三角形的解析性質與運用

傅建民

(陜西咸陽渭城中學,陜西 咸陽 712000)

解三角形是大家非常熟悉的問題,常用正弦定理與余弦定理.本文試圖從代數的角度來理解三角形,得到了三角形的解析性質,從而為解三角形開辟了新的途徑.

1 點的向量坐標

同理x′,y′,z′中至多一個為0,因此三對數x與x′,y與y′,z與z′當中至少有一對均非零,不妨設z與z′均非零,則存在一個非零常數k0∈R,使得k0z=z′.

我們知道點P不可能同時在三角形的三條邊所在的直線上,所以我們不妨假設點P不在邊AB所在的直線上.

兩式相減,得

所以k0x-x′=0,k0y-y′=0.

即k0x=x′,k0y=y′.

又k0z=z′,故(x,y,z)與(x′,y′,z′)為同類解.這與假設(x,y,z)與(x′,y′,z′)是不同類解矛盾.

首先我們證明其中的x+y+z≠0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),O為原點,則

故點P坐標是(xx1+yx2+zx3,xy1+yy2+zy3).

若點P在直線l:Ax+By+C=0上,

則A(xx1+yx2+zx3)+B(xy1+yy2+zy3)+C=0.

又x+y+z=1,

所以x(Ax1+By1+C)+y(Ax2+By2+C)+z(Ax3+By3+C)=0.

則xd1+yd2+zd3=0

即xd1+yd2+zd3=0.

由此我們得到下面結論:

注d1,d2,d3可正、可負、可零,在l同側取同號,異側取異號.

注當x=0時,點O在直線BC上;當y=0時,點O在直線CA上;當z=0時,點O在直線AB上.因為點O不可能同時在直線BC,CA,AB上,所以x,y,z不全為0.

現在的問題是:其中的x,y,z是否具有幾何意義呢?

我們知道直線BC的方程是:(x2-x3)y-(y2-y3)x=(x2-x3)y2-(y2-y3)x2.

點O到直線BC的距離

當點O不在直線BC上時,△BOC的面積

下面我們換一個思路,化簡x,y,z,有

當O→B→C→O為逆時針時,x為正;

當O→C→A→O為逆時針時,y為正;

當O→A→B→O為逆時針時,z為正.

所以當x,y,z同號時,點O位于△ABC的內部,反之亦然.

此時當A→B→C→A為逆時針時,x,y,z同正;當A→B→C→A為順時針時,x,y,z同負.

當x,y,z不同號時,點O位于△ABC的外部,反之亦然.

同時有:|x|∶|y|∶|z|=S1∶S2∶S3.

其中S1,S2,S3分別是△BOC,△AOC,△AOB的面積.

于是我們有結論:

有了前面的預備知識,我們容易得到下面結論:

定理2 設點I,O,O*,H,G分別為△ABC的內心、外心、與邊BC相切的旁心、垂心(不與點A,B,C重合)、重心,則

2 重要結論

結合定理1的推論1與定理2,我們得到結論:

設點I,O,O*,H,G分別為△ABC的內心、外心、與邊BC相切的旁心、垂心(不與點A,B,C重合)、重心,頂點A,B,C到直線l的距離分別為|d1|,|d2|,|d3|.

(1)若內心I在直線l上,則d1sinA+d2sinB+d3sinC=0,反之亦然;

(2)若外心O在直線l上,則d1sin2A+d2sin2B+d3sin2C=0,反之亦然;

(3)若旁心O*在直線l上,則-d1sinA+d2sinB+d3sinC=0,反之亦然;

(4)若垂心H在直線l上,則d1tanA+d2tanB+d3tanC=0,反之亦然,此時△ABC是非直角三角形;

(5)若重心G在直線l上,則d1+d2+d3=0,反之亦然.

注d1,d2,d3可正、可負、可零,在l同側取同號,異側取異號.

3 應用

例1(2020屆河北省石家莊市第二中學高三下學期教學質量檢測數學試題第16題)在平面直角坐標系下,三角形的三個頂點分別為A(1,0),B(0,2),C(m,n),位于動直線l:y=k(x-1)的兩側,其中一側有一個點,點到直線l的距離記為d1,另一側有兩個點,兩個點到直線l的距離之和記為d2.若無論直線怎么變化,總有d1=d2,則m+n=____.

解析因為無論直線l怎么變化,總有d1=d2,根據上述結論(5),我們知道直線l恒過△ABC的重心,又動直線l:y=k(x-1)恒過定點(1, 0),故△ABC的重心為定點(1, 0).

解得m=4,n=-2.

所以m+n=2.

解析根據三角形的頂點坐標,我們知道△ABC是等腰直角三角形.

所以-d1sinA+d2sinB+d3sinC=0.

因為點H是△ABC的垂心,所以

由tan(B+C)=-tanA,得

解析假設∠ABC是直角,則外心O是AC的中點.

所以三點A,B,C共線,這與題設矛盾.

所以∠ABC非直角,故sin2B≠0.

因為點O為△ABC的外心,

從而有sin2A=-sin2C.

解得2A-2C=π或2C-2A=π.

當2A-2C=π時,2B=2π-(2A+2C)=2π-[(π+2C)+2C]=π-4C,

因為sin2C=2sin2B=2sin(π-4C)=2sin4C,

所以sin2C=4sin2Ccos2C.

當2C-2A=π時,2B=2π-(2A+2C)=2π-[(2C-π)+2C]=3π-4C,

因為sin2C=2sin2B=2sin(3π-4C)=2sin4C,

4 結束語

對于幾何問題,張景中先生基于點幾何提出兩種思路[1]:思路一就是將一個個點求出來,再考慮幾何關系,與解析法相比,無需將點轉化為坐標,只需求出點與點之間的關系,這樣一來,點幾何計算相對簡明,幾何意義也更明確;思路二就是表示出已知與結論,并建立恒等式以揭示已知和結論之間的關系.