一維接觸排斥相互作用單自旋翻轉費米氣體的基態和淬火動力學性質*

尹相國 于海如 郝亞江 張云波

1)(山西大學理論物理研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,極端光學協同創新中心,太原 030006)

2)(北京科技大學物理系,理論物理研究所,北京 100083)

3)(浙江理工大學物理系,浙江省光場調控重點實驗室,杭州 310018)

1 引言

多體系統的非平衡動力學[1,2]是當今物理領域最重要的研究課題之一,其中淬火(quench)動力學[3]是一種受到廣泛關注的動力學形式.淬火動力學一般指處于平衡態或者基態的系統突然改變某一個系統參數或哈密頓量中的一個參數,例如外勢[4,5]、粒子間的相互作用強度[6,7]、溫度[8]、雜質[9,10]、布拉格脈沖[11]等,從而引起系統動力學演化.涉及的系統包括孤立冷原子氣體[12]、自旋系統[13]、拓撲系統等.研究的方法包括矩陣精確對角化[14]、變分法[15]、密度矩陣重整化群(DMRG)、含時變分蒙特卡羅方法(time-dependent variational Monte Carlo method)[16]、多層多組態含時Hartree 方法(MLMCTDH)[17]等.在多體系統中,量子可積系統的淬火動力學也得到了人們的關注,例如接觸相互作用的一維原子氣體[18,19]、XXZ 自旋鏈[20]、哈伯德模型[21]等.

作為一維量子可積系統的典型代表,接觸相互作用的一維玻色氣體(Lieb-Liniger 模型[22])得到了人們的持續關注.2009 年,實驗上將強排斥相互作用突然變為強吸引相互作用,從而實現高激發態的制備,即超Tonks-Girardeau 態[6,23].隨后,調節Lieb-Liniger 模型相互作用強度的淬火動力學得到持續的研究.2014 年Caux 等[16]不僅給出了該模型宇稱平衡態在無相互作用的玻色-愛因斯坦凝聚態下交疊積分(overlap)的解析表達式,而且利用淬火作用量方法(quench action approach)得到了熱力學極限下穩態的密度關聯等性質.接著淬火動力學中排斥相互作用的交疊積分[24]和關聯函數[19,25]、吸引相互作用情形[26,27]、任意子情形[28]、一維簡諧勢情形[29]、糾纏熵[30]等都得到了大量的研究.因為動力學演化涉及非常多的激發態,2021 年Robinson 等[31]提出了快速尋找大權重激發態的方法,并用擴展的數值重整化群方法計算更多粒子數系統的動力學.

作為冷原子氣體的另外一個可積模型,一維接觸相互作用費米氣體的本征態和平衡態的性質研究得比較多[32],而其淬火動力學得到的關注很少.本文關注單個自旋向下而其他自旋全部向上的特例.該模型可理解為自旋極化費米氣體中的雜質問題.早在1965 年McGuire[33,34]用Bethe ansatz 方法給出了該系統嚴格的波函數和能量本征值,并得到了不同自旋間的兩體關聯函數的解析表達式和物理性質.吸引相互作用下的極化子到分子態的轉變得到大量研究[35–41].2017 年崔曉玲研究組[42]發現吸引情況下的散射態具有負有效質量.2020 年Gamayun 等[43,44]推導出動量依賴的雜質單體關聯函數的弗雷德霍姆(Fredholm)行列式表示,并得到了雜質的奇異動量分布.2021 年Dolgirev 等[15]發現,當系統總動量等于費米動量時,集體激發模式的態密度在頻率空間存在明顯的尖峰,該峰對應的能量為自旋向上粒子激發態與自旋向下粒子(雜質)激發態的能量差,也對應著相互作用淬火后雜質附近費米氣體的振蕩頻率.

