精析高考試題 優化備考策略

［摘 要］教育部教育考試院對2024年高考數學試題進行全面分析，回應全國甲卷文科立體幾何試題對空間向量的考查，試圖深化教育教學改革。文章通過對2024年高考數學全國甲卷中兩道立體幾何試題的解題思路、方法技巧等方面進行對比，進一步明確高考數學試題的命制方向，并在此基礎上提出具有針對性的立體幾何備考策略。

［關鍵詞］高考試題；備考策略；立體幾何

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）35-0001-04

《教育部教育考試院：2024年高考數學全國卷試題評析》（以下簡稱《考試院評析》）明確指出，全國甲卷的文科試卷回避了排列組合、空間向量等課程標準要求范圍外的內容[1]。這體現了高考試題命制嚴格遵循教材和課程標準，旨在引導教師依據課程標準進行教學。同時，它也進一步明確了高考的考查內容，為課程與教學改革指引方向。

2024年高考數學全國甲卷包括文科題和理科題，供陜西、寧夏、青海、內蒙古和四川（簡稱“五省區”）使用。該卷沿用新高考改革前的考查模式，包含21道必考題和1道選考題。

立體幾何是新人教A版高中數學教材的重要內容，它分布于必修教材和選擇性必修教材中。必修教材側重于介紹幾何公理、定理和原理，而選擇性必修教材則側重空間向量概念及其在立體幾何中的應用。實際教學中，部分文科數學教師為追求高分，違背了教材的編寫意圖，擅自增加了空間向量的內容，卻未對其進行系統講解，導致學生對這部分內容一知半解，反而加重了學習負擔。這不利于教師引導學生借助幾何直觀和空間想象來感知事物的形態與變化，也阻礙了學生數學學科核心素養的發展。因此，從高考試題入手，為“五省區”一線教師提供更具針對性和系統性的立體幾何備考策略至關重要。

本文以2024年高考數學全國甲卷文理科第19題為例，首先分析了試題的命制情境、特點、考查的必備知識和核心素養要求。接著，與《考試院評析》的指導思想相對照，明確試題的考查意圖，進一步提出立體幾何備考策略。

一、精析高考試題

（一）試題分析

2024年高考數學全國甲卷文理科第19題的詳細對比情況如表1所示。

由表1可知，兩道試題的數學情境相同，均以由柱體和錐體拼接而成的組合體為基本圖形，旨在考查學生的整體把握能力和局部分析能力。兩道試題的已知條件相似，均給出了空間中的一組平行線、線段的長度和[M]點的位置。要求學生利用這些條件，探究立體圖形中點、線、面的位置關系，結合平面幾何知識判斷平面圖形的形狀，并運用平面幾何的性質與空間線面平行的判定定理解決問題。

設問（1）考查學生整合平面幾何知識和立體幾何知識的能力以及直觀想象素養。在文理分科的前提下，設問（2）成為兩道試題的主要差異點：理科題側重求二面角的正弦值，而文科題則側重求空間中的點面距離。從表面來看，它們的考查重點不同，但實質上它們的設問（2）所考查的必備知識和關鍵能力相似，無論是采用綜合幾何法還是空間向量坐標法，線面垂直的判定定理均為解答設問（2）的必備知識。巧妙利用已知線段長度判斷線線位置關系，是解題的核心。這一過程也間接考查了數學運算、邏輯推理等核心素養。

（二）解答思路呈現

《普通高中數學課程標準（實驗）》（簡稱《課標（實驗）》）要求學生掌握選修2-1的空間向量在立體幾何中的應用［2］。據此推斷，理科題的設問（2）重點考查空間向量坐標法在求解二面角大小中的應用。值得注意的是，《課標（實驗）》選修系列1并未要求學生掌握利用空間向量解決立體幾何問題的方法。

基于《課標（實驗）》與教材內容，本文針對上述兩道試題的設問（2），深入剖析了空間向量坐標法和綜合幾何法的應用，并對比了兩者的優勢。鑒于兩道試題的已知條件本質相同，僅表述略有差異，故選用文科卷試題的已知條件作為范例，來闡述兩道試題的設問（2）的解答思路，具體見圖3。

［理科題解答思路］

思路1：運用公式[coslt;m，ngt;=m?nmn]求二面角[F-BM-E]的正弦值。難點在于如何科學建立空間直角坐標系。這就要求學生精確讀題和讀圖，并運用勾股定理的逆定理挖掘出[OB⊥OF]（點[O]是[AM]的中點），從而將幾何問題轉化為代數問題求解。此解題思路體現學生的數學運算素養。

思路2：通過深入分析題目和圖形，探究圖形的空間位置和數量關系。利用幾何公理與定理進行邏輯推理，論證[OF⊥]平面[ABCD]，再利用[VB-MEF=VE-BFM]求得點[E]到平面[BFM]的距離[d]和[△BEM]底邊[BM]上的高[h]，從而轉化為求[sinθ=dh]。此解題思路不僅體現學生的數學運算素養，還體現學生的直觀想象素養和邏輯推理素養。

