阿伏加德羅常數之“常數危機”

［摘 要］文章分析了阿伏加德羅常數所面臨的“常數危機”，指出在摩爾新定義的語境下，阿伏加德羅常數與其內在特征（即阿伏加德羅定律）之間的關聯性被嚴重削弱；建議在教學中調整教學順序，將阿伏加德羅定律置于阿伏加德羅常數之前進行講解，并建立起兩者之間的實用主義關聯（主要體現在計算簡便上），以幫助學生充分理解阿伏加德羅常數知識的依存條件，從而確保他們對常數認知的一致性。

［關鍵詞］阿伏加德羅常數；“常數危機”；摩爾；內在特征

［中圖分類號］" " G633.8" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）35-0063-05

一、問題的提出

阿伏加德羅常數的相關知識較為抽象，是化學教學中的一大難點。阿伏加德羅常數源于物質的量的單位——摩爾的定義。2018年，第26屆國際計量大會（CGPM）對摩爾進行了如下定義[1]：摩爾，符號mol，國際單元制（SI）物質的量的單位，１摩爾精確包含6.022 140 76×1023個基本粒子。由此定義可以推知，阿伏加德羅常數NA=6.022 140 76×1023 mol-1。在1971年摩爾的舊定義語境下，阿伏加德羅常數一直是不確定的，而摩爾的新定義使阿伏加德羅常數成為一個確定的數值。然而，新定義在降低教學難度的同時，卻引發了認知危機，即“常數危機”。在教師和學生的認知中，常數是事物內在特征自然形成的、具有確定數值的，且這一數值不以人的意志為轉移。盡管某些常數的精確數值可能無法完全確定或呈現，但其內在特征卻可以通過理想模型被充分理解。例如，圓周率π是圓的周長與直徑之比，能夠揭示圓的特征。雖然現實中完美的圓并不存在，但人們能夠通過思維構想出“理想的圓”，并準確感知π所蘊含的圓的幾何意義。盡管至今人們仍未完全確定π的精確數值，但沒有必要將其固化為一個特定的精確數值，因為這樣做可能會削弱π作為“理想的圓”的特征的體現。對于類似于π的常數（如地球重力加速度常數g），它們的內在特征相對容易理解和領悟，但對于阿伏加德羅常數，卻異常困難。這引發了我們的思考：阿伏加德羅常數是否具有內在特征？如果有，為何難以把握？

二、被“定義”的阿伏加德羅常數

（一）阿伏加德羅常數的由來與演進

1811年，為了解決道爾頓和蓋-呂薩克有關“水的組成”的爭議，阿伏加德羅引入了分子學說，并提出假設：同溫同壓下，相同體積的不同氣體含有相同的分子數[2]86。那么，相同體積的不同氣體到底含有多少分子數呢？這個問題迅速成為科學家最為關注的問題之一。但這個問題本身需要將“相同體積”約束為一個具體的體積才能給出一個具有標準意義的答案。依據早期科學中經常遵循的“最簡法則”[2]83，具體的體積可以選擇1 mL、1 L、1 m3等，但科學家沒有選擇這些體積。這是因為當時有關物質探究的定量化學實驗正如火如荼地開展，而這些實驗多涉及氣體間的反應，因此具體體積的選擇自然要為這些實驗服務。出于簡化計算的考量，科學家首先想弄清楚以g為單位且數值與相對分子質量數值相等的氣體中含有的分子數量（即克分子數），如2 g H2、32 g O2的分子數量。通過測量，科學家很容易獲知在常溫常壓下，2 g H2、32 g O2的體積都約為22.414 L（即克分子體積）。因此，科學家很自然地將具體的體積選定為22.414 L。1900年，德國物理化學家威廉·奧斯特瓦爾德首次定義了1 mol[2]80：在常溫常壓下，22414 mL（22.414 L）任何氣體所含有的分子數為1 mol。這是人們對阿伏加德羅常數的第一次干預（盡管此時還沒有阿伏加德羅常數）。另外，由于氣體分子數量龐大，記錄、計算都很復雜，因此從計算簡便的角度來考慮[3]，需要一個比較大的常數來簡化計算。而22.414 L氣體中包含的分子數量非常大，這成為選擇22.414 L作為具體體積的另一個重要原因。由此可見，阿伏加德羅常數的提出是科學家在追求計算簡便的思想下對克分子數進行簡化的必然結果。

1971年，第14屆國際計量大會通過決議將摩爾采納為第7個SI基本單位，并給出了明確的定義[4]：摩爾是一系統的物質的量的單位，該系統中所包含的基本單元數與0.012 kg 12C的原子數目相等，符號為mol。然而，隨著該定義的廣泛使用，其存在的問題也逐漸暴露出來。其中最大的問題是，這個定義是通過另一個SI基本單位——千克來實現的。而千克的定義所依賴的千克原器很容易受到人為和環境因素的影響，導致實物基準不穩定。于是，人們開始尋求摩爾的新定義。這是人們對阿伏加德羅常數的第二次干預。這次干預，導致阿伏加德羅常數與其內在特征（即阿伏加德羅定律）的關聯性嚴重削弱。

