星載InSAR 基線構型測量誤差模型與靈敏度分析

鮑 捷， 劉興潭， 陳建武， 李 林， 趙春暉

（北京控制工程研究所 空間光電測量與感知實驗室，北京 100190）

1 引 言

雙天線干涉合成孔徑雷達（Synthetic Aperture Radar，SAR）衛星用于實現全天候、全天時、高精度全球數字高程測量。衛星采用柔性長基線構型的InSAR 系統，基線長度和指向變化會嚴重影響雷達的成像質量和干涉測量精度［1-4］。為達到米量級的測高精度，InSAR 的基線長度測量精度須達到亞毫米量級，指向測量精度達到角秒級，必須對安裝在支撐臂遠端的副天線的位置和姿態進行動態精密測量。在天線位姿測量過程中，存在各種可能導致系統位姿估計偏差的誤差源。空間應用環境差異性的影響，還會引入地面應用場合沒有的誤差因素。因此，必須針對引起基線測量誤差的各種因素加以研究，完善基線誤差模型的建立與誤差分配，并分析誤差在系統中的傳遞與影響［5-6］。

美國“航天飛機雷達地形測繪任務”（Shuttle Radar Topography Mission， SRTM）是經典的單星雙天線InSAR 系統，使用姿態和軌道確定子系統（Attitude and Orbit Determination Avionics， AODA）提供必要的基線測量、姿態和軌道確定，為克服單目視覺測量在視線方向精度的不足，選擇基于激光與視覺組合測量的方案［7］，并研究了系統高程測量誤差的影響，相關文獻雖然提及基線長度和指向誤差對總SRTM性能有顯著影響，并從系統總體高程精度影響層面給出了誤差分配表，同時據此調整部件性能約束和后續校正系統設計［8-10］，但沒有給出基于此方案具體進行基線確定的誤差分析方法。中國科學院電子所開展了InSAR 長基線測量技術的研究，通過解析推導分析了基線長度和角度的精度影響因素及來源，但缺少定量分析與誤差分配［11］。

影響測量系統的誤差來源復雜，且彼此間存在非線性耦合。目前的精度指標分解常側重于經驗與試驗，缺少全流程仿真閉環驗證，在初期尋找指標分配最優方案的過程中，往往耗費較多人力物力亦不能滿足實際需求［12］。因此，有必要開展基線測量系統測量誤差量化分配方法的研究，定量評估各誤差的貢獻度，為方案設計、安裝優化以及系統精度指標分配等提供支撐。本文通過數學建模解析推導與數值計算定量仿真給出基線確定過程中的誤差源，對各誤差貢獻度進行評估以及誤差定量分配。

2 基線測量方案與模型

2.1 基線測量模型建立

本文采用激光干涉和視覺組合的測量方案，系統坐標系由它在衛星平臺上的安裝方式決定。雙天線系統中兩側的基線測量系統相同，單側系統組成如圖1 所示，主要包括安裝在衛星本體的測量系統和星敏感器，以及安裝在天線平臺端的靶標組，平臺之間通過可伸縮天線臂連接。為對基線矢量進行建模，建立單側基線測量系統坐標系如圖2 所示。其中，基線測量系統涉及表1 所示的8 組坐標系。

表1 系統坐標系定義Tab.1 Definition of coordinate system

圖1 雙天線InSAR 基線測量系統（單側）示意圖Fig.1 Baseline measurement system of InSAR（one side）

圖2 基線測量系統坐標系（右側）Fig.2 Baseline measurement system coordinates（right side）

天線中心與靶標中心安裝并不重合，實際工作中需要考慮天線形變帶來的測量誤差。圖2中，A'坐標系為原始安裝條件下的天線幾何中心，A為在軌運行中因天線變形導致天線中心發生變化后的實際天線本體坐標系。A'-T的轉換關系通過地面標定已知，A-A'的轉換關系可通過天線端安裝星敏測量角度變化計算得到。因此，A-T之間的轉換可以通過A-A'-T完成。