［文科題解答思路］

思路1：與理科題的思路1相似，均需建立空間直角坐標系，但將點[M]到平面[ADE]的距離轉化為求[EM]在平面[ADE]的法向量[p]方向的射影長，這對文科生而言存在一定的困難。原因在于，《課標（實驗）》及教材對此未作明確要求，僅僅提供零散的空間向量知識，缺乏系統、全面的知識體系，使得文科生難以準確解答。思路1巧妙規避了《課標（實驗）》外的內容，與《考試院評析》的指導思路相吻合。

思路2：運用余弦定理求得[cos∠ADE]，進而應用三棱錐的體積公式求得點到平面的距離。這一方法要求學生具備較強的空間想象能力與運算求解能力。

二、優化備考策略

在分析文理科題的圖形、已知條件、設問和解答思路后，發現無論是求二面角的大小還是計算點到平面的距離，均涉及線面垂直的判定定理，同時，還融合了立體幾何中的等體積法及平面幾何中的解三角形知識，實現了平面幾何與立體幾何的綜合應用。這不僅體現了試題的基礎性，還彰顯了《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中“突出數學主線，凸顯數學的內在邏輯和思想方法”的教學理念［3］。在解答這類試題的過程中，學生需具備直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養，才能有效應對試題的多樣性變化。因此，在“三新”背景下，為了提升備考效率與質量，教師應做到以下幾點：首先，回歸教材，夯實基礎，構建知識體系；其次，深研典型試題，提升解題能力；最后，多角度分析思考，強化邏輯推理能力。

（一）回歸教材，夯實基礎，構建知識體系

在人教版高中數學教材必修第二冊第八章“立體幾何初步”中，采用了綜合幾何法來探討空間幾何體的結構特征，以及空間中點、線、面之間的位置關系。其中，平行與垂直作為核心內容，其相關定義、公理和定理既豐富又錯綜復雜。為了幫助學生更好地掌握這部分知識，教師應系統梳理相關定理的條件、作用及內在聯系，確保學生能理解。同時，教師還需明確闡述空間向量在研究立體幾何中的必要性，以及對比空間向量坐標法與綜合幾何法的聯系與區別。為了加深學生對立體幾何知識的理解，并幫助他們靈活選擇、轉化及有效應用各類定理，教師可構建從必修到選擇性必修的知識邏輯框架（如圖4）。

（二）深研典型試題，提升解題能力

高考試題往往源于教材，但又高于教材[4]。在學生成功構建立體幾何知識體系之后，教師須精選試題，以幫助學生鞏固知識，訓練學生的技能，提升學生的能力。教材中的例題和習題具有典型性、代表性、層次性，非常適合各層次的學生進行深入探究。因此，教師應提前深入研究這些例題和習題，充分理解其內涵和外延。結合學生的實際情況，教師可采用分層教學法和變式教學法，有針對性地培養學生的讀題能力、讀圖能力以及規范答題能力，進而提升解題能力。

（三）多角度分析思考，強化邏輯推理能力

波利亞曾說：“沒有一道題可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方。”[5]數學試題的解答往往具有多角度、多解法的特點。因此，教師應引導學生將從教材例題和習題中獲取的知識、技能及思想方法靈活地遷移到高考真題的研究中，避免機械地刷題和重復練習。在探究創新解法的過程中，教師應基于通性通法（如綜合幾何法和空間向量坐標法），引導學生多角度分析思考，不斷強化學生的邏輯推理能力，并努力拓展其思維的廣度，進而促進學生能游刃有余地應對各種題型。

總之，在“三新”背景下，高考數學復習備考應立足教材和課程標準，全面把握教材內容的編排順序，系統構建數學知識體系，以確保學生對數學概念、原理有深刻而準確的理解。在教授基礎知識的過程中，教師不僅要強化學生對基本解題方法的掌握，而且要引導他們深入理解這些方法背后的邏輯與原理，同時注重解題策略的通用性和靈活性。更為重要的是，教師要將傳統的解題技巧總結升華為理性思維的培養，并著力提升學生的探究能力，進而全面落實數學學科核心素養。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" "教育部教育考試院：2024年高考數學全國卷試題評析［EB/OL］.（2024-06-07）［2024-08-20］.https：//baijiahao.baidu.com/s？id=1801206434762224393amp;wfr=spideramp;for=pc.

[2]" 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：實驗［M］.北京：人民教育出版社，2003.

[3]" 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

[4]" 鄭燦基.2024年新高考Ⅰ卷立體幾何解答題的解法探究與備考對策[J].理科考試研究，2024，31（17）：28-31.

[5]" 房艷艷.2024年新高考Ⅰ卷立體幾何試題的解法探究及啟示[J].中學數學教學，2024（4）：64-67.

（責任編輯" " 黃春香）