基于兩種梁理論對變幅錐形桿彎曲振動的特性分析及參數設計

常婷婷, 沈 峰, 鮑四元

(蘇州科技大學 工程力學系,江蘇 蘇州 215011)

桿、梁結構的振動是工程中的基本問題。在超聲領域,功率超聲設備中的關鍵部件是超聲變幅桿,其截面分為兩種形式:階梯形截面和連續變截面。其中圓錐形變幅桿[1]采用了連續變截面,在對放大系數不要求特別大的情況下具有非常廣泛的應用。而連續變截面桿較普遍地用于具有較高的工作穩定性和較大的抗彎剛度要求的場合。純彎曲振動模式的超聲裝置中超聲加工中效率高且質量好而顯得至關重要[2],部分超聲加工中采用了兼有彎曲、縱向和扭轉復合的振動模式,如萬志堅等[3]從理論和試驗上分別研究了一種面內彎縱復合模態的直線超聲電動機。

目前,研究人員采用不同的方法對等截面梁做了大量的研究。采用的理論主要有歐拉梁理論和鐵木辛柯梁理論。其中歐拉梁理論方面涌現了一些解析方法,如劉向堯等[4]基于簡化的歐拉梁對有一定工程實踐意義的三個模型進行了推導,得到三個對應頻率方程的解析結果。牛國華等[5]則用直接解析解和矩陣傳遞法研究了組合變截面L型變截面梁的自由振動特性。Ma[6]利用一種精確梁單元分析剛架結構的自由振動并進行了優化分析。涌現的一些數值方法如Wang等[7]基于微分求積法分析了梁和剛架結構的動力學特性。吳林潮等[8]基于近場動力學方法研究了歐拉梁結構的振動特性。

而應用鐵木辛柯梁理論方面,Han等[9]獲得了等截面鐵木辛柯梁的模態解析表達式,進而得到均勻圓截面簡支鐵木辛柯梁在移動荷載作用下動力學特性的解析解。Hamioud等[10]基于譜元法研究了鐵木辛柯梁的振動問題,計算得到其固有頻率和振型;李曉姣[11]基于應用力學的辛對偶體系方法,提出梁動力學問題的辛本征值分析方法,得到了鐵木辛柯梁自由振動時的固有頻率。Mohammad等[12]建立鐵木辛柯梁單元,利用有限元法推導出該單元的質量矩陣、剛度矩陣和幾何矩陣,求解出梁在不同邊界條件下自由振動的固有頻率。

研究表明,經典歐拉梁理論忽略了梁的橫向剪切變形,但對于高度相對跨度不是很小的情況,如短而較高的梁,剪切變形的影響不能忽略,故鐵木辛柯梁理論在梁運動方程中引入剪切變形和轉動慣量。對于梁有效長度較短的情況,鐵木辛柯梁理論計算梁的固有頻率較歐拉-貝努利梁理論更符合實際。在研究超聲變幅桿時,可采用鐵木辛柯梁理論研究超聲變幅桿的動力學特性[13]。

隨著實際工程中變截面桿的大量應用,學者們對相關的動力學問題做了若干研究。葛仁余等[14]研究了軸向力作用下軸向功能梯度變截面梁的橫向自由振動問題,但其理論主要基于歐拉-貝努利梁理論分析。對于變截面梁振動問題,由于彎曲振動方程的解析解數學處理上具有一定的難度,目前很多學者[15-16]應用各種近似解法進行了求解,即使采用解析方法,其求解形式和過程較為復雜。以上研究在分析變截面梁自由振動問題時較少采用基于鐵木辛柯梁理論的解法。

在研究常截面梁、板結構的彎曲振動問題時,Li等[17-18]假設位移時提出了改進傅里葉級數法。該方法具有在模擬結構變形時更加貼近實際,結合能量原理在求解結構靜變形、動態特性時[19]都具有能夠快速收斂的特性。