雖然單自旋翻轉一維費米氣體的基態動量分布和其他物理量性質已經用數值方法研究過[33–44],但是本文的嚴格解方法可以給出基態關聯函數和動量分布的簡潔表達式.盡管淬火動力學方法得到廣泛的應用,但是一維費米氣體的淬火動力學性質卻研究得很少.本文主要研究單自旋翻轉的費米氣體的基態和相互作用淬火動力學性質.系統的初態是相互作用強度為零時系統的基態,隨后將相互作用強度突然調到正值,研究自旋向上費米氣體的動量分布、單體關聯函數、兩體關聯函數隨時間的變化,觀察相互作用強度對這些物理量演化行為的影響,因而判斷系統是否一直處于振蕩狀態,還是發生熱化或者預熱化? 本文的內容安排如下: 第2 節介紹單自旋翻轉的一維費米氣體模型,并回顧嚴格解方法得到的本征態和能量本征值表達式; 第3 節給出基態的單體關聯函數和兩體關聯函數以及動量分布用簡單函數求和的表達式,并分析其性質;第4 節給出淬火動力學的計算方法,包括不同本征態間的關聯函數的簡潔表達式; 第5 節是淬火動力學的數值計算結果和討論; 最后一節是總結.

2 一維單自旋翻轉費米氣體模型及其嚴格解

考慮由N?1 個自旋向上和一個自旋向下的費米子組成的一維費米氣體系統.因為泡利不相容原理,這里不考慮自旋向上費米子之間的相互作用,而不同自旋費米子之間存在δ 函數形式的接觸相互作用.假設xi是第i個粒子的空間坐標,則該系統哈密頓量為

其中,第一項為所有粒子的動能和,第二項為不同自旋費米子的相互作用項,? 是約化普朗克常數,m是粒子的質量,g是自旋向上粒子和自旋向下粒子間的相互作用強度.g＞0 表示排斥相互作用,而g＜0 表示吸引相互作用.本文只研究排斥相互作用情況.為了書寫方便和遵循慣例,令?=2m=1,則系統的哈密頓量變為

其中c=g/2.該模型的本征方程可用坐標Bethe ansatz 方法嚴格可解.

在周期性邊界條件下,坐標為x1的粒子自旋向下而坐標為x2,x3,···,xN的粒子自旋向上對應的全空間波函數可以寫為

其中αj=1?exp(ikjL),βj(x)=exp[ikjLθ(x)],L是系統的長度.θ(x) 是階躍函數,定義為: 當x＜0時,θ(x)=0;當x＞0時,θ(x)=1.(?1)P表示排列的符號,當P=1,2,···,N時,(?1)P=1.每兩個位置交換一次,(?1)P就是原來排列的相反數.波矢kj和快度λ 需要滿足Bethe ansatz 方程組:

其中j=1,2,···,N和c′=c/2.同時,由本征方程可得系統的能量本征值為

3 本征態關聯函數和動量分布

自旋向上粒子的單體關聯函數和兩體關聯函數,以及不同自旋粒子間的兩體關聯函數定義如下:

其中,G是歸一化系數,表示坐標為xi的粒子自旋向下同時其他粒子自旋向上的量子態,ψ↓i(x1,x2,···,xN)是相應的一次量子化波函數,如ψ↓1(x1,x2,···,xN) 為(3)式表示的波函數.求和號是對所有自旋向下的粒子求和,其中每個粒子向下的波函數都占有相同的權重.一次量子化的波函數具有交換反對稱性,例如: 當自旋向上粒子和自旋向下粒子發生交換,以及自旋向上粒子之間發生交換時,波函數分別滿足下面的關系式:

利用表達式(10),粒子波函數的交換反對稱性(11)式和(12)式以及算符的反對易性(13)式和(14)式,可得用一次量子化波函數表示的關聯函數:

其中G0=G/[N!N(N?1)].由歸一化條件〈ψ|ψ〉=1,可得歸一化系數

文獻[33]將波函數(3)代入表達式(17),經過計算可消除積分,得到不同自旋粒子間兩體關聯函數的求和形式:

其中

遵循同樣的方法,可以得到自旋向上粒子的單體關聯函數和兩體關聯函數由簡單函數有限項求和的簡潔表達式:

其中P1P2P3的求和是 {1,2,···,N} 取三個數的所有組合并且全排列的求和,Q1Q2Q3的求和是對 {P1P2P3}全排列的求和,總求和的數目為6N(N?1)(N?2).是排列順序的符號.當0≤x≤x′≤L時,

其中z=x′?x＞0.當0≤x′≤x≤L(z＜0) 時,F1(ki,kj,z)=F1(ki,kj,z+L).(20)式的詳細推導過程見附錄A.

