借助Python實(shí)現(xiàn)“概率統(tǒng)計(jì)”實(shí)驗(yàn)教學(xué)的改革與探索

姚海云 胡曉飛 王子群 李振華 梁蘭菊

摘?要：“概率統(tǒng)計(jì)”是一門非常重要的公共必修基礎(chǔ)課，然而傳統(tǒng)教學(xué)中存在諸多痛點(diǎn)問(wèn)題，導(dǎo)致該門課程的教學(xué)目標(biāo)難以完成。本團(tuán)隊(duì)秉承“以學(xué)生發(fā)展為中心”的思想，基于OBE教學(xué)理念，借助Python軟件，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容模擬繪制本課程的定理、公式概率模型的圖形，實(shí)現(xiàn)可視化的教與學(xué)，真正做到數(shù)形結(jié)合，加深學(xué)生對(duì)抽象概念和定義的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，鍛煉學(xué)生獨(dú)立探索創(chuàng)新和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到本課程的培養(yǎng)目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；Python；實(shí)驗(yàn)教學(xué)；實(shí)踐教學(xué)

一、概述

隨著當(dāng)今數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，數(shù)據(jù)的重要性已經(jīng)成為各行各業(yè)決策的關(guān)鍵驅(qū)動(dòng)力，與數(shù)據(jù)分析密切相關(guān)的“概率統(tǒng)計(jì)”作為一門大學(xué)生必修的公共基礎(chǔ)課程，越來(lái)越受到各大高校的重視［13］。“概率統(tǒng)計(jì)”課程涉及許多領(lǐng)域，如醫(yī)療、金融、工程、生物、材料等，在今天數(shù)據(jù)爆炸的時(shí)代，“概率統(tǒng)計(jì)”更是成為大數(shù)據(jù)時(shí)代的必備技能［45］。通過(guò)學(xué)習(xí)“概率統(tǒng)計(jì)”，學(xué)生可以了解如何從數(shù)據(jù)中提取有用的信息，如何對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模和分析，以及如何在實(shí)際應(yīng)用中運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法來(lái)解決問(wèn)題［67］。但是“概率統(tǒng)計(jì)”知識(shí)結(jié)構(gòu)偏重理論推導(dǎo)與證明，數(shù)學(xué)邏輯很強(qiáng)，抽象內(nèi)容多，學(xué)習(xí)難度大，這就導(dǎo)致很多學(xué)生失去學(xué)習(xí)本課程的興趣和積極性，最終只是為了考試而學(xué)習(xí)，無(wú)法達(dá)到本課程的培養(yǎng)目標(biāo)。此外傳統(tǒng)教學(xué)模式單一，偏重教師講解，學(xué)生被動(dòng)聽(tīng)講和做練習(xí)，缺乏對(duì)實(shí)際應(yīng)用的訓(xùn)練，導(dǎo)致學(xué)生缺乏實(shí)際操作能力，難以將理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中，無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的創(chuàng)造力和思維能力。因此，“概率統(tǒng)計(jì)”的創(chuàng)新改革勢(shì)在必得，也是順應(yīng)時(shí)代發(fā)展的必經(jīng)之路［89］。

Python語(yǔ)言［10］在數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計(jì)學(xué)方面非常流行，有許多相關(guān)的庫(kù)可提供各種計(jì)算和統(tǒng)計(jì)功能，使Python在處理大量數(shù)據(jù)和進(jìn)行高級(jí)分析方面非常出色。本團(tuán)隊(duì)提出借助Python軟件的強(qiáng)大功能，引入“概率統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)改革中。利用Python軟件模擬本課程中難以理解的公理化定義、定理等，將內(nèi)容用圖形表示出來(lái)，學(xué)生通過(guò)可視化圖形加深對(duì)知識(shí)的理解和記憶，可達(dá)到事半功倍的效果，提高教學(xué)質(zhì)量。下面通過(guò)4個(gè)具體的項(xiàng)目實(shí)驗(yàn)案例說(shuō)明Python可視化效果在課堂教學(xué)中的應(yīng)用。

二、Python軟件實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐探索

（一）項(xiàng)目實(shí)驗(yàn)——三門問(wèn)題

三門問(wèn)題出自美國(guó)的一檔電視游戲節(jié)目。游戲規(guī)則如下：現(xiàn)場(chǎng)有三扇門，只有一扇門后有汽車，其余兩扇門的都是山羊。首先參賽者選擇其中一扇門，然后主持人打開(kāi)另外兩扇門后有羊的一扇門，最后主持人詢問(wèn)選手是否選擇更換門。問(wèn)題是：選手更換門是否可以增加贏得汽車的機(jī)會(huì)？作為一個(gè)項(xiàng)目案例，與之相關(guān)的概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容是本課程的第一章中非常重要的一個(gè)公式——貝葉斯公式：

PAi|B=PB|AiPAi∑jPB|AjPAj（1）

利用貝葉斯公式解決三門問(wèn)題時(shí)，首先假設(shè)選手選擇1號(hào)門，主持人打開(kāi)3號(hào)門（事件A），車在i門后（事件Bi），實(shí)際上問(wèn)題就變成了計(jì)算PB1|A，PB2|A2個(gè)概率的大小，通過(guò)計(jì)算概率我們發(fā)現(xiàn)第一個(gè)概率是13，第二個(gè)概率是23，顯然選擇換門會(huì)加大贏得汽車的機(jī)會(huì)。此時(shí)讓學(xué)生利用軟件Python構(gòu)建情景教學(xué)，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)M，計(jì)算以上兩個(gè)概率數(shù)值分布，更加直觀地認(rèn)識(shí)加深理解和運(yùn)用。最后讓學(xué)生自己從模擬結(jié)果總結(jié)規(guī)律，加深理解貝葉斯公式，實(shí)現(xiàn)高階性、創(chuàng)新性的培養(yǎng)目標(biāo)。