各個坐標系的轉換關系與相應的矢量定義如表2 所示。

表2 坐標系轉換關系定義Tab.2 Coordinate transformation definition

2.2 誤差傳遞模型

測量誤差在坐標系轉換過程中傳遞，建立坐標系轉換關系式推導誤差在轉換中的變化。通過其中一側5 個坐標系之間的轉換關系可以得到軌道系與天線系之間的關系：

其中：ROA=ROS RSB RBT RTA'，TOA=ROS RSB RBTRTA'TA'A+ROS RSB RBTTTA'+ROS RSBTBT+ROSTSB+TOS。

在雙天線InSAR 系統中，空間基線為兩側天線相位中心的矢量連線，如圖3 所示。根據式（1）可得：

圖3 雙天線InSAR 基線示意圖Fig.3 Baseline of dual antenna InSAR

則基線長度為：

基線角是基線矢量與水平面的夾角，利用式（3）中得到的基線各方向位置TA1A2_x，TA1A2_y，TA1A2_z，通過反正切三角函數關系計算得到基線角度：

3 解析推導與誤差源分析

由式（2）和式（3）可得基線長度為：

對其中一側求偏導，可得基線長度誤差ΔL為：

將式（5）代入式（4）可得：

基線角誤差ΔJ即為：

同理基線角度誤差可以表示為：

其 中CJ為 系 數 矩 陣 ，CJ=

設向量μ，λ，δ分別表示旋轉矩陣RSB，RBT，RTA中的角度誤差矩陣，ΔTSB，ΔTBT，ΔTTA分別為平移向量TSB，TBT，TTA中的位置誤差。單側基線長度誤差可以表示為：

對于三維矢量μ，λ，δ引入反對稱陣概念。以μ為例，μ=（μx，μy，μz）3 個分量可以構成其反對稱陣μx且兩矢量之間滿足a×b=axb=-bxa。

系統中主要的動態誤差來源于測量系統與靶標系之間的動態跟蹤誤差，μ，δ和ΔTSB，包括測量裝置的測量誤差，在軌運行中機械振動以及熱致震顫等微小擾動。ΔTTA主要來源于前期安裝和標定，可視作靜態誤差。將基線誤差按不同誤差來源分類，可以得到：

其中：D=ROS RSB[1-(RBT(RTA'TA'A+TTA'))x]，由于天線抖動時角度變化較小，此時正弦項與余弦項可近似為：sinα≈α，cosα≈1，則旋轉矩陣可以簡化為I式加上一個小角度矩陣，如I+A，其他轉陣類似。3 個轉陣相乘則有RxRyRz=I+A+B+C+ABC，由于小量相乘趨近于零，將ABC乘積項省略，按小角度近似得到則有：

基線長度誤差主要由天線相位中心Y方向 誤差引起，而基線角誤差主要由Z方向誤差引起。據此可近似得到：

由此可知，影響基線測量精度的因素有：（1）系統標定殘差，主要指系統地面安裝位置標定手段和設備精度導致的各坐標系標定殘差；（2）測量器件誤差，測距精度直接影響Y方向結果從而影響基線長度結果，姿態角誤差在Y方向上引入的分量也會間接影響長度精度；（3）天線相位中心誤差，考慮遠端天線在天線臂展開后發生的姿態改變，這部分誤差主要受力熱變形和長期穩定漂移影響；實際的天線相位中心不可測，其偏移還受電子器件穩定性的影響，導致天線波束擾動產生隨機誤差。

不同的誤差源在誤差傳遞過程中對測量結果的影響不相同，因此本文提出系統誤差分量靈敏度的概念，定量分析誤差源的貢獻。

4 誤差靈敏度分析

基線測量誤差在坐標轉換中傳遞?；€長度的表示中涉及7 組旋轉矩陣與平移矩陣，每個矩陣涉及3 個自由度，共42 組自由度，包括長度與角度分量，共計84 個變量，變量數量繁多且每一項攜帶的誤差對最終基線長度與角度測量結果帶來的影響各有不同。并且誤差模型中包含非線性項，難以直接利用微分法推導各項誤差與精度的關系。因此，本文運用隨機化法快速準確地量化分解精度指標，定量評估各誤差貢獻度，以保證高精度測量方案的可行性與穩定性。