由于系統具有平移不變性,所以自旋向上粒子的動量分布可以定義為

其中動量p是2π/L的整數倍.將單體關聯函數(20)式代入(22)式,可得動量分布的求和形式:

其中

對于具體的數值計算,首先需要計算出波矢 {k}.當c＞0 時,由方程(4)和方程(5)可知,波矢 {k} 的解是實數,對該方程組取對數后可以得到實數空間的超越方程:

式中,對于N為偶數的情況,量子數nj的取值是互不相等的奇數的一半,量子數nλ的取值是整數.系統基態的量子數取值為nj={?(N?1)/2,?(N?1)/2+1,···,(N?1)/2} 和nλ=0.將 基態量子數、相互作用強度c和系統長度L代入超越方程(25)和(26),可得波矢 {k} 的數值解,進一步可計算關聯函數和動量分布.在數值計算中,系統長度取值為L=1,粒子數除了特別說明外一般取N=6.圖1(a)給出了基態的自旋向上粒子的單體關聯函數.單體關聯函數的絕對值可以理解為在兩個位置發現同一個粒子的概率.先把一個自旋向上粒子坐標固定在x=0 處,單體關聯函數在整個坐標空間出現振蕩行為,存在N?2 個零點,源自其他N?2 個自旋向上粒子的泡利不相容作用.粒子間的相互作用不改變振蕩行為和零點個數.隨著相互作用強度變大,遠離x=0 區域的振蕩幅度變小,但不會變為零,說明相互作用會在一定程度上抑制發現同一個粒子的概率.圖1(b)給出了基態的自旋向上粒子的兩體關聯函數.兩體關聯函數可以理解為兩個粒子在兩個位置同時出現的概率.先把一個自旋向上粒子坐標固定在x=0 處,因為泡利不相容原理,兩體關聯函數在x=0 處為零,在其他區域出現了振蕩行為.關聯函數關于x=L/2 對稱,在整個坐標空間,無相互作用情況下的峰值個數為N?2,等于其余自旋向上粒子數.隨著相互作用強度變得非常大,峰值個數會增加一個,變為N?1個,說明自旋向下的粒子一定程度上相當于一個自旋向上的粒子.圖1(c)給出了基態的動量分布.因為系統滿足平移不變性,動量只能取離散值2π/L的整數倍.當相互作用強度為零時,動量分布為費米海分布,即粒子僅占滿絕對值小于等于費米動量 (pF=2π(N/2?1)/L)的動量軌道;當相互作用強度變大時,動量絕對值小于等于費米動量的軌道占據概率變低,而高于費米動量的軌道占據概率變大,即粒子以一定的概率從費米海內被激發到費米海外,但總體上還是保持動量絕對值越大,占據概率越小的性質,這和文獻[41]采用變分方法得到的結果一致.

圖1 系統基態的自旋向上粒子的(a)單體關聯函數、(b)兩體關聯函數和(c)動量分布.粒子數和相互作用強度分別取值為N=6,c=0,10,100,1000.圖(c)動量取離散的值,短虛線只是為了視覺效果Fig.1.(a) Single-body correlation function,(b) two-body correlation function,and (c) momentum distribution of spin-up particle for the ground state with interaction strength c=0,10,100,1000 and particle number N=6.The momenta in panel (c) are discrete and the dashed-line is for visual effect.

