改進Reddy型三階剪切變形理論下FG-GRC板彎曲和模態分析的無網格法

楊立軍, 陳 孔, 陳 衛

(1.湖南文理學院 芙蓉學院,湖南 常德 415000; 2. 中國建筑第八工程局有限公司南方公司,南寧 530004; 3. 南華大學 土木工程學院,湖南 衡陽 421001)

近年來,碳納米管[1](carbon nanotubes,CNTs)和石墨烯納米片[2](graphene platelets,GPLs)憑借其優異的電子、光學、熱導率和力學性能被廣泛應用于聚合物和金屬中的增強材料。另外,已經證明在聚合物基體中加入0.1%的GPLS和1%的CNTs,其強度和剛度基本得到了同等改善[3]。GPLs的突出特點有:極高比表面積、高寬徑比、高界面黏著性。石墨烯增強復合材料由于其優異的性能,為工程人員在實際工程中開發和設計先進的輕量級結構創造了條件。

功能梯度材料(functionally graded materials, FGM)是一種新型的非均勻復合材料,它是1984年由日本材料學者Koizumi[4]對航天技術中的高落差溫度而提出的,其各組分材料可沿一個或多個方向連續梯度變化。2017年,Yang等[5]將FGM的概念引入到石墨烯增強復合材料中,形成了功能梯度石墨烯增強復合材料(functionally graded graphene-reinforced composite,FG-GRC)。嗣后,Feng等[6-7]基于一階剪切變形理論,采用Ritz法研究了FG-GRC納米梁的非線性靜力彎曲和非線性自由振動行為。Yang等同樣基于FSDT理論,采用微分求積法,分析了彈性地基上FG-GRC納米梁屈曲及后屈曲行為。Song等[8-9]利用基于FSDT的Navier求解技術,對FG-GRC板進行了彎曲、抗壓和低速沖擊響應分析。Wu等[10-11]基于上述同樣的模型給出了FG-GRC板的熱屈曲和后屈曲解析解。Reddy等[12]結合FSDT和有限元法,研究了FG-GRC板的自由振動行為。Guo等[13]采用改進的移動最小二乘(improved moving least-square,IMLS)-Ritz法和FSDT相結合,研究了FG-GRC板的自由振動行為。為了保證解的穩定性,在使用FSDT時,還需要在剪切應變能中引入剪修正因子。為了忽略剪切修正因子,需引入了高階剪切變形理論。Gholami等[14]提出了一種與三階剪切變形理論(third-order shear deformation theory, TSDT)相結合的變分DQ技術來研究FG GPLRC板的非線性諧激振動行為。龐有卿等[15]采用Navier解答技術給出了新的雙曲剪切變形理論(hyperbolic shear deformation theory,HSDT)及TSDT下FG-GRC板自由振動問題的解析解。王壯壯等[16]同樣基于Navier解答,對比分析了正弦剪切變形理論(sinusoidal shear deformation theory,SSDT)和TSDT對FG-GRC板的線性彎曲與屈曲的影響。

解析解或半解析法求解的只是少數簡單的偏微分方程組,對于工程結構中較為復雜幾何模型,邊界條件及載荷,很難獲得解析解,因而數值類算法顯得尤為重要。無網格法作為一種已發展二十年有余的數值算法,在分析板殼問題時雖然相比FEM法具有得天獨厚的優勢[17],如只需提高形函數的階次即可完全避免FEM在分析薄板殼問題遇到的剪切鎖死現象[18],但因無法準確施加第二類邊界條件,大多數文獻均是基于FSDT框架下[19-22],結合無網格法,只能處理薄/中厚板問題,限制了無網格法在厚板中的應用。2016年,Selim等[23]假設TSDT位移場中的三階項為一個獨立變量(ψx=φx+?w0/?x,ψy=φy+?w0/?y),將含5個自由度變量擴展到7個自由度變量,同時避免了第二類邊界條件的施加,結合無網格法分析了功能梯度碳納米管增強復合材料板(functionally graded carbon nanotube-reinforced composite, FG-CNTRC)的自由振動問題。

綜上所述,目前對FG-GRC力學性能的研究涌現出不少解析解或基于FSDT理論框架下的數值解,采用基于TSDT的無網格法對FG-GRC板的彎曲及模態研究極為罕見。本文采用穩定移動最小二乘近似(stabilized moving least-square approximation, SMLS)的無網格法,建立分析FG-GRC板線性彎曲與自由振動的無網格模型。其中,為避免無網格法中第二類邊界條件的施加困難問題,利用了含7個自由度變量的改進Reddy型TSDT理論框架,該無網格模型不需人工引入剪切修正因子,可分析FG-GRC厚板問題。文中通過算例分析了本文方法的收斂性及有效性,在此基礎上進一步數值分析和討論了GPLs分布模式,質量分數、總層數和邊界條件等對FG-GRC板彎曲撓度和自振頻率的影響。