誤差靈敏度定義為其中一個變量產生的偏差對最終基線長度或角度測量結果產生的誤差，反映每一個變量對測量精度的貢獻。將靈敏度作為影響系數參與到后續誤差分配計算中。通過上述對坐標系轉換位姿，在綜合位置靈敏度（3σ）與姿態靈敏度（3σ）范圍內隨機分配誤差量（隨機過程保證零均值正態分布，標準差為1σ）。表3 為根據實際測量值或經驗值進行預分配，通過誤差合成結果檢驗誤差分配是否與預期結果相符，再通過多次迭代得到的誤差分配結果?；€測量系統誤差定量分析的仿真流程如圖4所示。

表3 基線長度誤差靈敏度Tab.3 Baseline length error sensitivity

圖4 誤差分配與仿真流程Fig.4 Error distribution and simulation flow chart

對基線模型進行靈敏度計算，結果如表3 和表4 所示。表3 給出了基線測量系統測量天線臂在120 m 距離下，各坐標系六自由度參數對基線長度誤差靈敏度的計算結果，由于單位不同又分為角度參數靈敏度和位置參數靈敏度，并按靈敏度數值降序排列。

表4 基線角度誤差靈敏度Tab.4 Baseline angle error sensitivity

從表3 中可以看出，較大的位置靈敏度主要集中在Y方向，即距離方向，該方向上位置誤差對基線長度的影響將近1∶1，單軸位置偏離1 μm，基線長度將產生近1 μm 的誤差。角度對基線長度的影響方面，有關測量系即B系的俯仰與偏航角靈敏度較大，最大能達十幾微米每角秒，即單軸每產生1″的角度測量誤差，會給基線長度結果帶來十幾微米的誤差。

表4 展示了各坐標系六自由度參數對基線角度誤差的影響靈敏度計算結果。結果顯示，位置參數在Z軸方向的影響較大，比其他位置高至少一個量級。而角度參數影響方面，測量裝置在星本體上安裝標定等帶來的俯仰角度誤差貢獻最為突出。比起解析式，靈敏度表格為系統精度分析提供了更直觀的參數影響，系統的結構設計調整以及誤差分配等工作均可以在此基礎上進行。

表3 和表4 中靈敏度計算中給定的基線測量系統到星本體系三軸角度真值均為1°，為探究這些角度對靈敏度是否有影響，計算了基線測量系統相對星本體系三軸角度分別在-90°到90°條件下基線角度靈敏度、基線長度靈敏度的數值，并將最大、最小值標注在圖上，結果如圖5～圖6所示。

圖5 測量裝置相對星本體系安裝角度對長度靈敏度的影響Fig.5 Influence of installation angle of measuring device on length sensitivity

圖6 測量裝置相對星本體系安裝角度對角度靈敏度的影響Fig.6 Influence of installation angle of measuring device on angle sensitivity

從圖5 中可以看出，安裝角度確實對長度靈敏度有影響。Y軸靈敏度最大為0.044 μm/（″），低于X軸Z軸靈敏度最小值，其他角度處更是差出數個量級。X，Z軸最小值在2.6°與1.6°處，且角度越靠近兩端靈敏度越大，對基線長度誤差的影響就越大，因此考慮基線長度誤差較小的情況下，1°的安裝角度是較為合適的。

