高中數學思維訓練對高考答題技巧的提升效果

高中，是學生人生中至關重要的時期，也是學生為高考做準備的關鍵三年。在這個階段，數學的學習不僅要掌握知識點，更要培養思維習慣和解決問題的能力。我們一直在探索如何更有效地培養學生的數學思維能力。以下是我在多年工作中總結的一些經驗，在此與同行分享。

一、數學思維訓練的核心要點

數學思維訓練，不同于單純的知識傳授，更注重對學生思考能力、邏輯推理能力的培養。其核心要點包括以下幾個方面。

深度理解而非機械記憶：數學不是簡單地記住公式和定理，而是深入理解其背后的邏輯。每一公式、每一定理都有其歷史背景和發展過程，理解這些背景和過程可以幫助學生更好地掌握和應用數學知識。

邏輯推理：數學的本質在于邏輯，學生應該學會如何從已知條件出發，通過一系列邏輯推理得出結論。這不僅是解決數學問題的關鍵，更是一種訓練學生邏輯思考和批判性思維的方法。

發現問題與解決問題：數學思維訓練不僅是解決給定問題，更重要的是發現問題。教師應該鼓勵學生主動探索，自己提出問題并嘗試解決，這樣可以培養學生的創新思維和獨立思考能力。

數形結合：視覺是人類最主要的感知方式。數學中的許多概念都可以通過圖形、圖像來直觀地表達和理解。教師應該鼓勵學生在學習過程中嘗試將抽象的數學概念與具體的圖形結合，增強其直觀性。

實際應用：數學不是脫離實際的純理論學科，其在各個領域都有廣泛應用。學生應該了解數學在實際中的應用，這樣可以加深對數學知識的理解，也可以激發學習興趣。

練習與反饋：數學思維的培養需要大量的實踐。學生應該進行大量練習，不斷鞏固和應用所學知識。同時，及時反饋是提升學習效果的關鍵，教師應該及時指導學生，幫助學生發現并改正錯誤。

數學思維訓練的核心在于培養學生的深度理解、邏輯推理、發現問題、解決問題的能力，并在實踐中不斷鞏固和提高。

二、高考答題技巧

（一）選擇題答題技巧

高考選擇題部分對答題速度和答題技巧都有較高要求。以下答題技巧旨在提高學生的答題效率和準確率。

代入法：這是最直觀的方法。當面對具有多個選擇的問題時，學生可以將每個選項代入題目中的公式或條件，看哪個選項能使條件成立，從而迅速找出正確答案。

特值法：這種方法對于需要求解方程、不等式或數列的選擇題尤為有效。學生可以取某個特定值，如簡單的數字或已知條件，然后將其代入問題，迅速驗證或排除某些選項。

排除法：有時，一些選項明顯是錯誤的，或與題目條件不符。學生可以首先排除這些選項，然后在剩余的選項中選擇正確答案，這樣能夠節省答題時間。

（二）填空題答題技巧

填空題，作為高考數學試卷中的一部分，具有其獨特的考查特點。這部分試題注重學生對基本概念和事實的掌握，同時也測試其應用能力和準確性。以下是幾種針對填空題的答題技巧。

按順序填寫：有些填空題中存在多個空，學生應按照題目給定的順序進行填寫。通常，前面的空所需填寫的內容相對簡單，而且可能為后續的空提供線索或答案。

利用特殊情況：“以偏概全”是一種答題方法，即在某些特殊情況下得出結論，然后推廣到一般情況。由于填空題只需提供答案，而不需要展示詳細的解題過程，所以這種方法在某些場合下特別有效。

（三）解答題答題技巧

解答題，作為高考數學試卷中的重要部分，旨在測試學生深入理解、分析和應用數學知識的能力。它所占的分數比重較大，因此答題時的技巧顯得尤為關鍵。以下是幾種針對解答題的答題方法。

審題至關重要：首先，深入讀題，確保充分理解題目所給的條件和要求。這有助于正確選擇解題策略，避免走彎路。

解答過程的條理性：學生需要確保解題過程的邏輯性、連貫性和完整性。每一步驟都應清晰展示，關鍵的推導和結論都必須明確標出。特別是在涉及分類討論或證明的題目中，結論的歸納和實際問題的“翻譯”都尤為關鍵。

三、高中數學思維在高考答題技巧中的運用

（一）將邏輯思維應用于答題技巧中

教師以“2021年濰坊三模1”和“2021年濱州二模1”中的試題為學生講解答題技巧。

首先，教師指出，在處理集合類問題時，邏輯思維和清晰的推導過程是答題的關鍵。

以“2021年濰坊三模1”為例，全集U包括1，2，3，4，5，而集合A和B分別是1，2和3，4。教師提醒學生，對于集合的問題，一定要明確每個集合的元素，并理解集合間的基本運算。在這個題目中（如圖1），要求找到集合5的表達方式。學生應當首先確認A和B的并集A∪B=1，2，3，4。隨后，根據并集的結果，可以得出補集ｃu（A∪B）為5，因此，正確答案為A選項。

