態齒廓偏差評定結果Tab.1 Evaluation results of tooth profile deviations（μm）

將測頭在X軸方向的零位偏置設置為x0=60 μm，引入測頭對準誤差。對蝸桿下齒面第一個齒廓重復進行5 次測量，得到齒廓測量值以及對準誤差修正前的齒廓偏差結果，見表2。其中，第5 次測量的齒廓偏差曲線如圖9 所示，該次測量評定得到齒廓總偏差為3.6 μm，齒廓形狀偏差為2.7 μm，齒廓傾斜偏差為1.8 μm。

表2 測頭對準誤差修正前齒廓偏差評定結果Tab.2 Tooth profile deviations before error correction（μm）

圖9 修正前的齒廓偏差曲線Fig.9 Profile deviation curves before correction

測頭對準誤差會影響齒廓偏差的評定結果。將齒廓測量數據的Y軸坐標代入式（3）得到x1，y1，與測頭偏置量x0起代入式（13）得到齒廓形狀測量誤差，根據fz確定每個點對應的測頭對準誤差軸向齒廓修正值C。根據修正后的齒廓偏差值，得到測頭對準誤差修正后的齒廓偏差評定結果，如表3 所示。

表3 測頭對準誤差修正后齒廓偏差評定結果Tab.3 Tooth profile deviations after error correction（μm）

測頭校準誤差修正后，5 次重復測量的齒廓偏差評定結果見表3。其中，第5 次測量評定得到齒廓總偏差為2.6 μm，齒廓形狀偏差為2.7 μm，齒廓傾斜偏差為-0.2 μm。第5 次測量的測頭對準誤差修正前后的齒廓偏差曲線如圖10 所示，在蝸桿的齒根部位，兩條曲線差異較大，由齒根到齒頂，兩條曲線的差異逐漸減小。

圖10 修正前后的齒廓偏差曲線Fig.10 Comparison of tooth profile deviation curves before and after correction

根據表1～表3 中的平均測量結果，測頭對準誤差修正前后的齒廓偏差評定結果對比數值列在表4 中，齒廓偏差結果對比散點如圖11 所示。其中，δ1表示測頭對準誤差修正前與初始狀態之間的測量結果差異；δ2表示測頭對準誤差修正后與初始狀態之間的測量結果差異。測頭對準誤差修正前后，齒廓總偏差的差異值由1.2 μm 降為0.2 μm，齒廓形狀偏差的差異值由0.5 μm 降為0.3 μm，齒廓傾斜偏差的差異值由2.5 μm 降為0.4 μm。其中，測頭對準誤差引入的測量位置變化，對齒廓形狀偏差的影響相對較小。

表4 齒廓偏差修正結果Tab.4 Correction result of tooth profile deviations （μm）

圖11 齒廓偏差結果對比Fig.11 Comparison of tooth profile deviation results

6 結 論

為了修正齒輪測量中心ZC1 蝸桿齒廓偏差測量中測頭對準誤差的影響，本文首先分析了齒輪測量中心蝸桿軸向齒廓偏差測量原理，在ZC1蝸桿齒面方程基礎上，建立了蝸桿軸向齒廓測量誤差模型，修正得到軸截面上齒廓測量點的軸向坐標，再依據精度標準評定得到蝸桿軸向齒廓偏差，并分析了蝸桿的不同頭數、模數和分度圓直徑對蝸桿軸向齒廓測量誤差的影響規律。在齒輪測量中心上開展了蝸桿軸截面齒廓測量實驗，測頭對準誤差修正前后，齒廓總偏差的差異值由1.2 μm 降為0.2 μm，齒廓形狀偏差的差異值由0.5 μm 降為0.3 μm，齒廓傾斜偏差的差異值由2.5 μm 降為0.4 μm。測頭對準誤差對齒廓形狀偏差的影響相對較小。本文提出的方法可有效減小齒輪測量中心測頭對準誤差對蝸桿軸截面齒廓偏差測量結果的影響。