例談求線段長問題的四種方法

［摘 要］求線段長是初中幾何常見的題型。文章結合例題，從四個方面探討求線段長的四種方法，旨在提升學生的解題能力和思維品質。

［關鍵詞］線段長；勾股定理；全等三角形；相似三角形；三角函數

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）35-0031-04

求線段長是初中幾何常見的題型。在學習“全等三角形”時，可通過求線段長來考查學生對全等三角形判定與性質的掌握情況；學習“勾股定理”時，可通過求線段長來檢驗學生對勾股定理的理解程度；在學習“相似三角形”時，求線段長也是考查學生相似三角形判定與性質掌握情況的有效手段；在學習“銳角三角形函數”時，求線段長則能幫助學生鞏固對銳角三角函數定義的理解及掌握特殊角的三角函數值。基于這些學習內容，筆者總結了求線段長的四種方法，現舉例說明。

一、利用勾股定理求線段長

利用勾股定理求線段長是求線段長最常用的方法。勾股定理是人類最偉大的發現之一，它揭示了直角三角形中三邊之間的數量關系。在直角三角形中，只要已知兩邊長度，即可利用勾股定理求得第三邊。而構造直角三角形的一個常用技巧就是作垂線。

［例1］如圖1，在Rt[△ACB]中，[∠ACB=90°]，[AC=BC=3]，點[D]在直線[AC]上，[AD=1]，過點[D]作[DE]∥[AB]交[BC]于點[E]，連接[BD]，點[F]是線段[BD]的中點，連接[EF]，則[EF]的長為 " " " " 。

解：如圖2，延長[EF]交[AB]于點[G]，連接[DG]。∵[DE]∥[AB]，∴[∠EDF=∠GBF]，[∠DEF=∠BGF]。∵點[F]是線段[BD]的中點，∴[DF=BF]，∴[△DEF ]≌[△BGF]（AAS），∴[FE=FG]，[DE=BG]，∴四邊形[BEDG]為平行四邊形，∴[DG]∥[BE]。∵[AC=BC=3]，[AD=1]，[DE]∥[AB]，∴[AD=BE=DG=1]，∴[∠AGD=∠ABC=45°=∠A]，∴[△ADG]為等腰直角三角形。①當點[D]在線段[AC]上時，如圖3，[CE=CD=AC-AD=3-1=2]，∴[DE=2CD=22]，過點[G]作[GH⊥DE]于點[H]，∴[△DGH]為等腰直角三角形，∴[GH=DH=22DG=22]，∴[HE=DE-DH=22-22=322]，在Rt[△GHE]中，由勾股定理得[GE=GH2+HE2=222+3222=5]，∴[EF=12GE=52]；②當點[D]在[CA]的延長線上時，如圖4，[CE=CD=AC+AD=4]，∴[DE=2CD=42]，過點[G]作[GH⊥DE]交[ED]的延長線于點[H]，則[△DGH]為等腰直角三角形，∴[GH=DH=22DG=22]，∴[HE=DE+DH=42+22=922]，在Rt[△GHE]中，由勾股定理得[GE=GH2+HE2=222+9222=41]，∴[EF=12GE=412]，綜上所述，[EF]的長為[52]或[412]。

評注：本題以等腰直角三角形為背景，設計了一個求線段長的問題。由于點[D]在直線[AC]上，且[AD=1]，因此存在兩種情況：點[D]在線段[AC]上和點[D]在線段[CA]的延長線上。針對這兩種情況，需分別進行討論。在每種情況下，均可證明四邊形[BEDG]為平行四邊形，且[△ADG]為等腰直角三角形。為了求線段長，每種情況下都需要作垂線構造直角三角形，最后利用勾股定理求得所需線段的長。

二、利用全等三角形求線段長

利用全等三角形求線段長是求解線段長度問題的第二種方法。全等三角形不僅是證明線段相等或角相等的常用工具，通過構造三角形可以發現圖形中隱藏的特殊幾何形狀，如等腰三角形、平行四邊形等。這些發現為后續問題的解決奠定堅實基礎。

［例2］如圖5，在正方形[ABCD]中，點[M]為[CD]邊上一點，連接[AM]，將[△ADM]繞點[A]順時針旋轉90°得到[△ABN]，在[AM]，[AN]上分別截取[AE]，[AF]，使[AE=AF=BC]，連接[MF]，交對角線[BD]于點[G]，連接[AG]并延長交[BC]于點[H]。若[AM=253]，[CH=2]，則[AG]的長為 " " 。