鑒于有限單元法的計算代價較大,本文選取合適的基函數構造變截面桿的位移,并應用瑞利-里茲法求解變截面的動力學特性。為了分析變截面桿在各種經典邊界條件組合下的自由振動,分別采用歐拉-貝努利梁理論和鐵木辛柯梁理論進行研究。其中基于歐拉-貝努利梁理論時,首先對改進傅里葉級數中的基函數作修正,使其滿足邊界條件,從而得到位移函數展開的一種級數形式,利用該形式推導出桿在自由振動狀態時的勢能和動能,結合能量守恒原理由所得的矩陣特征值問題建立一種適應各類邊界的振動分析算法。通過瑞利-里茲方法獲得不同邊界約束條件下歐拉-貝努利梁的固有頻率。類似地,按照鐵木辛柯梁理論,對不同邊界圓錐形桿基于所提方法合理假設梁撓度和轉角的表達式,結合能量原理把自由振動問題轉化為矩陣特征值問題,即可得到鐵木辛柯梁理論下的固有頻率等振動特性。最后,將歐拉-貝努利梁理論下的固有頻率轉換為鐵木辛柯梁理論下的固有頻率,建立圓錐形梁的固頻轉化近似公式。

本文的目的是驗證所提方法在歐拉-貝努利梁理論和鐵木辛柯梁理論下的適用性,并對變截面錐形桿在不同邊界條件下的動力學問題進行有效的求解及參數設計,為工程實踐應用提供有效的參考。

1 錐形桿自由振動的理論模型

1.1 計算模型

考慮長度為L的錐形變幅桿,截面變化如圖1所示,桿的橫截面面積、截面對中性軸的慣性矩可分別設為

圖1 圓錐形變幅桿Fig.1 A conical horn

(1)

式中,c為反映截面半徑變化的截面系數,c=(D0-D1)/L, 而D0,D1分別為桿左端、右端的圓形橫截面直徑。當c=0時,對應于等截面桿; 當0

基于鐵木辛柯梁理論,變截面桿自由振動的微分方程為

(2)

(3)

若研究時采用歐拉-貝努利梁理論,需忽略剪切模量的影響,對應的微分方程為

(4)

1.2 錐形桿固有頻率基于歐拉-貝努利梁理論的解法

文獻[20]中采用了傅里葉余弦級數與輔助正弦級數相組合而成的改進傅里葉級數,以分析歐拉-貝努利梁自由振動的位移。此類改進傅里葉級數展開的形式為

(5)

(6)

為適應歐拉-貝努利梁兩端的邊界條件,在構造梁位移函數時筆者提出pb2-Fourier級數,所對應修正基函數fm(x)的形式如下

(7)

式中: 指數i根據左端(x=0處)的邊界決定,i取的具體值為0,1,2,分別對應于自由、簡支和固定邊界;j根據右端(x=L)的邊界決定,取值類似左端i的取值。各種邊界條件下錐形桿基函數式(8)中i,j的取值如表1所示。以兩端固定邊界桿為例,對應彎曲位移所采用基函數fm(x)中若干基本項部分(m≥0時)和附加項部分(-4≤m≤-1時)的圖像分別如圖2和圖3所示,其中L取1。基函數圖形能夠直觀反映所選函數滿足梁端部的邊界約束條件。由式(7),附加項有4項,而圖2中給出基函數中前5項基本項的圖像。

表1 基函數中指數的取值Tab.1 The values chosen for the indexes in the basis functions

圖2 兩端固定桿Euler-Bernoulli梁模型下基函數中基本項部分的圖像Fig.2 Plotting of several basic items in the basis functions for rod with two ends clamped under Euler-Bernoulli beam model

圖3 兩端固定桿在Euler-Bernoulli梁模型下基函數中附加項部分的圖像Fig.3 Plotting of several attached items in the basis functions for rod with two ends clamped under Euler-Bernoulli beam model

則撓度函數的形式為

(8)

式(8)可適應梁兩端的各種常規邊界條件。

假設梁作簡諧振動,有

(9)

式中: i為虛數單位;ω為圓頻率。

按式(9)得變截面歐拉-貝努利理論下桿結構的彎曲勢能V1為

(10)

式中:E為彈性模量;I(x)為梁截面的慣性矩。

歐拉-貝努利梁的動能為

(11)

式(9)代入式(11)得梁動能的表達式為

(12)

式中,UT為引入的函數,下標T為對應于動能。式(10)與式(12)相加,得歐拉-貝努利理論下桿結構的總能量為

EEB=e2iωtLEB=(U1-ω2UT)e2iωt

(13)

