以“說(shuō)題”活動(dòng)為載體，培養(yǎng)學(xué)生高階思維

［摘 要］文章針對(duì)高中數(shù)學(xué)課堂中存在的部分學(xué)生自主分析能力、解題能力不足的問(wèn)題，提出通過(guò)“說(shuō)題”的方式來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、培養(yǎng)學(xué)生高階思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的策略：首先，明確解題目標(biāo)；其次，了解已知條件以及相關(guān)知識(shí)；最后，給出具體的解題過(guò)程及反思。

［關(guān)鍵詞］說(shuō)題活動(dòng)；解決問(wèn)題；高階思維

［中圖分類(lèi)號(hào)］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2024）35-0019-03

數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，其中課堂習(xí)題的講解是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力和提高解題技巧的重要環(huán)節(jié)。在高中數(shù)學(xué)課堂中，部分學(xué)生存在“一聽(tīng)就懂，一做就錯(cuò)”的現(xiàn)象，這反映學(xué)生在自主分析和解題方面的能力還有待提高。為改善這一狀況，教師在教學(xué)過(guò)程中可以開(kāi)展“說(shuō)題”活動(dòng)，通過(guò)層層遞進(jìn)的方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。以下，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)例談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)“說(shuō)題”活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

一、“說(shuō)題”活動(dòng)的實(shí)施意義

“說(shuō)題”，即說(shuō)出數(shù)學(xué)題，它與單純的講題不同之處在于其不僅包括解題過(guò)程的講解，還包括分析題目，讓學(xué)生說(shuō)出題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、解題技巧以及解題思路。在進(jìn)行“說(shuō)題”時(shí)，首先要明確“求什么”，即明確解題目標(biāo)。其次，需要確定“有什么”，即了解已知條件以及相關(guān)的知識(shí)。最后，要清楚“怎么做”，即具體的解題過(guò)程。總的來(lái)說(shuō)，“說(shuō)題”包括說(shuō)題意、說(shuō)思維、說(shuō)解法、說(shuō)反思。“說(shuō)題”活動(dòng)可以鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)他們的高階思維。

二、“說(shuō)題”示范，展現(xiàn)活動(dòng)脈絡(luò)

在“說(shuō)題”活動(dòng)的初始階段，教師應(yīng)進(jìn)行“說(shuō)題”的示范，給學(xué)生說(shuō)明“說(shuō)題”流程以及注意事項(xiàng)，并在實(shí)踐中不斷優(yōu)化“說(shuō)題”的具體方法。

【教學(xué)片段一】

[題目]在[△ABC]中，角[A]，[B]，[C]所對(duì)的邊分別是[a]，[b]，[c]，已知[a=3]，[A=π3]。

（1）若[sinB=513]，求[sinC]；（2）求[b+c]的最大值。

教師在出示題目后，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后引導(dǎo)學(xué)生完成求解。

師：本題考查的內(nèi)容是什么？

生1：第（1）問(wèn)考查解三角形，求角的正弦值。

師：有什么已知條件呢？

生2：已知[a]、角[A]、角[B]的正弦值，也就是“兩角一邊”。

師：在解三角形中已知“兩角一邊”求角，可能運(yùn)用到什么知識(shí)呢？

生3：可能會(huì)運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、兩角和與差的正余弦公式及正、余弦定理。

師：本題主要用到什么知識(shí)呢？

生4：[A+B+C=π]，[sinC=sin（A+B）]。

師：很棒，我們一起來(lái)看具體的解題過(guò)程。

板書(shū)求解過(guò)程：（1）∵[sinA=32]，[sinB=513lt;sinA]，∴[Blt;Alt;π2]，∴[cosB=1213]。又∵[cosA=12]，∴[sinC=sin（A+B）=32×1213+12×513=123+526]。

師：對(duì)第（2）問(wèn)，題目要求的是什么呢？

生1：求邊長(zhǎng)之和的最值。

師：有什么已知條件呢？

生2：已知角[A]和[a]。

師：可以運(yùn)用什么知識(shí)呢？

生3：由邊長(zhǎng)之和的形式考慮用余弦定理。

師：如何用余弦定理解決問(wèn)題？

生4：在余弦定理中有[b2+c2]可以將其變成[（b+c）2]。

師：在變式的過(guò)程中出現(xiàn)[bc]，應(yīng)該怎么辦呢？

生5：可以用基本不等式。

師：很棒，我們一起來(lái)看看如何運(yùn)用基本不等式來(lái)求解本題。

板書(shū)求解過(guò)程：在[△ABC]中，由余弦定理可知[a2=3=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc]，∴[（b+c）2=3+3bc≤3+3（b+c）24]，則[b+c≤23]，當(dāng)且僅當(dāng)[b=c=3]時(shí)取等號(hào)，∴[b+c]的最大值為[23]。