4 淬火動力學的計算方法

系統的初態設為無相互作用情況下的基態,其波函數為

其中每個粒子自旋向下的權重相同.本文僅討論粒子數為偶數的情況.無相互作用系統的一次量子化波函數由N?1 個極化費米子系統的斯萊特行列式和單個自旋向下粒子的平面波函數相乘得到.當系統處于基態時,自旋向下粒子的波矢為零,因此其波函數為1,同時自旋向上粒子的波矢為qj=(j?N/2)2π/L,其中j=1,2,···,N?1.例如,第1 個粒子自旋向下的一次量子化波函數是

其中求和號是對N?1個波矢qj全排列的求和.其他粒子自旋向下的系統波函數可通過粒子交換反對稱性得到.

當系統的初態設為無相互作用情況下的基態后,在t=0 時刻將相互作用強度瞬間調到正值c,然后研究動量分布和關聯函數的含時演化.根據含時薛定諤方程,含時波函數可以用含時演化算符作用在初態上得到:

其中本征態 |ψv〉滿足本征方程,Ev是能量本征值,v是本征態指標,代表量子數n1,n2,···,nN和nλ.交疊積分Cv=〈ψv|ψtot(0)〉的模方表示波函數在該本征態上的占據概率,滿足條件=1.本征態可以寫為

同時

將一次量子化波函數(3)式和(28)式代入到上式中,并利用動量守恒,積分并化簡可得連乘形式的交疊積分:

其中,{kj} 是波函數ψ↓1(x1,x2,···,xN;v) 中的波矢,det() 表示矩陣的行列式.MC是一個N×N的矩 陣,當i=1,2,···,N,j=1,···,N?1 時,矩陣元為,剩余的第N列矩陣元全是1.

在長時間演化后的期望值平均值與振蕩交叉項無關,可表示為本征態期望值乘以對應的概率然后求和的形式:

具體地,自旋向上粒子的單體關聯函數和兩體關聯函數,以及不同自旋粒子間的兩體關聯函數可表示為

利用場算符的反對易關系式和波函數的粒子交換反對稱性,可得不同本征態之間關聯函數的積分形式:

將一次量子化波函數(3)式代入上面的積分中,進行積分計算并化簡可得不同本征態之間關聯函數的求和形式:

其中km和分別是態 |ψv〉和的波矢,F2(k,k′,z)=F1(k,k′,z)exp[i(k?k′)L/2],

θ(x)是階躍函數.這里定義 (N+1)×N的M矩陣,其前N行矩陣元為,最后一行的矩陣元為MN+1,j=是一個(N?1)×(N?1) 的方矩陣,是M矩陣去掉第m和l行以及第s列后剩余的矩陣元按照原來的位置組成的矩陣.是一個(N?2)×(N?2) 的方矩陣,是M矩陣去掉第m1,m2和m3行以及第s1和s2列后剩余的矩陣元按照原來的位置組成的矩陣.

接下來討論數值計算.系統的激發態取值范圍遵循以下兩個原則: 第一,因為動量守恒,這里只選取動量為零的本征態,即,進而量子數滿足; 第二,取 |Cv|2比較大的本征值,忽略 |Cv|2比較小的本征態,一般情況下,選取的激發態量子數與基態的量子數重復的比較多,且能量本征值比較小.在本文的數值計算中,粒子數取N=6,忽略 |Cv|2＜10?5的占據態,相互作用強度c=10,100,1000 對應的占據概率和分別取到99.9%,99.87%和98.69%.

5 淬火動力學結果和討論

首先討論初態在本征態上的占據概率 |Cv|2.對于任何相互作用強度,基態(GS)的占據概率都是最大的,在激發態中占據概率最大的態是雙重簡并態(DDS),對應的量子數分別為nj={?(N+1)/2,?(N?3)/2,?(N?5)/2,···,(N?1)/2},nλ=1和nj={?(N?1)/2,?(N?3)/2,···,(N?3)/2,(N+1)/2},nλ=?1,即nj最大的基態量子數加1,同時nλ減1,或者nj最小的基態量子數減1,同時nλ加1.由圖2(a)可知,隨著相互作用強度從零變到非常大,基態的占據概率從1 下降到一個固定的值,雙重簡并態的占據概率從零上升到一個固定的值,基態和雙重簡并態的占據概率和從1 下降到一個固定的值,說明相互作用導致粒子從基態以一定的概率轉移到激發態.在相互作用非常大的情況下,以粒子數N=6 為例,基態的占據概率超過50%,基態和雙重簡并態的占據概率和超過60%,其余激發態的占據概率不會超過40%,說明系統主要由這兩種態主導,其余激發態只是起次要作用,因此系統振蕩的主周期由基態和雙重簡并態的能級差決定.另外,在相同的無量綱化相互作用強度下,粒子數越多,基態的占據概率越小,雙重簡并態的占據概率越大,它們的和越小.