將式(8)、式(10)及式(12)代入式(13),應使所得函數LEB取得極小值。需對待定系數Am求偏導并令其為零

(14)

由式(13)和式(14)得歐拉-貝努利理論下桿振動時滿足的線性方程組

(K-ω2M)A=0

(15)

式中: 向量A由未知級數展開系數組成,即A=[A-4,A-3,A-2,A-1,…,Am1];K為剛度矩陣;M為質量矩陣。且矩陣K和M中元素的形式如下

(16)

式(15)有非零解的條件是系數行列式為零,對應的矩陣特征值問題為

|K-ω2M|=0

(17)

應用數值方法解出特征值,即得歐拉-貝努利理論下不同邊界條件桿的固有頻率。再把特征向量代入式(8),可得梁位移表達式,并得到模態。

1.3 圓錐形桿固有頻率基于鐵木辛柯梁理論的解法

為適應鐵木辛柯梁理論下桿兩端的邊界條件,筆者提出此類模型下錐形桿撓度、轉角函數進行改進傅里葉級數展開時,對應的基函數gm(x)的修正形式為

(18)

式中: 指數i根據左端(x=0處)的邊界決定,且i取0(對應于自由)或1(對應于固定邊界);j根據右端(x=L)的邊界決定,取值類似左邊。

以兩端固定邊界桿為例,式(18)中基函數基本項gm(x)對應于m≥0的部分,而基函數附加項部分對應于-2≤m≤-1的情形。其圖像分別如圖4和圖5所示,其中L取1,圖4給出基函數中前5個基本項的函數圖像(m=0,1,2,3,4時)。

圖4 兩端固定桿在鐵木辛柯梁模型下基函數中若干基本項的圖像Fig.4 Plotting of several basic items in the basis functions for rod with two ends clamped under Timoshenko beam model

圖5 兩端固定桿在Timoshenko梁模型下基函數中附加項的圖像Fig.5 Plotting of two attached items in the basis functions for rod with two ends clamped under Timoshenko beam model

則桿撓度、轉角容許函數的截斷形式為

(19)

式中:Am和Bn為級數展開中的待定系數;h(x)的定義同g(x);m1和n1均為截斷數。

變截面鐵木辛柯梁理論模型考慮了剪切變形與轉動慣量對梁振動模態的影響,此時包含彎曲勢能和剪切勢能兩部分,其表達式為

(20)

變截面梁運動時產生的動能為

(21)

梁作簡諧振動時,其位移和轉角的容許函數分別假設如下

(22)

式中: i為虛數單位;ω為圓頻率。

類似2.3節,梁結構的總能量為

ET=e2iωtLT, 且LT=U1-ω2UT

(23)

其中,U1和UT的表達式分別為

(24)

式(23)中所定義Timoshenko梁的LT函數應取極小值,即

δLT=δ(U1-ω2UT)=0

(25)

需要令LT對級數展開中系數的偏導數取零,即

(i=-2,-1,…,m1;j=-2,-1,…,n1)

(26)

為方便計算,當w(x)和ψ(x)作級數展開時截斷m1和n1數取相同的值N,則兩者傅里葉級數截斷后的項數均是N+3。

由式(26),可得鐵木辛柯梁結構振動的特征頻率方程,即

(27)

式中:A=[A-2,A-1,A0,…,AN];B=[B-2,B-1,B0,…,BN];Ai,Bi為改進傅里葉級數展開中的系數,具體見式(19);Ω為定義的無量綱頻率,其定義見式(30)。

式(27)中剛度矩陣中各子塊矩陣元素的形式為

(28)

質量矩陣中各子塊矩陣元素的形式為

(29)

對式(27)對應于矩陣特征值問題,可得無量綱特征值Ωj(其中j=1,2,…,2(N+3))和相應特征值的未知系數Ai和Bi,其中由無量綱特征值對應于桿的各階頻率;再將對應的特征向量代入式(19),可得結構的相應階模態。

在研究變截面桿固有頻率的部分算例中,為使最終結果無量綱化,本文對頻率作如下處理

(30)

