《線性代數》課程教學改革的探索與研究

張婭妮 李雪芳

1.太原科技大學，山西 太原 030024；2.河北工程技術學院，河北 石家莊 050011

《線性代數》是工科類大學生必修的一門基礎課程，也是碩士研究生入學統一考試中數學的必考課程［1］。它是一門基礎理論課，在各種代數分支中居于首要地位。在互聯網飛速發展的今天，它已經通過量化和離散化等方法解決了很多問題。它作為代數數值計算的基礎，是我們解決現實生活中實際問題的一把利器。上課人數多是大學類數學課程的普遍現象，再加之它也是一門基礎課，對學生來說不管是學習別的科目還是考研等都非常重要的，并且學生對此也廣泛關注。所以，《線性代數》這門課程的功能和地位是不言自明的。

一、《線性代數》課程教學改革的必要性

我國教育的優良傳統體現在：育人先“育德”，“注重傳道授業解惑，育人育才的有機統一”［2］。大學的立身之本主要在于立德樹人，隨著時代的發展，社會的更新，在我們大學的數學教學中，要想讓學生在數學問題上獲得進步，獲得解決能力、分析問題及進一步的應用，這就需要我們在《線性代數》備課及教學中去研究和探索，從而提高我們的教學質量，達到全方位育人的思想。

二、課程建設目標的改革

為了充分體現對人才的培養目標，在教學中應注重線性代數理論知識與中國文化、計算機、經濟相關問題、建模及實際生活相結合［3］。矩陣、方程和向量等相應的線性代數知識在中國傳統的數學文化中就有了體現。矩陣來源于線性方程組并主要是用來進行對其求解［4］，它最早出現在我國的傳統著作《九章算術》中，它是我國傳統文化的一部分。我們知道，從數學史分析，生動的概念能更加深人們的理解，特殊的數學符號會對數學的發展產生巨大的推力。學生們在學習矩陣時，去探索國家發展過程中的智慧和文化，不僅可以培養我們的民族自豪感，而且讓學生加深對我國文化的理解。

矩陣作為《線性代數》課程教學及學習中的一條主線，我們在初次接觸矩陣概念時，可能會感覺到陌生，感覺到不好理解，那么我們可以換個角度，我們知道矩陣是有各個元素組成的，我們可以考慮是否可以將其中的元素設置成特殊元素，從而通過引入特殊的元素的方法來講解矩陣，讓學生理解矩陣的概念，提起學生的興趣，加深學生的理解，從而加深對“國家大事”的了解，通過這樣的教學方法，學生不僅理解了矩陣的概念，對矩陣不再陌生和恐懼，以及抗拒，反而對矩陣有了一種親和力，同時培養了學生們心中的愛國思想，同時樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。教師在講解矩陣的概念時，可以把矩陣用特殊的元素來構造。

學生通過學習，可以對矩陣的概念有更好的理解，同時又能對我們設置的特殊數字背后的祖國的發展過程進行加深了解，以及激發學生對國家歷史的進一步學習，當然我們也可以通過舉一反三的方法，讓學生自己舉例，極大地提升學生的興趣，讓課程在輕松愉悅中完成，這樣學生掌握得會很扎實。

線性代數大量采用初等變換，只要掌握此方法，就能在線性代數中巧妙解決運算復雜的問題，達到事半功倍的效果［5］。在變換過程中形式雖然不同，教師在總結這個知識點的過程中可以引入“形變質不變”的思想。同時引導學生在遇到難題的時候敢于動手，通過練習，將難題進行轉換，去解決問題，進而達到事半功倍的效果。

三、課程教學方法的改革

線性代數本身內容不僅結構性強，而且具有其獨有的特性，所以也就決定了，我們在學習線性代數或者在線性代數教學中要掌握方法。在《線性代數》課程教學時，可以發現它本身比較抽象，并且具有很高的邏輯性。在學習矩陣的運算時，首先要知道不可以隨便改變矩陣的運算次序，尤其注意矩陣的乘法不滿足交換律，而且矩陣要相加必須是同型矩陣［6］。矩陣與行列式這兩個不同的概念時，我們會發現它們之間雖然有區別但是也有很大的聯系，所以在教學時一定強調讓學生完全掌握并進行區分；在討論矩陣與向量它們之間的關系時，教師可以引入“向量是特殊的矩陣，同時矩陣可以看成是向量組”，但是它們的書寫形式卻不一樣，尤其是討論向量之間的相關性時，要進行線性變換化為階梯型，這時一定要體現數學的嚴謹。所以在教學時，教師需要通過整理分析，讓學生先把公式及定理成立的條件牢記于心，然后通過讓學生證明相關試題，來進一步檢驗學生對《線性代數》課程中包含的主要原理、定理的理解與掌握程度［7］。在教學中我們要有好的方法，而這個方法的特點是具有新穎性，也就是循序漸進的方法，可以從以下五個方面分析：