1 穩定移動最小二乘近似

設某個域內Ω上的函數u(x)可被函數uh(x)在其子域內Ωx近似[24]

(1)

式中:pi(x)為已知的單項式基函數;m為基函數的個數;bi(x)為待求系數。傳統移動最小二乘近似采用pT=[1,x,y,x2,xy,y2]T,但由于傳統移動最小二乘近似在節點間距減小時,穩定性削弱,故Li等[25]以相對間距為單項式基函數提出了SMLS

(2)

(3)

式中:w(x-xI)為權函數,在子域Ωx外w(x-xI)=0;N為子域內節點個數;uI為節點參數。令

?Γ/?b(x)=0

(4)

則可得

b(x)=B-1(x)A(x)u

(5)

其中,

將式(5)代入式(1),則有

(6)

其中,

NI(x)=pT(x)B-1(x)p(xI)w(x-xI)

(7)

2 數學模型

2.1 材料性質

圖1 FG-GRC板示意圖Fig.1 Schemtaic of functionally graded graphene-reinforced composite plate

圖2 GPLs分布模式Fig.2 Graphene nanoplatelets distribution patterns

(8)

式中,gGPL為GPLs的質量分數,k=1,2,3,…,NL。

(9)

式中,ρGPL和ρM分別為GPLs和基體的質量密度。

根據修正的Halpin-Tsai模型[26],第k層GRC的有效彈性模量為

(10)

其中,

(11)

式中:EGPL和EM分別為GPLs和基體的彈性模量; 下標GPL,M,C分別為GPLs、基體以及石墨烯增強復合材料;ξl和ξw分別為表征石墨烯納米材料的幾何形狀和尺寸的參數,定義如下

(12)

式中,lGPL,wGPL和hGPL為GPLs的長、寬、高。

(13)

(14)

2.2 總能量泛函

根據Reddy’s三階剪切變形理論[27],含5個自由度的廣義位移場U=(u,v,w)T可表示為

(15)

式中: (u0,v0,w0)T為板中面任意一點在x,y,z方向的位移;φx,φy分別為繞y軸和x軸的轉動;c=-4/3h2。根據文獻[28],假設ψx=φx+?w0/?x,ψy=φy+?w0/?y,式(15)則可改寫為含7個自由度變量的廣義位移場如下

(16)

根據幾何方程,板的面內應變和剪切應變分別為

ε={εxεyγxy}T=ε0+zκ1+z3κ2

(17)

γ={γyzγxz}T=εs+z2κs

(18)

其中,

ε0={u0,xv0,yu0,y+v0,x}T,
κ1={φx,xφy,yφx,y+φy,x}T,
κ2=c{ψx,xψy,yψx,y+ψy,x}T,
εs={φx+w0,xφy+w0,y}T,
κs=3c{ψxψy}T

第k層FG-GRC板的應力-應變關系為

(19)

其中,

(20)

FG-GRC板的內力和應變關系為

(21)

其中,

(Aij,Bij,Dij,Eij,Fij,Hij)=

(22)

(23)

FG-GRC板的應變能為

(24)

FG-GRC板受橫向荷載q(x,y)的總勢能泛函為

(25)

FG-GRC板的動能為

(26)

將式(24)和式(26)進行疊加,則FG-GRC板自由振動時的總勢能泛函為

Πs=Up-T

(27)

2.3 控制方程

對FG-CNTRC板的節點位移及轉角進行離散,利用式(6)近似得到

(28)

將式(28)代入式(25),根據最小勢能原理,δΠu=0,則FG-GRC板線性彎曲的無網格控制方程為

KU=F

(29)

(30)

其中,

U=[uIvIwIφxIφyIψxIψyI]T,

其中,

3 本質邊界條件

由于基于移動最小二乘近似得到的形函數不滿足Kronecker條件,各節點未知量是節點參數而非真實位移,本文采用Chen等[29]提出的完全轉換法處理本質邊界條件。

(31)

(32)

將式(32)代入式(29)得到

(33)

上式兩邊同乘TT,則有

(34)

同理,式(30)可修改為

(35)

通過解如下方程的特征值問題,可得到FG-GRC板的自振頻率。

(36)

4 數值結果與分析

本章首先以四邊簡支FG-GRC板的彎曲和基頻為例,將計算結果與文獻中的解析解進行對比,驗證本文方法的收斂性及有效性,接著運用本文方法分析GPLs分布模式、質量分數、總層數及邊界條件對FG-GRC板的彎曲及自振頻率的影響。

數值試驗中,FG-GRC板結構考慮如下常見的3種邊界條件,以x=0,a邊界為例,則有:①固支邊界(Clamped, C)u=v=w=φx=φy=ψx=ψy=0;②簡支邊界(Simply, S)v=w=φy=ψy=0;③自由邊界(Free, F)沒有限制。