圖2 (a)系統基態和最主要的兩重簡并激發態在初態上的各自占據概率和它們的和.GS (實線)代表基態,ES (點虛線)代表激發態中占據概率最大的兩重簡并態,GS+ES (短虛線)代表基態和上述兩重簡并態的占據概率之和.(b)物理量振蕩的主周期隨無量綱相互作用強度的變化.T0 是無相互作用時的主周期.(c)不同相互作用強度下隨時間演化的保真度.粒子數為N=6Fig.2.(a) The respective occupation probabilities of the ground state and the most dominant degenerate excited state of the sys tem on the initial state and their sum.GS (solid lines) represents the ground state,ES (dotted lines) represents the double degenerate state that occupies the highest probability of the excited state,GS+ES (short dashed lines) represents the sum of the occupation probabilities of the ground state and the above double degenerate states.(b) The primary period of the oscillation of the physical quantity v.s.the strength of the dimensionless interaction.T0 is the primary period in the absence of interaction.(c) Fidelity v.s.time for different interaction strength.The particle number is taken as N=6.

系統振蕩的主周期T定義為T=2π/(EDDS?EGS),其中EGS和EDDS分別是基態和兩重簡并態的能量本征值.由圖2(b)可知,隨著相互作用強度從零變到非常大,當粒子數N≤6 時,主周期單調變大,最后達到穩定值,當粒子數N≥8 時,主周期先變大到達一個峰值,然后變小趨向于穩定值.主周期的變化范圍隨著粒子數變大而變小,例如:粒子數N=4,6,8,10 的相對變化范圍分別不超過7%,3%,2%,1.5%,因此,當粒子數比較大時,主周期的變化范圍非常小.

系統的保真度定義為

它表示含時波函數在初態的投影概率.如圖2(c)所示,在t=0 時,保真度為1; 在t＞0 時,保真度偏離1,呈現了一定的振蕩行為.具體地說,當相互作用強度比較小時,例如c=1,保真度接近于1;隨著相互作用強度變大,例如c=10,保真度明顯小于1,顯現了明顯的周期性振蕩,且振蕩幅度比較小; 當相互作用強度變為100 時,保真度更加遠離1,周期性變差,且振蕩幅度明顯變大; 當相互作用強度為1000 時,保真度更加遠離1,平均值只有0.3 左右,但是在某些時刻還能達到比較高的值,例如在主周期的三倍時,保真度達到了0.8,超過了c=100 對應的值.另外,保真度的平均值隨著相互作用強度的變大而變小.

圖3 給出了相互作用強度c=100 時含時演化的動量分布.在開始階段(0＜t＜0.03T),對于小動量情形,即動量絕對值小于或等于費米動量(2π(N/2?1)/L),動量分布值從L/(2π) 開始下降,而對于大動量情形,即動量絕對值大于費米動量,動量分布值從零以相同的速率開始上升.在接下來的階段,對于小動量情形,動量越大,動量分布值下降的速率越快,但是越慢達到局域最小值,例如:動量為4π/L的動量分布值(圖3(a)藍色線條)最慢到達局域最小值; 對于大動量情形,動量越小,動量分布值上升的速率越快,但是越慢達到局域最大值,例如:動量為6π/L的動量分布值(圖3(a)黑色線條)最慢到達局域最大值.在最后階段,動量分布開始了多頻率調制的振蕩過程.越靠近費米動量,動量分布振蕩范圍越大,動量分布的平均值越靠近中間值L/(4π).對于小動量部分,動量分布平均值小于基態相應的值(圖3(b)縱軸上的圓圈);對于大動量部分,動量分布平均值大于基態相應的值.零時刻的波函數由本征態疊加組成,其中基態占據的概率(|Cv|2≈0.68)最大,其余的概率由眾多激發態貢獻.因為眾多激發態的占據,導致動量分布平均值與基態值的差別.