Python程序設(shè)計(jì)代碼如圖1：

程序運(yùn)行結(jié)果如圖2所示：

（二）項(xiàng)目實(shí)驗(yàn)——離散型隨機(jī)變量分布實(shí)驗(yàn)（泊松分布）

第二章講到離散型隨機(jī)變量的分布，其中泊松分布是最貼切生活的重要分布之一。它主要來(lái)描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布，比如在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的地震次數(shù)、特大洪水次數(shù)、商場(chǎng)接聽(tīng)電話次數(shù)等都近似服從泊松分布。其分布律為：

PX=k=λkκ！e-λ（2）

利用案例講解分析泊松分布的實(shí)際應(yīng)用：客服接聽(tīng)電話的案例，假設(shè)每一個(gè)來(lái)電是相互獨(dú)立隨機(jī)的，一個(gè)小時(shí)內(nèi)客服接聽(tīng)來(lái)電數(shù)量就符合泊松分布。同樣使用Python模擬的方法繪制本案例的泊松分布曲線，更加直觀深刻地加深學(xué)生對(duì)于泊松分布的理解。假設(shè)每個(gè)小時(shí)來(lái)電數(shù)量分別是5和10（即SymbollA@

=5和SymbollA@

=10）。最后讓學(xué)生總結(jié)規(guī)律以及不同SymbollA@

值對(duì)于泊松分布曲線的影響。

Python程序設(shè)計(jì)代碼如圖3：

程序運(yùn)行結(jié)果如圖4所示：

（三）項(xiàng)目實(shí)驗(yàn)——連續(xù)型隨機(jī)變量分布實(shí)驗(yàn)——正態(tài)分布

第二章講到連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，其中正態(tài)分布是所有分布中最常用也是最重要的分布。它可以來(lái)解決生活中許多概率問(wèn)題，而且正態(tài)分布有許多獨(dú)特的性質(zhì)，比如概率分布曲線成對(duì)稱性、x軸是漸近線以及3SymbolsA@

規(guī)則等。其概率密度函數(shù)為：

fx=1?2πσe-（x-μ）22σ2，-SymboleB@

<x<+SymboleB@

（3）

其中SymbolsA@

（SymbolsA@

>0）、SymbolmA@

是常數(shù)。講解完正態(tài)分布的密度函數(shù)以后，對(duì)應(yīng)給出密度函數(shù)曲線圖形，同時(shí)讓學(xué)生利用Python模擬繪制不同SymbolsA@

、SymbolmA@

的值對(duì)于密度函數(shù)曲線圖形的影響，總結(jié)規(guī)律。

Python程序設(shè)計(jì)代碼如圖5：

程序運(yùn)行結(jié)果如圖6所示：

（四）項(xiàng)目實(shí)驗(yàn)——拋硬幣實(shí)驗(yàn)

第五章講到伯努利大數(shù)定律時(shí)，從理論上說(shuō)明了頻率和概率的關(guān)系，即概率是由頻率推導(dǎo)出來(lái)的，且頻率依概率收斂于隨機(jī)變量的概率值，

其定理如下：對(duì)于任意給定的SymboleA@

>0有

limn→SymboleB@

Pmn-p<ε=1（4）

實(shí)際上要得到概率的值，就需要進(jìn)行大量獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)，且重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率。為了更加直觀地表達(dá)大數(shù)定理的含義，利用Python編寫(xiě)代碼模擬拋硬幣實(shí)驗(yàn)，繪制拋硬幣次數(shù)的多少與正面朝上出現(xiàn)的頻率的動(dòng)態(tài)變化關(guān)系曲線，總結(jié)規(guī)律，從拋硬幣的實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證大數(shù)定理。隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加逐步體現(xiàn)出頻率穩(wěn)定性的結(jié)論。

Python程序設(shè)計(jì)代碼如圖7：

程序運(yùn)行結(jié)果如圖8所示：

三、結(jié)論

針對(duì)本課程目前存在的教學(xué)痛點(diǎn)問(wèn)題，團(tuán)隊(duì)教師幾年來(lái)一直在積極參與教學(xué)改革創(chuàng)新探索，秉承“以學(xué)生發(fā)展為中心”的思想，提出把Python軟件引入課堂教學(xué)中，充分發(fā)揮Python軟件的功能，模擬“概率統(tǒng)計(jì)”中的定理、公式模型，繪制曲線圖形。這樣的創(chuàng)新改革不僅豐富了教學(xué)手段和教學(xué)內(nèi)容，便于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，而且把感知、理解、運(yùn)算和應(yīng)用融為一體，通過(guò)可視化圖形更加直觀地為學(xué)生揭示數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的積極性和興趣，使學(xué)生更好地理解概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用，以及更好地將這些知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的解決方案中，提升課堂教學(xué)質(zhì)量。

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基金項(xiàng)目：2022年度教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：220502116300328）

作者簡(jiǎn)介：姚海云（1990—?），女，漢族，內(nèi)蒙古烏蘭察布人，博士研究生，副教授，研究方向：太赫茲微納器件。