師：這道題還可以從其他角度來(lái)思考嗎？

（學(xué)生思考后，教師給出提示）

師：是否可以考慮用正弦定理來(lái)解題呢？本題的已知條件是否滿足正弦定理？

生6：題目已知條件中有已知角及其所對(duì)的邊，[asinA=bsinB=csinC=3sinπ3=2]，于是得到[b=2sinB]，[c=2sinC]，[b+c=2sinB+2sinC]。

師：有兩個(gè)未知的角，又該怎么辦呢？

生7：用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行角互化，[C=23π-B]。

師：在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中要注意什么呢？

生：角不同的話，要先展開(kāi)，然后降冪，最后用輔助角公式。

師：好，那我們來(lái)看看具體的解答過(guò)程。

板書(shū)求解過(guò)程：在[△ABC]中，由正弦定理可知[asinA=bsinB=csinC=3sinπ3=2]，∴[b=2sinB]，[c=2sinC]，即

[b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin23π-B=2sinB+2sin23πcosB-2cos23πsinB=2sinB+2×32cosB-2×-12sinB=3sinB+3cosB=23sinB+π6]

∵[0lt;Blt;2π3]，∴[π6lt;B+π6lt;5π6]，∴[12lt;sinB+π6≤1]，∴[3lt;b+c≤23]，∴[b+c]的最大值為[23]。

【教學(xué)反思】教師的講解與示范能幫助學(xué)生掌握“說(shuō)題”的具體思路和方法。在這個(gè)過(guò)程中，教師可以通過(guò)設(shè)置問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思考解決問(wèn)題。教師在“說(shuō)題”活動(dòng)中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生分析與思考，構(gòu)建解題思路，以此培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

三、模仿“說(shuō)題”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

當(dāng)學(xué)生熟悉“說(shuō)題”活動(dòng)的具體流程后，他們能夠更積極主動(dòng)地參與到課堂“說(shuō)題”活動(dòng)中。此時(shí)，教師需要幫助學(xué)生尋找恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，以鍛煉他們的“說(shuō)題”能力。在這一過(guò)程中，教師應(yīng)讓學(xué)生“說(shuō)”明白數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用方法及其中的規(guī)律。

【教學(xué)片段二】

[題目]如圖1所示，在長(zhǎng)方體[ABCD-A1B1C1D1]中，點(diǎn)[E]、[F]分別在棱[DD1]，[BB1]上，且[2DE=ED1]，[BF=2FB1]。

（1）證明：點(diǎn)[C1]在平面[AEF]內(nèi)；（2）若[AB=2]，[AD=1]，[AA1=3]，求二面角[A-EF-A1]的正弦值。

學(xué)生針對(duì)第（1）問(wèn)的說(shuō)題：

1.說(shuō)題意：證明點(diǎn)在平面內(nèi)，即證明四點(diǎn)共面。可以通過(guò)確定平行關(guān)系求證，在長(zhǎng)方體模型中，想要用邊長(zhǎng)的平行且相等關(guān)系，可以作輔助線。

2.說(shuō)解題思路：如圖2所示，在棱[CC1]上取點(diǎn)[G]，使得[C1G=12CG]，連接[DG]、[FG]、[C1E]、[C1F]。在長(zhǎng)方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[BF]∥[CG]，[BF=CG]，所以四邊形[BCGF]為平行四邊形，則[BC]∥[FG]，[BC=FG]，而[BC=AD]，[BC]∥[AD]，所以[AD]∥[FG]，[AD=FG]，所以四邊形[DAFG]為平行四邊形，即有[AF]∥[DG]，可證平行四邊形[DEC1G]為平行四邊形，所以[C1E]∥[DG]，[C1E]∥[AF]，因此點(diǎn)[C1]在平面[AEF]內(nèi)。

師：證明線段平行除了運(yùn)用幾何法還可以運(yùn)用什么方法？

生1：向量法。

師：除了證線段平行還可以怎么證明四點(diǎn)共面？

生2：線段相交。

師：真棒，怎么在空間中證明線段相交呢？

生3：先建系，然后找基底，再進(jìn)行向量分解。

學(xué)生的解題過(guò)程如下：

如圖3所示，以[C1]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[C1D1]，[C1B1]，[C1C]所在的直線分別為[x]軸，[y]軸，[z]軸，建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)[C1D1=a]，[C1B1=b]，[C1C=3c]，則[C1（0，0，0）]，[E（a，0，2c）]，[F（0，b，c）]，[A（a，b，3c）]，所以[C1E=（a，0，2c）]，[C1F=（0，b，c）]，[C1A=（a，b，3c）]。故[C1A=C1E+C1F]，所以點(diǎn)[C1]在平面[AEF]內(nèi)。