相互作用強度比較小和非常大的情況下動量分布含時演化有所不同,如圖4(a)和圖4(b)所示.當相互作用強度比較小的時候,動量分布振蕩范圍小,且顯現了非常好的周期性,可用二能級模型近似處理.例如,圖4(a)中代表p=6π/L的黑線和對應的虛線符合得比較好,代表p=4π/L的藍線和對應的虛線除了差一個固定的常數外,振蕩的周期和幅度也非常接近.二能級模型的兩個能級分別為系統的基態和雙重簡并態.對于粒子數N=6 和相互作用強度c=10 的情況,基態和雙重簡并態的占據概率分別為97.8%和1.2%,兩個能級的總概率為99%,其余的態僅占1%的概率,所以二能級模型在該情況下是比較好的近似模型.動量分布的振蕩周期為T=2π/(EDDS?EGS).當相互作用強度非常大的時候,如圖4(b)所示,動量分布的振蕩幅度很大,振蕩的周期性變差,但是還能明顯看到以周期T為主.這是因為基態和雙重簡并態還是占據主要的概率,分別為53.1%和12.7%.值得一提的是,在第三個周期的末端,動量分布非?？拷鯌B的情況,這與c=100 的情形(圖3(b))有所不同.

圖 3 相互作用強度 c=100 的動量分布含時演化 (a)橫軸和縱軸取對數坐標;(b)取正常坐標.虛線是動量分布對時間的平均值.圖(b)縱軸上的圓圈是 c=100 時基態的動量分布值Fig.3.The evolution of momentum distribution with interaction strength c=100.Both axis of (a) is taken logarithm.The axis of(b) is normal.The dotted lines is the average of momentum distribution with respective to time.The circles on Y-axis of panel (b)is momentum distribution of the ground state with c=100.

圖4 (a)c=10 和(b)c=1000 動量分布的含時演化.圖(a)中的虛線是二能級模型近似的結果Fig.4.Evolution of momentum distribution with (a) c=10 and (b)c=1000 .The dotted lines in panel (a) is the result from two-level model.

接下來討論強相互作用下的關聯函數.由圖5可知,自旋向上粒子的單體和多體關聯函數與初態對應關聯函數的差都隨著時間周期變化.主周期還是由基態和雙重簡并態的能級差引起.它們在坐標空間上也表現出一定的規律性.單體關聯函數的差在坐標空間上出現了正負交替的規律,而兩體關聯函數的差在坐標空間上表現出在接近兩端區域以正值為主,在中間區域以負值為主.另外,單體關聯函數表現出一個比較明顯的固定傳播速度,如圖5(a)中黑色點線所示,其大小等于一個動量單位所對應的速度,即2π/(mL)=4π/L.在粒子數為6 的情況下,費米速度是該速度的2.5 倍.在該速度下,粒子從最左邊x=0運動到最右邊x=L所用的時間正好是時間主周期的3 倍,是關聯函數除了t=0 附近外最接近初態的時間(如圖5(a)紅色虛線位置),也是保真度除了t=0 附近外取最大值的時間.

圖5 自旋向上粒子的(a)單體關聯函數和(b)兩體關聯函數分別與初態對應關聯函數的差隨時空的變化.(a)中黑色點線表示粒子以一個比較明顯的固定速度的運動軌跡,紅色虛線表示時間主周期3 倍的位置.相互作用強度為c=1000Fig.5.Temporal and spatial evolution of (a) single-body correlation function and (b) two-body correlation function minus the corresponding function of initial state between spin-up particles.The black dotted-line in panel (a) is trajectory of the particle moving at relative obvious velocity and red dashed-line is triple position of primary temporal period.The interaction strength is taken as c=1000.