解：∵如圖5，將[△ADM]繞點[A]順時針旋90°得到[△ABN]，∴[AM=AN]，[DM=BN]，[∠MAN=90°]，[∠DAM=∠BAN]，[∠AMD=∠ANB]，如圖6，連接[DE]，[BF]，∵[AE=AF=BC]，[FN=AN-AF]，[EM=AM-AE]，∴[FN=EM]，在[△BFN]和[△DEM]中，[BN=DM，∠FNB=∠EMDFN=EM，]，∴[△BFN ]≌[△DEM]（SAS），∴[BF=DE]，∵四邊形[ABCD]是正方形，∴[∠ADB=∠ABD=45°]，[AB=AD=BC]，∴[AF=AB]，[AE=AD]，∴[△ABF]和[△AED]都是等腰三角形，∴[∠ABF=∠AFB=12（180°-∠BAF）]，[∠ADE=∠AED=12（180°-∠DAE）]，∵[∠DAE=∠BAF]，∴[∠ABF=∠AFB=∠ADE=∠AED]，∵[AF=AE]，[∠MAN=90°]，∴[△AFE]為等腰直角三角形，∴[∠AEG=∠AFG=45°]，∵[∠GDE=∠ADE-∠ADB=∠ADE-45°]，[∠GFB=∠AFB-∠AFG=∠AFB-45°]，∴[∠GFB=∠GDE]，在[△GFB]和[△GDE]中，[∠BGF=∠EGD，∠GFB=∠GDE，BF=DE，]∴[△GFB ]≌[△GDE]（AAS），∴[FG=DG]，[BG=EG]，在[△AFG]和[△ADG]中，[AF=AD，FG=DGAG=AG，]，∴[△AFG ]≌[△ADG]（SSS），∴[∠FAG=∠DAG]，即[∠DAH=∠NAH]，∵[AD]∥[BC]，∴[∠DAH=∠AHN]，∴[∠AHN=∠NAH]，∴[AN=NH=AM=253]，設[BH=x]，則[AB=BC=BH+CH=x+2]，[BN=NH-BH=253-x]，在Rt[△ABN]中，[AN2=BN2+AB2]，∴[2532=253-x2+（x+2）2]，解得[x1=6]，[x2=13]，∴[BH=6]或[13]，如圖7，過點[G]作[PG]∥[BC]，交[AB]于點[P]，∴[△APG ]∽[△ABH]，∴[APAB=PGBH]，即[APPG=ABBH]，∵[PG]∥[BC]，∴[∠GPB=180°-∠PBH=180°-90°=90°]，∵[∠PBG=45°]，∴[∠PGB=90°-∠PBG=45°-∠PBG]，∴[PG=PB]，①當[BH=6]時，[AD=CD=AB=BH+CH=8]，∴[APPG=ABBH=86=43]，∴設[AP=4a]，[PG=3a=PB]，∵[AB=AP+PB=8]，∴[4a+3a=8]，解得[a=87]，在Rt[△APG]中，[AG=AP2+PG2=（4a）2+（3a）2=5a=407]；②當[BH=13]時，[AB=CD=BC=BH+CH=73]，在Rt[△ADM]中，[DM=AM2-AD2=2532-732=8]，∵[DM=8gt;CD=73]，∴點[M]在[CD]的延長線上，與題意不符。綜上，[AG]的長為[407]。

評注：本題在求解線段[AG]的過程中，利用了三次全等三角形，即[△BFN ]≌[△DEM]（SAS），[△GFB ]≌[△GDE]（AAS），[△AFG ]≌[△ADG]（SSS）。通過這些全等關系，可推導出[AD=AE=AF=AB]，[∠DAH=∠NAH]，從而得到等腰[△ANH]。這為后續利用相似三角形與勾股定理進行求解奠定了堅實的基礎。

三、利用相似三角形求線段長

利用相似三角形求線段長是第三種求解線段長的方法。相似三角形的模型有多種，包括“A型”“X型”“旋轉型”“K型”“母子型”等。可以利用相似三角形對應邊成比例的性質來求解線段長或確定線段之間的數量關系，有時為了求得某條線段的長度，可能需要多次運用相似三角形的性質。

［例3］如圖8，在等腰直角[△ABC]中，[AC=2]，[M]為邊[BC]上任意一點，連接[AM]，將[△ACM]沿[AM]翻折得到[△AC′M]，連接[BC′]并延長交[AC]于點[N]，若點[N]為[AC]的中點，則[CM]的長為 " " " 。

解法1：如圖9，過[C']作[C'D⊥BC]于[D]，作[C'E⊥AC]于[E]，又∵[∠C=90°]，∴四邊形[DCEC']是矩形。設[C'D=x]，則[CE=x]，[AE=2-x]，∵[C'D]∥[CN]，∴[△BDC' ]∽[△BCN]，∴[C'DBD=NCBC=12]，即[BD=2C'D=2x]，∴[CD=2-2x=C'E]。Rt[△AC'E]中，[AE2+C'E2=C'A2]，即[（2-x）2+（2-2x）2=22]，解得[x1=2]（不合題意），[x2=25]，∴[C'D=25]，[C'E=65]。∵[∠DC'E=∠MC'A=90°]，∴[∠DC'M=∠EC'A]，又∵[∠C'DM=∠C'EA=90°]，∴[△DC'M ]∽[△EC'A]，∴[C'DC'E=C'MC'A]，即[2565=C'M2]，∴[C'M=23]，由折疊可得，[CM=C'M=23]。故答案為[23]。