學(xué)生針對(duì)第（2）問(wèn)的說(shuō)題：

1.說(shuō)題意：要求二面角正弦值，即找到二面角。

2.說(shuō)思維：在解決二面角問(wèn)題時(shí)，通常情況下可以選擇使用向量法，找到向量的夾角。

3.說(shuō)解法：如圖4所示，以[C1]為坐標(biāo)原點(diǎn)，[C1D1]，[C1B1]，[C1C]所在的直線分別為[x]軸，[y]軸，[z]軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則[A（2，1，3）]，[A1（2，1，0）]，[E（2，0，2）]，[F（0，1，1）]，所以[AE=（0，-1，-1）]，[AF=（-2，0，-2）]，[A1E=（0，-1，2）]，[A1F=（-2，0，1）]。設(shè)平面[AEF]的一個(gè)法向量為[m=（x1，y1，z1）]，由[m·AE=0，m·AF=0，]得[-y1-z1=0，-2x1-2z1=0，]取[z1=-1]，得[x1=y1=1]，則[m=（1，1，-1）]；設(shè)平面[A1EF]的一個(gè)法向量為[n=（x2，y2，z2）]，由[n·A1E=0，n·A1F=0，]得[-y2-2z2=0，-2x2-z2=0，]取[z2=2]，得[x2=1]，[y2=4]，則[n=（1，4，2）]，[cosm·n=m·nm·n=33×21=77]，設(shè)二面角[A-EF-A1]的平面角為[θ]，則[cosθ=77]，所以[sinθ=1-cos2θ=427]。因此二面角[A-EF-A1]的正弦值為[427]。

師：這一小問(wèn)是否可以考慮用定義法來(lái)解決呢？二面角的平面角從哪里找呢？

生1：從公共棱的公共頂點(diǎn)出發(fā)在平面內(nèi)作公共棱的垂線。

師：公共棱是哪一條呢？

生2：[EF]。

師：怎么構(gòu)造垂直呢？

生3：可以利用三角形“三線合一”或勾股定理確定。

師：很好，下面請(qǐng)同學(xué)們完成求解過(guò)程。

學(xué)生的解題過(guò)程如下：

在[△AEF]中，易得[AE=2]，[AF=22]，[EF=5+1=6]，得[AE2+EF2=AF2]，所以[AE⊥EF]。在[△A1EF]中，[A1E=A1F=5]，如圖5所示，設(shè)[EF]，[AF]的中點(diǎn)分別為[M]，[N]，連接[A1M]、[MN]、[A1N]，則[A1M⊥EF]，[MN⊥EF]，所以[∠A1MN]為二面角[A-EF-A1]的平面角。因?yàn)辄c(diǎn)[M]是[EF]的中點(diǎn)，所以[EM=12EF=62]，在Rt[△A1EM]中，[A1M=A1E2-EM2=52-622=142]。易求[A1N=5]，[MN=12AE=22]。又因?yàn)樵赱△A1MN]中[cos∠A1MN=MN2+A1M2-A1N22MN·A1M=12+72-52×22×142=-77]，所以[sin∠A1MN=1-cos2∠A1MN=1-17=427]。因此二面角[A-EF-A1]的正弦值為[427]。

【教學(xué)反思】在經(jīng)歷模仿階段之后，學(xué)生逐漸掌握了“說(shuō)題”的技巧，并在課后能夠自主進(jìn)行小組討論，不斷地提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)這也培養(yǎng)了學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)造性思維以及建模能力。這一過(guò)程不僅有助于他們發(fā)現(xiàn)思維中的漏洞，還能培養(yǎng)他們思維的規(guī)范性和綜合思維能力。

要培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，教師就應(yīng)轉(zhuǎn)變教育觀念，并在各類(lèi)課程教學(xué)中積極實(shí)踐。教師可借助試題講評(píng)課，設(shè)計(jì)課前、課中、課后多環(huán)節(jié)的教學(xué)活動(dòng)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，進(jìn)而有效培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合、評(píng)價(jià)等能力以及批判性思維能力。教師在教學(xué)中以“說(shuō)題”活動(dòng)為驅(qū)動(dòng)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生在“說(shuō)題”活動(dòng)中，通過(guò)分析、審題、講解等過(guò)程，能促進(jìn)高階思維的發(fā)展。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

[1]" 郭滕珞.面向高階思維發(fā)展的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題串教學(xué)研究[D].天津：天津師范大學(xué)，2020.

[2]" 楊毅.例談培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的試題講評(píng)模式[J].中學(xué)生物學(xué)，2023（2）：44-46.

（責(zé)任編輯" " 梁桂廣）