式中:I0為桿端部截面慣性矩的較大者;A0為桿端部截面面積的較大者。

1.4 兩種梁理論下固頻的轉換公式法

與歐拉-貝努利梁理論相比,鐵木辛柯梁理論考慮剪切變形與轉動慣量對梁振動模態的影響。文獻[21]中介紹了一種頻率的近似轉換方法。本文以兩端自由等截面桿為例,介紹鐵木辛柯梁理論與歐拉-貝努利梁理論下固有頻率之間轉化關系的推導過程。

取兩端自由超聲變幅桿作為對象,其撓度簡諧函數不妨設為

(31)

將撓度函數式(31)分別代入式(4)和式(3),得歐拉-貝努利梁理論和鐵木辛柯梁理論下固有頻率滿足的關系式,分別如下

(32)

(33)

式中:ωE為桿基于歐拉-貝努利梁理論彎曲振動的圓頻率;ωT為桿基于鐵木辛柯梁理論彎曲振動的同階次固有頻率。式(33)與式(32)相減得

(34)

或化為

(35)

(36)

式中:fTi為基于鐵木辛柯梁理論計算所得等截面直桿第i階彎曲振動的頻率;fEi為該等截面直桿基于歐拉-貝努利梁理論第i階彎曲振動的頻率。

2 數值算例與分析

本節給出三個算例:算例1應用兩種理論,對不同截面參數、不同邊界條件下的梁計算相應的無量綱頻率,通過數值驗證本文方法的正確性;算例2對4根錐形桿彎曲振動的固有頻率進行計算;算例3中限制錐形桿的某些幾何參數及已知指定階次的目標固有頻率,設計出相應的桿尺寸。

2.1 算例1

變截面直桿的具體計算參數如下:材料的密度、泊松比分別為ρ=2 500 kg/m3,ν=0.33,材料彈性模量為E=2.1×1011Pa,剪切系數κ=6(1+ν)/(7+ν)=1.089,梁長L=1 m,圓截面左端直徑D0=720 mm。分別基于歐拉-貝努利梁理論與鐵木辛柯梁理論,研究截面系數c對兩種梁理論下梁動力特性的影響。參數c的取值為0, 0.1, 0.3和0.6,其中參數c=0時表示等截面梁。表2給出簡支-簡支(S-S)、固支-固支(C-C)及自由-自由(F-F)三種邊界條件下變截面桿無量綱固有頻率的具體取值。計算時歐拉-貝努利梁理論下的位移級數展開式(8)中一共截取了11項,對應兩端簡支的等截面桿的第i階無量綱頻率的解析解為Ωi=i2π2,經表2驗證本文方法所得解與解析解一致(如表2中第3列S-S邊界桿的無量綱頻率數據9.87≈π2,39.48≈4π2等)。同樣地,等截面桿在固支-固支(C-C)及自由-自由(F-F)邊界條件下所得固有頻率的值與振動力學教程中解析頻率方程的結果一致。且應用歐拉-貝努利梁理論時,存在有趣現象:不論是否等截面桿,固支-固支(C-C)及自由-自由(F-F)邊界條件下同階次無量綱固有頻率值對應相等或相近,如比較表2第3列中C-C邊界桿的無量綱頻率數據與F-F邊界桿的無量綱頻率數據,其值依次為22.37, 61.67(或61.68), 120.90(或120.91)等。這與文獻[22]中的結論完全一致。

表2 變截面梁的無量綱自振頻率值Tab.2 The values for non-dimensional natural frequencies of rods with variable section

2.2 算例2

參考圖1,對各不同尺寸桿進行彎曲振動固有頻率的計算及驗證。其中桿的邊界為兩端自由。

圓錐桿的材料參數為:E=69 GPa,ρ=2 700 kg/m3,泊松比υ=0.33。四種圓錐形變幅桿的尺寸如表3所示。具體地:第1號桿段左、右端圓截面直徑分別為D0=40 mm,D1=10 mm; 第3號桿兩端圓截面的直徑分別為D0=50 mm,D1=10 mm; 而第2號桿的兩端直徑同第1號桿; 第4號桿的兩端直徑同第3號桿。第1～第4號桿的長度分別為250 mm,200 mm,150 mm和200 mm。這4個桿的形狀參數分別為0.100, 0.125, 0.200和0.150,其計算式為γ=(D0+D1)/(2L)。