從圖6 中可以看出，安裝角度對角度靈敏度也存在影響。X軸靈敏度峰值在1.9°位置，Y，Z軸則是靈敏度谷值更靠近零點，分別為10.7°和25.2°，且三軸角度影響趨勢與量級不一致，很明顯X 軸角度靈敏度比其他兩軸高一到兩個量級，這也能說明為什么在三軸均為1°時X軸角度靈敏度比另外兩軸大一個數量級。從圖中也能看出，三軸角度均設計為1°并不是靈敏度最優選擇。真值的設計可能會影響基線測量誤差結果，為反演出最佳安裝角度，將不同靈敏度數據代入基線角度誤差求解過程中，根據計算得到的誤差選擇更優的三軸角度。很顯然，靈敏度在各自的谷值處基線角度誤差最小。越靠近±90°，X軸角度越小，但實際安裝的俯仰角不可能這么大，應當在滿足安裝約束的前提下選擇靈敏度盡量小的角度位置。同理也可以對其他參數進行分析，這一反演思路可為系統結構的設計與優化提供理論支持。

5 仿真分析

根據誤差傳遞與靈敏度分析結果，綜合考慮各誤差源（假設相互獨立且服從正態分布），得出一組誤差綜合影響案例：對標定殘差、測量誤差、力熱變形和長期穩定漂移4 種影響明顯的誤差進行初步分配。系統誤差主要考慮地面標定殘差，隨機誤差關注器件性能、結構設計等引起的測量誤差、力熱變形、長期穩定漂移。根據系統的測量精度要求，這里給定的長度測量精度為1 mm，角度測量精度為2″（1.6σ），誤差分配如表5 所示。由于篇幅有限，在此只列出部分分配結果。

表5 誤差分配（B1-T1）Tab.5 Error distribution（B1-T1）

為更貼近真實工況，驗證理論推導計算與分配結果的合理性，通過蒙特卡洛法進行數值模擬仿真。蒙特卡洛法（Monte-Carlo）也稱統計實驗法，其基本思想是利用計算機的數值模擬來代替解析推導，在保證隨機變量滿足一定概率分布的情況下，通過大量仿真來研究隨機參數在統計意義下的特性［13-15］。

代入表5 中分配的隨機誤差項之和作為對應坐標系間的誤差輸入，根據蒙特卡洛法，按照正態分布隨機生成全局擾動，進行誤差合成定量仿真，迭代2 000 次。在計算機仿真中，利用Matlab提供的random（）函數，產生服從標準正態分布的隨機數序列以代表隨機誤差。當置信系數取1.6時，系統測量精度的仿真統計結果如圖7 所示。

圖7 基線測量綜合誤差合成仿真結果Fig.7 Synthesis simulation result of baseline measurement error

基于以上誤差分配與靈敏度計算，得到基線測量系統長度的綜合誤差合成（std）仿真結果為0.859 1 mm（1.6σ），基線測量系統的角度綜合誤差為1.802 2″（1.6σ），滿足給定的精度要求。同理，可分析反演出其他條件下所需的測量精度與誤差分配方案。

6 結 論

星載雙天線InSAR 系統基線測量中主要依靠實驗統計與經驗數據，缺少直接的函數解析式推導和直觀的誤差定量分析方法。本文通過基線測量系統模型與誤差傳遞模型的建立，分析了空間基線誤差來源，并給出了該模型的誤差靈敏度分析。通過誤差定量靈敏度計算明確了正向誤差的傳播途徑，得到各誤差項對總體精度的影響量級。對給定的總體精度指標要求，利用定量的靈敏度數值進行逆向誤差分配反演，對各環節誤差預算有整體把握，也可以據此對方案設計、安裝標定參數和誤差分配方案等進行優化。仿真分析結果表明，激光視覺三軸的位置測量精度為300 μm（3σ），角度測量精度為50''（3σ），即可滿足基線長度精度為1 mm（1.6σ），基線角度精度為2''（1.6σ）的要求。然而，根據靈敏度逆向計算得到的誤差分配結果不唯一，是否合理還需要通過實驗在軌數據的支撐、反復迭代才能驗證，但在方案論證階段可以提供參數設計的數據支撐。這一誤差分析方法與思路也可為其他類似空間相對位姿測量系統的指標制定與方案設計提供指導。