從慢到快：在第一章行列式的講解中，學生初次見行列式的定義，還比較陌生，這時我們的授課可以放慢一點，讓學生完全掌握行列式的定義，再進一步講解行列式的計算；

由少到多：《線性代數》課程中常常涉及一些大型方程組，所以需要學生先將簡單的、容易的問題弄明白，再進一步去解決對他們來說有難度的問題，例如對于矩陣的定義，首先將2 階、3 階矩陣的定義理解好，從而推廣到n 階矩陣的情形；

從簡到難：對于行列式計算里的一些運算法則，可以先試著講解簡單行列式的情形，從而進一步去應用到復雜行列式的問題，例如線性方程組解存在性判別，對角化問題等；

由低到高：運用一些技巧，無論是行列式還是矩陣的相關運算，可以先討論低階狀態時的計算方法，再進一步推廣運用到高階時情形；

深入淺出：線性代數中會涉及到一些新概念如正交、特征值和特征向量，在講解時，教師可以用淺顯易懂的話，把這些難懂的定義表達出來，讓學生首先理解好它們的定義，在理解的基礎上，去掌握知識之間的關系及作用，一步步達到運用自如的境地。同時可以將價值導向和知識傳授進行相融合，這樣會使學生參與到教學的每一個環節中。

四、課程教學設計及教學方式的改革

（一）線性代數與數學建模結合

為了培養和發展高層次的人才，進一步去適應科學技術的發展，國內外大學特別重視線性代數的應用，尤其是在數學建模上的應用［8］。它的主要思維是通過建立相應的數學模型來達到解決實際問題的目的。

例：2022 年國賽C 題主要是通過分析玻璃的表面風化等得出統計規律，及風化前的化學成分含量，從試題中我們會發現，這里涉及到矩陣和線性代數的相關知識。其中我們會涉及到計算協方差矩陣，從而可以得到它的特征值和特征向量，再有可以將計算出來的特征向量，按照特征值的大小寫成矩陣的形式，分析前K 行等。

從上面的分析，我們會發現，建模的分析離不開線性代數。通過建模可以為線性代數和生活實際聯系起來，讓學生更真切地體會到線性代數理論知識的重要性，同時在教學中穿插數學建模的知識，會為學生提供一種更好的思維方法，讓學生在以后的學習及生活中有更大的信心，同時可以培養學生提出問題、思考問題、判斷問題、分析問題及解決問題的能力，還有他們之間的團隊意識也可以得到極大的提升，為他們的進一步成功奠定了堅實的基礎［9］。

（二）線性代數與電子、計算機結合

由于線性代數是研究線性網絡的主要工具，因此，對電路進行分析、對信號系統進行統計、對數字濾波器等進行設計都離不開線性代數。同時我們在進行IC 集成電路設計時，線性方程組也可以應用在對數百萬個集體管的仿真軟件中［10］。

向量場可以應用于對光電及射頻工程、電磁場、光波導等的分析。張量矩陣可用來分析光調制器，同樣我們生活中所用的手機，它的信號處理也是矩陣的功勞。圖形的矩陣運算可以用在3D游戲及3D 打印中，主要用來處理大量圖形數據，包括我們看的電影及電視中的后期電腦制作都離不開矩陣［11］。

可以發現線性代數與我們的生活息息相關。要想將線性代數學好，并能充分應用到實際中，在授課時，不僅可以采用傳統的黑板教學，同時可以借助多媒體等，讓學生全方位地接受及了解、學習線代知識，提高學生感官和視覺上的認知，加深對線代知識的理解。同時在教學中用計算機及相應的軟件（如Spss、Lingo、Maple、Mathematica、Matlab）對線性代數的應用進行模擬，提高學生主動學習的動力。

五、實施多樣化考核方式

在教學中，我們可以按照《線性代數》的教學大綱，根據我們的培養目標以及教案的設計理念，在授課和教學時，在保留原有教學計劃、學生掌握知識的情況下，可以試著調整學生平時成績中的評價體系和素質考核部分，達到考核方式的多元化和考核過程的多元化。其中考核方式的多元化可以包括：口頭、書面、網絡、討論、分小組、演講、論文、PPT 展示、作業，考核過程的多元化，即考核不僅僅局限于課堂及期中、期末考試，考核貫穿于整個教學的學期，包括課前、課中和課后，課前可以讓學生提前預習課本知識，找相關的背景資料，對將要學的知識有個清晰的了解，課中通過教師安排的授課形式，積極配合及認真地做好課中知識的吸收，課后及時復習加深對知識的了解，進一步多渠道獲取知識的應用，這樣可以培養學生的思辨能力，從而達到專業教育目標與政治教育目標的有機銜接，讓融會貫通能力得到有效體現［12］。

綜上所述，我們通過找出恰當的教學理念，去探索《線性代數》這門課程的教學改革，進一步去分析和討論怎么樣最大化地挖掘學生的學習動力，從而提高學習效率，同時培養學生的應用能力等，為《線性代數》課程教學改革的研究提供一些相應的教學素材［13］，推動數學課程教學與應用的交叉融合，從而達到培養創新型人才的目的。