4.1 收斂性分析

為驗證本文方法計算FG-GRC板彎曲(均布荷載q0=500 kPa)與自振頻率收斂性,取均布無網格節點數5×5,7×7,11×11,15×15對四邊簡支(SSSS)或四邊固支(CCCC)FG-GRC板的無量綱中心撓度及基頻進行收斂性分析,計算結果及解析解列于表1和表2。由表1和表2可知,采用本文方法計算FG-GRC板彎曲及自振頻率具有較好的收斂性。當節點數為11×11時:①本文方法對四邊簡支FG-GRC板撓度與基頻的計算結果與王壯壯等研究中基于正弦剪切變形理論得到的解析解誤差在0.001%以內;②四邊固支FG-GRC板基頻與文獻中基于廣義高階剪切變形理論的等幾何分析(isgeometric analysis, IGA)數值結果誤差在0.7%以內。由此可認為該離散方案已使得計算結果收斂,后續算例均采用11×11節點離散。

表1 不同GPLs質量分數下四邊簡支FG-GRC板的無量綱中心撓度收斂性分析Tab.1 Convergence analysis of dimensionless central deflection of simply supported FG-GRC plates under different weight fractions gGPL

表2 四邊簡支或固支FG-GRC板無量綱基頻收斂性分析Tab.2 Convergence analysis of dimensionless fundamental frequency of simply supported or clamped FG-GRC plates

4.2 彎曲分析

表3計算了CCCC、CSCS、CFCF和SSSS 4種邊界條件下FG-GRC板的無量綱中心撓度,其中SSSS邊界條件下本文的計算結果與基于三階剪切變形理論的解析解吻合良好,證明了本文方法計算FG-GRC板彎曲的準確性。由表3可知,隨著邊界約束的增強,FG-GRC板的中心撓度減少;環氧樹脂板的中心撓度均大于FG-GRC板,說明GPLs極高的彈性模量可有效增加FG-GRC板的剛度;不同GPLs分布模式下FG-GRC板結構剛度存在較大的差異,按照GPLs分布模式形成的結構剛度大小依次為:FG-X>UD>FG-A>FG-O。

表3 不同邊界條件下FG-GRC板的無量綱中心撓度Tab.3 Dimensionless central deflection of FG-GRC plate under different boundary conditions

圖3和圖4分別展示了GPLs的分布模式、總層數NL和質量分數gGPL對FG-GRC板的無量綱彎曲撓度變化率Dc的影響,其中Dc=wC/wM×100%,wC和wM分別表示FG-GRC板和環氧樹脂板的無量綱撓度中心數值。可以看出:4種GPL分布模式的情況下,FG-X的補強效果最好,其次是UD,FG-A和FG-O,GPLs均勻分布模式(uniformly distributed,UD)的板的撓度不受NL的影響;FG-O和FG-A板的撓度隨著NL的增加而增加,而FG-X板的撓度隨著NL的增加而減小;當FG-GRC板的總層數NL<10～15時,FG-X、FG-A和FG-O分布模式下的板彎曲撓度變化率較為劇烈,說明該階段相較于環氧樹脂板,GPLs增強板的撓度降低(或增加)較快;當FG-GRC板的總層數NL>10～15時,板彎曲撓度變化率較為平緩;隨著重量分數gGPL的增加,板的彎曲撓度變化率逐漸減少,由此可以說明,GPLs的含量增加可以顯著提高FG-GRC板的剛度。

圖3 總層數NL對FG-GRC板Dc的影響Fig.3 Effect of total number of layers NL on the percentage defection change Dc of the FG-GRC plates

圖4 質量分數gGPL對FG-GRC板Dc的影響Fig.4 Effect of weight fraction gGPL on the percentage defection change Dc of the FG-GRC plates

圖5討論了GPLs的分布模式、長寬比lGPL/wGPL和長厚比lGPL/hGPL對FG-GRC板的無量綱彎曲撓度變化率Dc的影響。數值計算時,固定lGPL=2.5 μm不變,變化wGPL和hGPL。研究發明:隨著lGPL/hGPL增加到1 000左右,FG-GRC板的無量綱彎曲撓度變化率急劇降低,然后隨著lGPL/hGPL的進一步增加而降低非常緩慢;方形GPLs(lGPL/wGPL=1.0)增強FG-GRC板的彎曲撓度比矩形GPLs(lGPL/wGPL=3.0)增強FG-GRC板彎曲撓度小,這是因為方形GPLs(lGPL/wGPL=1.0)增強FG-GRC板具有較高的表面積,GPLs與基體之間較大的接觸面積,導致了更高的結構剛度。

圖5 GPLs的幾何尺寸對FG-GRC板Dc的影響Fig.5 Effect of gGPL geometry and size on the percentage defection change Dc of the FG-GRC plates

