巧用數學思想解決初中數學函數問題

徐建明

(漳州市長泰區枋洋中學,福建 漳州 363903)

函數與幾何的綜合性問題是近幾年中考數學的重點、熱點問題,通常以壓軸題的形式出現,這類問題主要以函數的性質為基礎,注重考查運動過程中幾何圖形的變化情況.解決這類問題,不僅可以使學生準確把握函數的相關知識,而且還能通過多種數學思想巧妙應用,幫助學生充分掌握相關解題思路與技巧,從而更加有效地解決函數與幾何的綜合性問題,提升學生分析問題和解決問題的能力,進而提升學生的數學核心素養.

1 巧用數形結合法解決函數問題

例1如圖1,已知拋物線C:y=ax2-2ax+c過C點(1,2),且與x軸相交點A(-1,0)與點B.

圖1 拋物線C:y=ax2-2ax+c圖象

(1)求取拋物線C的解析式;

(3)如圖2,將拋物線C的頂點平移至原點,得到拋物線C1,直線l:y=kx-2k-4與拋物線C1相交在P、Q兩點,且拋物線C1上存在定點D,使∠PDQ=90°,求D點的坐標.

圖2 直線l:y=kx-2k-4與拋物線C1相交的圖象

2 巧用換元法解決函數問題

3 巧用分類討論法解決函數問題

例3如圖3,已知拋物線y=ax2-5ax+4與坐標軸分別交于A,C兩點,過C點作BC∥x軸,與拋物線相交于C點,AC=BC.若點P是拋物線對稱軸上一動點,且處于x軸的下方.請問,是否存有P點,使△PAB是等腰三角形?如果存在,請求出P點的坐標,如果不存在,請說明理由[3].

圖3 拋物線y=ax2-5ax+4的坐標圖

分析本題可通過分類討論的思想加以解題,可將其分成兩種情況,也就是AB為底或腰.當AB為腰時,則需注意頂角的位置,也就是∠A或∠B是頂角屬于兩種情況,此時可找出兩個△PAB.當AB是底邊時,△PAB的頂角必然是∠P,此時,也能找出對應的△PAB.

解如圖4所示,依據P點的不同位置,將其分為三種情況進行探討.

圖4 點P不同位置圖

4 巧用待定系數法解決函數問題

圖5 例4題圖

(1)試著判斷哪條拋物線過A,B兩點,并說出理由;

5 結束語

綜上所述,數形結合法、換元法、分類討論法、待定系數法是解決初中數學函數問題常用的數學思想.因此,在函數問題的解題教學過程中,教師需選擇典型的例題,幫助學生理解與掌握數學思想在函數問題解決中的運用方法,以提高學生分析問題和解決問題的能力,使學生能夠從容應對函數問題,切實提升學生的數學核心素養.