其次，教師再次拿出“2021年濱州二模1”的試題。在這一題中，學生需要根據圖中的陰影部分確定集合的元素（如圖2）。通過分析B集合的定義，學生可以確認B=2，3。接著，學生要結合圖形來判斷哪些元素包含在A或B中，但并不在A和B的交集里。通過這樣的邏輯分析，學生可以得出，陰影部分所表示的集合為-2，0，從而明確D選項為正確答案。

最后，教師總結，不論是哪種類型的集合題，都需要運用邏輯思維進行推導和分析。清晰的思路和正確的答題技巧，可以幫助學生更好地理解和解答這類問題。

（二）數形結合思想在答題中的應用

數形結合思想是指將數學與幾何形狀相結合，通過形象直觀的方式來理解和解決數學問題。這種思維方式特別適用于解決幾何題目，因為它能幫助學生從圖形中發現解題規律，從而更加快速和準確地求解。

教師以“2023年哈爾濱市名校高三學年模擬試卷”中的試題為例，向學生展示如何利用數形結合思想來解決三棱柱的相關問題。首先，教師指出，要解決這類題目，學生首先需要對圖形有深入的了解。通過對圖形的分析可以發現，三棱柱的三個側面中，BCC1B1為菱形（如圖3），這為后續的證明和求解提供了很大的便利。

對于第一個問題，學生需要證明平面ABC1垂直于平面AB1C。教師提醒學生，要完成這個證明，可以從菱形BCC1B1的性質入手，由于菱形的對角線互相垂直且相等，結合已知條件AA1⊥A1B1和AB⊥BC，學生可以得出平面ABC1⊥平面AB1C的結論。

接下來，針對第二個問題，教師指出，這是一個涉及三棱柱內部角的計算問題。學生首先需要利用已知條件BC=2AB=2，結合菱形BCC1B1的性質，可以計算出AC1的長度。隨后，利用三角函數的相關知識，結合已知∠B1BC=60°，學生可以計算出二面角B1-AC1-B的正弦值。

最后，教師總結，要解決這類三棱柱的問題，學生需要深入理解圖形的性質，并巧妙地將數學知識與幾何形狀結合起來。通過數形結合的思維方式，學生可以更加輕松地找到解題的切入點和方法。

（三）利用分類討論思維解決問題

分類討論思維是在面對問題的多種可能性時，將其分為幾個類別或情況來分別進行討論的方法。這種思維方式可以幫助學生系統地、有條理地解決問題，避免遺漏重要的情況或條件，從而達到準確求解的目的。

教師以二次函數試題為例，引導學生體驗如何運用分類討論的思維方法來解題。題目描述：已知二次函數f（x）的解為兩個不同的實數，但具體的解析式未知，試求函數f（x）的取值范圍。

教師提醒學生，需要考慮二次函數的判別式D的情況，以下提取三種可能的情況來進行討論。

在判別式D>0的情況下，教師要讓學生明白這意味著函數有兩個不同的實根，函數的圖像會與x軸相交于兩點，因此函數值會涵蓋一整個區間。

然后轉到判別式D=0的情況，此時函數有兩個相同的實根，函數的圖像與x軸僅在一個點相交，這意味著函數的最大值或最小值在這一點取得。

教師再引導學生討論判別式D<0的情況，明確這意味著函數沒有實根，函數的圖像與x軸沒有交點，從而確定函數的取值范圍。

通過這樣的分類討論，學生可以清晰地理解在不同的情況下，函數的取值范圍如何變化。

（四）轉化與化歸思維的答題應用

轉化與化歸思維是指將一個復雜的問題或不熟悉的問題轉化為一個已知的或相對簡單的問題進行求解，從而達到解決問題的目的。

教師以復數試題為例，展示了如何運用轉化與化歸的思維來解答問題。題目是：已知復數z滿足|z-1|=|z+1|，求z的取值范圍。

教師詢問：“面對這樣的復數問題，我們首選的策略是什么？”學生回答：“我們通常希望將其轉化為我們熟悉的形式或公式。”

教師點頭表示贊同：“沒錯，這樣的轉化可以使問題變得簡單。你們是否注意到這個問題與平面上的哪個幾何知識點有關？”學生思考片刻后回答：“這個等式好像描述了平面上的點與兩個固定點之間的距離相等。”

教師笑了笑：“非常好！這實際上是描述了一個什么幾何圖形？”學生答：“這是一個平分線！”

教師繼續：“對，所以我們可以把這個復數問題轉化為平面幾何問題。現在，假設z在復平面上代表點P，那么|z-1|和|z+1|分別表示P點到哪兩個點的距離相等呢？”學生答：“這表示P點到點A（1，0）和點B（-1，0）的距離相等。”

教師總結：“對，所以P點必定在AB的平分線上。這樣，我們就成功地將一個關于復數的問題轉化為一個簡單的平面幾何問題，并迅速找到了答案。”

這一教學實例清晰地展示了如何將轉化與化歸思維應用于答題中，使得看似復雜的問題變得簡單易解。

編輯：曾彥慧

作者簡介：吳冬霞（1983—），女，漢族，山東聊城人，碩士，中學一級教師，研究方向：數學教學。