表3 自由變幅錐形桿的形狀參數Tab.3 The shape parameters for free-free conical rod

計算步驟如下:首先按式(17)得到歐拉-貝努利梁理論下錐形桿的固有頻率值,然后由頻率轉化式(36)得到鐵木辛柯梁理論下的固有頻率值。另外,基于敲擊法模態試驗所得第2、第3、第4號桿的固有頻率結果如表4所示。利用轉化公式所得錐形桿前3階固有頻率的結果與鐵木辛柯梁理論下固有頻率值、模態測驗法或有限元方法的結果均非常接近,見表4,其相對偏差在3.1%以內。表4中兩種相對偏差A和B分別定義如下

表4 自由邊界變幅桿前3階固有頻率的數值結果Tab.4 The numerical results for the first three natural frequencies of the conical rod

(37)

式中,fi,fT,i和fFe,i分別為基于本文轉化公式、本文鐵木辛柯梁理論和有限元方法的計算結果。

2.3 算例3

對圓錐形變幅桿進行尺寸設計,使得其指定階的彎曲振動固有頻率達到預定值。超聲變幅桿仍采用兩端自由邊界條件。參考圖4,材料參數為E=69 GPa,ρ=2 700 kg/m3,泊松比為υ=0.33。給定桿的小端直徑D1和形狀系數γ,給定待設計桿指定階次的固有頻率的設計值,具體地,需設計出基頻、第2階頻第3階彎曲自振頻率分別為20 kHz的圓錐形桿尺寸(其中D1=6 mm,γ=0.200)。類似的,分別設計前3階彎曲自振頻率為25 kHz的圓錐形桿尺寸(其中D1=10 mm,γ=0.250)。另外分別設計前3階自振頻率為30 kHz的圓錐形桿尺寸(其中D1=8 mm,γ=0.333)。按照尺寸和設計要求,對桿彎曲振動固有頻率進行3～5次試算及修正。三種圓錐形變幅桿的尺寸按鐵木辛柯梁理論設計的最終結果如表5所示。并按照歐拉-貝努利梁理論和頻率轉換公式對所設計尺寸的桿固有頻率驗證。

表5 圓錐形變幅桿的設計結果及基于Euler-Bernoulli梁理論的驗證Tab.5 The designed results for the conical rod and validation by using Euler-Bernoulli beam theory

計算過程如下:首先對桿長選取一個初始值,如為50 mm或100 mm等,基于鐵木辛柯梁理論按本文式(27)計算固有頻率值,與待設計固有頻率值比較,并調整尺寸,可得合理的尺寸設計值。另外基于歐拉-貝努利梁理論應用式(17)和頻率轉換公式驗證所設計錐形桿的固有頻率。表5表明僅基于歐拉-貝努利梁理論,未采用調整公式前,部分固有頻率的結果較為接近(相對誤差在5%以內),但部分結果誤差很大。而按照式(36)調整后,可將歐拉-貝努利梁理論下的固有頻率轉換為鐵木辛柯梁梁理論下的固有頻率,相對誤差一般在10%以內(部分可降至5%以內)。對偏大結果若按式(35)調整后,所得固頻結果相對鐵木辛柯梁理論下固有頻率值的誤差一般在5%以內。說明式(35)或式(36)可作為錐形桿設計的初步依據。

3 結 論

本文利用瑞利-里茲法對不同邊界條件下錐形變幅桿的彎曲自由振動特性進行研究,主要結論如下:

(1) 筆者在改進傅里葉級數基礎上,提出一種含三角函數的新型基函數形式,該基函數在模擬桿彎曲變形時可根據桿兩端邊界條件直接選擇對應的函數形式。

(2) 通過計算分析并與已有文獻結果對比,采用所提方法基于歐拉-貝努利梁理論和鐵木辛柯梁理論求解錐形桿的固有頻率,驗證所提方法在使用兩種梁理論時均具有較好的精確度與收斂迅速等優點。

(3) 兩端自由等截面桿存在兩種梁理論(鐵木辛柯梁理論和歐拉-貝努利梁理論)下固有頻率轉換的近似公式,本文應用轉換公式驗證了該公式在估算兩端自由圓錐形桿固有頻率時的可行性。

(4) 提出對給定彎曲振動頻率條件下變幅桿的尺寸設計的方法,算例部分對不同邊界條件下的圓錐形變幅桿進行了尺寸設計,為工程實踐提供有效的參考。