4.3 自振頻率分析

下面運用本文方法對FG-GRC板的自振模態問題進行分析和討論。表4展示了不同寬厚比及GPLs分布模式下四邊簡支或固支FG-GRC板的前3階無量綱自振頻率,且與Thai等[30]基于廣義高階剪切變形理論,采用等幾何分析方法得到的數值結果進行參考比較,說明了本文方法計算FG-GRC板自振頻率的準確性。此外還可以發現: 4種分布型下的固支FG-GRC板的自振頻率均高于簡支FG-GRC板;固定FG-GRC板的寬度,隨著厚度h的減少,FG-GRC板結構的自振頻率減少。

表4 不同寬厚比下四邊簡支或固支FG-GRC板的前3階無量綱自振頻率Tab.4 The first three dimensionless natural frequencies of simply supported or clamped FG-GRC plates with different width thickness ratios

圖6和圖7分析了GPLs的分布模式、總層數NL和質量分數gGPL對FG-GRC板的基頻變化率Fc的影響。

圖6 總層數NL對FG-GRC板Fc的影響Fig.6 Effect of total number of layers NL on the percentage frequency change Fc of the FG-GRC plates

圖7 gGPL對FG-GRC板Fc的影響Fig.7 Effect of weight fraction gGPL on the percentage frequency change Fc of the FG-GRC plates

定義FG-GRC板的基頻變化率為

研究表明:FG-O和FG-A型FG-GRC板的基頻隨著總層數NL的增加而減少,FG-X型FG-GRC板的基頻隨著總層數NL的增加而增大,而UD型FG-GRC板的基頻隨著總層數NL的增加而保持不變;在相同的GPLs質量分數下,FG-X分布模式下的基頻最大,FG-O分布模式下的基頻最小,這說明在板的頂部和底部界面處分布GPLs,比在板的中面處分布GPLs更加有效增強板的剛度;當FG-GRC板的總層數NL<15～20時,FG-X,FG-A和FG-O分布模式下的板基頻變化率較為劇烈,說明該階段相較于環氧樹脂板,GPLs增強板的剛度降低(或增加)較快;當FG-GRC板的總層數NL>15～20時,板基頻變化率較為平緩;GPLs的質量分數gGPL從0%逐步增加到1.2%時,FG-GRC板的剛度在增加,從而導致無量綱基頻逐漸增大。

圖8討論了GPLs的分布模式、長寬比lGPL/wGPL和長厚比lGPL/hGPL對FG-GRC板的基頻變化率Fc的影響。由圖8可知,固定GPLs的長度不變,方形GPLs(lGPL/wGPL=1.0)增強FG-GRC板和矩形GPLs(lGPL/wGPL=3.0)增強FG-GRC板的基頻均隨著長厚比的逐漸增大,GPLs與環氧樹脂基體的接觸面積逐漸增大,從而結構的整體剛度逐漸增大,導致無量綱基頻不斷增大,且長厚比在[0,1 000]內時,無量綱基頻顯著增加。

圖8 GPLs的幾何尺寸對FG-GRC板Fc的影響Fig.8 Effect of gGPL geometry and size on the percentage frequency change Fc of the FG-GRC plates

5 結 論

本文采用基于改進Reddy型三階剪切變形理論的穩定移動最小二乘近似無網格法求解了功能梯度石墨烯增強復合材料(FG-GRC)板的靜態線性彎曲和自振模態問題。通過與文獻中解析解的數值結果進行對比,驗證了本文方法的收斂性及準確性。數值討論了GPLs分布模式、幾何尺寸、邊界條件等對FG-GRC板彎曲和自振模態的影響。研究發現:

(1) 隨著邊界約束的增強,FG-GRC板的彎曲撓度減少,自振頻率增大。

(2) 4種GPL分布模式的增強效果依次為FG-X>UD>FG-A>FG-O。

(3) FG-O和FG-A型FG-GRC板的剛度隨著總層數NL的增加而減少,FG-X型FG-GRC板的剛度隨著總層數NL的增加而增大,而UD型FG-GRC板的剛度隨著總層數NL的增加而基本保持不變。

(4) FG-GRC板中GPLs的質量分數gGPL與板的剛度正相關。

(5) 與無GPLs增強板相比,當FG-GRC板的總層數NL<15～20時,FG-X、FG-A和FG-O型的FG-GRC板剛度變化較為劇烈;當總層數NL>15～20時,FG-GRC板的剛度變化較為平緩。

(6) GPLs長厚比在[0,1 000]內時,FG-GRC板的剛度急劇增加,且方形GPLs(lGPL/wGPL=1.0)增強FG-GRC板的剛度比矩形GPLs(lGPL/wGPL=3.0)增強FG-GRC板剛度大。