解法2：如圖10，過[C']作[C'D⊥ ] [BC]于[D]，過[A]作[AE⊥C'D]，交[DC']的延長線于[E]，又∵[∠C=90°]，∴四邊形[DCAE]是矩形。設[C'D=x]，[CM=y]，則[C'E=2-x]，[C'M=y]，∵[C'D]∥[CN]，∴[△BDC' ]∽[△BCN]，∴[C'DBD=NCBC=12]，即[BD=2C'D=2x]，∴[CD=2-2x=AE]，[DM=2-2x-y]。∵[∠AC'M=∠E=∠C'DM=90°]，∴[∠AC'E+∠EAC'=90°=∠AC'E+∠DC'M]，∴[∠EAC'=∠DC'M]，∴[△AEC' ]∽[△C'DM]，∴[C'MAC'=C△DMC'C△AEC']，即[y2=x+2-2x-y+y2-2x+2-x+2=2-x6-3x=13]，∴[y=23]，∴[CM=23]。故答案為[23]。

評注：本題的兩種解法均利用了相似三角形求邊長而且這兩種解法都利用了“A型”相似三角形[△BDC' ]∽[△BCN]，得到[BD=2C'D]。解法1進一步通過旋轉相似的方法求得[C'M]的長，而解法2則利用了“K型”相似三角形求得[CM]的長。值得注意的是，解法2創新性地運用了相似三角形的周長比等于相似比的性質，通過建立方程來求解，為問題的解決提供了新的思路。

四、利用三角函數求線段長

利用三角函數求線段長是求線段長的第四種方法。銳角三角函數實質上反映的是直角三角形中邊與邊之間的比例關系，因此，只有將銳角三角函數放在直角三角形中才能發揮其作用。當然，構造直角三角形的方法多種多樣，比如作垂線、在圓中作直徑、作矩形或正方形等。

［例4］如圖11，點[A]，[C]，[D]，[B]在[⊙O]上，[AC=BC]，[∠ACB=90°]。若[CD=a]，[tan∠CBD=13]，則[AD]的長是 " " " 。

解：如圖12，連接[AB]，作直徑[CE]。連接[DE]，設[AD]交[BC]于點[T]。∵[∠ACB=90°]，∴[AB]是直徑，∵[EC]是直徑，∴[∠CDE=90°]，∵[∠CBD=∠E]，∴[tanE=tan∠CBD=13]，∴[CDED=13]，∴[DE=3a]，∴[EC=AB=CD2+DE2=a2+（3a）2=10a]，∴[AC=BC=22AB=5a]，∵[∠CAT=∠CBD]，∴[tan∠CAT=tan∠CBD=13]，∴[CT=53a]，[BT=253a]，∴[AT=AC2+CT2=（5a）2+53a2=523a]，∵[AB]是直徑，∴[∠ADB=90°]，∵[tan∠DBT=DTDB=13]，∴[DT=1010BT=23a]，∴[AD=AT+DT=22a]。

評注：本次求[AD]長度的過程中，三次運用了銳角三角函數。第一次，通過[tanE=tan∠CBD=13]，求得圓[O]的直徑是[10a]；第二次，利用[tan∠CAT=tan∠CBD=13]，求得[AD]上另一段[AT]的長；第三次，[tan∠DBT=DTDB=13]，求得[AD]上另一段[DT]的長。銳角三函數的值只有在直角三角形中才能轉化為邊與邊的比例關系，從而發揮作用。本題通過作直徑的方式將銳角三角函數置于直角三角形中。

上述例題利用了勾股定理、全等三角形、相似三角形、三角函數四種方法求線段長。實際上，還可以利用特殊圖形的性質、圖形的面積以及方程思想來求線段長。但不論采用何種方法求線段長，都需要根據題目的具體特點靈活選擇策略。有時，甚至需要結合多種方法，共同求解線段長度。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 鄧傳鋒，陳謙，秦旭東.求線段長勿忘常規方法[J].數理化學習（初中版），2023（1）：28-30.

[2]" 鄭泉水.構造相似三角形求線段長一例[J].數理化學習（初中版），2022（2）：9-10.

[3]" 王宇鑠，劉家良.構造直角三角形求線段長[J].數理天地（初中版），2019（12）：47.

（責任編輯" " 黃春香）