關聯函數和動量分布到達最大恢復值所用的時間 3T可用本征值能級差解釋.當相互作用強度取向正無窮且總動量為零時,大部分能量本征值之間的差是 2×(2π/L)2的整數倍,例如占據概率最大的7 個激發態與基態的能量差分別是 2×(2π/L)2的3,3,6,14,10,10,24 倍,因此能量單位 2×(2π/L)2對應的周期 3T是大部分能級差對應周期的整數倍,(34)式中的e 指數項在該時間變為1,和零時刻相同,所以關聯函數和動量分布等在 3T時最接近初態.在非強相互作用情況下,不存在該性質.無論粒子數多少,能量單位 2×(2π/L)2對應的周期為L2/(4π),補齊約化普朗克常數和粒子質量后,周期為mL2/(2π?).當粒子數為N=4時,最接近初態的時間為主周期的4 倍; 當偶數粒子數N≥6 時,最接近初態的時間為主周期的N/2倍.

圖6 給出了c=1000 時不同自旋粒子間的兩體關聯函數.在t=0時刻,相互作用強度c=0 對應的任意位置兩體關聯函數為常數N?1.當時間變為大于零時,不同自旋粒子的強排斥作用導致x=0的關聯函數快速接近于零,同時離x=0 不遠處形成一個峰,隨著時間變大,峰向遠離x=0方向傳播,并產生一系列小峰,例如t=0.0064T.當時間t=0.2T時,兩體關聯函數不存在明顯的大峰,而是由一系列小峰組成,整體分布比較靠近基態,但是峰的數量明顯比基態多.當時間t=0.5T時,兩體關聯函數在x=0.5L附近的值最大,這是由于波的傳播累積以及與對向的波疊加的結果.在時間t=T時,兩體關聯函數圍繞常數N?1 上下波動,與初態存在很大的不同,而在時間3T附近,兩體關聯函數在中間區域非常接近N?1,最接近初態.

圖6 三個主周期內不同自旋粒子間的兩體關聯函數.相互作用強度為c=1000Fig.6.Two-body correlation function between spin-up and spin-down particles in three times primary periods.The interaction strength is taken as c=1000.

6 結論

采用Bethe ansatz 方法研究了排斥相互作用下單自旋翻轉費米氣體的基態性質和相互作用淬火動力學.對于任意排斥相互作用下基態,自旋向上粒子的單體關聯函數、兩體關聯函數和動量分布可以寫成由簡單函數有限項求和的簡潔表達式,可用數值計算快速準確求出.在淬火動力學的計算方法中,不同本征態之間關聯函數的積分形式被化簡成求和形式,便于數值計算.費米氣體的淬火動力學性質總體上和玻色子的淬火動力學類似.當相互作用強度從零迅速調到正值后,保真度、動量分布、關聯函數表現出了周期振蕩.由于基態和雙重簡并態占據概率最大,因此振蕩主周期由基態和雙重簡并態的能級差決定,在粒子數較大的情況下隨相互作用的變化而變化的范圍很小.在相互作用強度比較小的淬火動力學中,系統可以用二能級模型近似,各物理量的振蕩周期性好,振幅小; 在相互作用強度非常大的情況下,振蕩幅度大,雖然周期性變差,但是還是存在主周期,總體偏離初態較大,但是在時間為mL2/(2π?) 時非常接近初態,這是因為大部分能量本征值之間的差值幾乎是單位能量2×(2π/L)2的整數倍.

感謝中國科學院精密測量科學與技術創新研究院管習文研究員的討論.

附錄A 自旋向上粒子單體關聯函數的簡潔表示式推導

自旋向上粒子的單體關聯函數的積分形式為

將波函數的表達式

代入單體關聯函數(A1)可得

上式連乘中對xj的積分項可以積分得到

將(A4)式代入關聯函數(A3),可得

其中函數F1和矩陣M分別定義為

行列式 det(M) 按照第二行展開得

根據存在兩行完全相同的矩陣對應的行列式為零,可得上式中第一項為零,所以

其中