（二）阿伏加德羅常數的知識結構

由以上分析可知，阿伏加德羅常數具有自身的內在特征——阿伏加德羅定律。數學是科學的語言，人們對阿伏加德羅常數的第一次干預使其內在特征得以用數學語言表達出來，此時摩爾定義下的阿伏加德羅常數與其內在特征完全等價。而第二次干預則是以犧牲內在特征為代價，換取了數值的穩定性，此時阿伏加德羅常數與其內在特征不再是等價的關系，而是被包含的關系。雖然6.022 140 76×1023這個數字很接近與阿伏加德羅常數內在特征等價的22.414 L氣體中的分子數，但終究只是“接近”而已。

從知識的內在結構來看[5]，摩爾舊定義下的阿伏加德羅常數知識結構中的邏輯形式由“內在特征+人為定義”構成。而摩爾新定義下的阿伏加德羅常數舍棄了其中的“內在特征”，只保留了“人為定義”（如圖1）。然而，科學家并沒有選擇一個任意的、比較大的數值來取代舊定義中的“0.012 kg 12C的原子數目”，而是選擇了與之非常接近的數值：6.022 140 76×1023（該數值也非常接近22.414 L理想氣體中所包含的粒子數）。因此，在摩爾新定義的語境下，阿伏加德羅常數的數值實際上最大限度地保留了“內在特征”痕跡。盡管如此，如果單純從敘述的角度來看，新定義直接切斷了阿伏加德羅常數與其內在特征的聯系。不過，阿伏加德羅常數知識結構中的意義系統——計算簡便，仍然統攝“摩爾”以及“物質的量”概念，這在新舊定義中都沒有發生改變。這為摩爾新定義下的阿伏加德羅常數教學提供了穩定的契機。另外，需要在此對“計算簡便”統攝“物質的量”概念做出說明，以便深入理解阿伏加德羅常數知識結構中的意義系統。雖然物質的量具有聯系可稱量的物質與難以稱量的微觀粒子的橋梁作用，但這種作用的核心目的仍然是“計算簡便”[6]。“計算簡便”既是阿伏加德羅常數知識邏輯形式中兩次“人為定義”的源動力，也是摩爾新定義可以舍棄阿伏加德羅常數內在特征的根本原因。

（三）1 mol定義中“約”的含義改變

人教版高中化學舊教材中有關“1 mol”的表述為：1 mol粒子集合體所含的粒子數與0.012 kg 12C中所含的碳原子數相同，約為6.02×1023[7]。此表述中的“約”字體現了科學家在受限于當時科學技術水平的情況下的艱辛探索，是對未知數字的一種約略估計。相比之下，新教材中關于“1 mol”的表述則有所不同：1 mol粒子集合體所含的粒子數約為6.02×1023[8]。顯然，在摩爾新定義下，這個“約”字是對已確定且更為精確的數值6.022 140 76×1023的一種近似簡化表達。因此，新舊教材中的“約”字含義截然不同，但新教材在表述上并未體現這層含義。學生對“約”字含義變化的理解程度，能夠反映出他們對阿伏加德羅常數與其內在特征關聯性的認識程度，因此，這一理解程度可以作為評價學生是否深入理解阿伏加德羅常數的一個重要指標。

（四）阿伏加德羅常數的單位

阿伏加德羅常數的單位（mol-1）是容易引起學生困惑的知識點之一。但這種困惑更多的是形式上的，而非內容上的。1 mol粒子集合體所含粒子數量為6.022 140 76×1023，而1 mol任何粒子數被稱為阿伏加德羅常數（NA），這就要求在邏輯上NA=6.022 140 76×1023" mol-1。可見，阿伏加德羅常數的單位本身并不是引起學生困惑的最主要原因。近年來，許多教師提出在阿伏加德羅常數的表達式中引入中文語境中的“個”[9]，即NA=6.022 140 76×1023（個）·mol-1，這樣的表達方式確實能夠降低阿伏加德羅常數表達式的抽象性。

三、阿伏加德羅常數內在特征的教學缺失與教學建議

（一）常數如何才能被充分理解

常數既然是事物內在特征自然形成的，那么其意義必須在相關內在特征中去理解才會是充分的。以π為例，我們正是因為它與“圓的周長與直徑之比”的關聯才能深刻把握其含義。同樣地，對于地球重力加速度常數g，因為它與“地球對物體的吸引力，導致物體加速下落”的關聯，我們無須借助公式，便能直觀理解g所代表的地球引力對物體下落速度的影響。因此，要充分理解一個常數，首先要理解其內在特征。常數是事物內在特征的外在表現形式，一旦脫離了內在特征，理解起來就會變得抽象或困難。內在特征為常數提供了被理解的基石，對學生形成常數認知至關重要。在教學中，如果不能將常數的內在特征展現出來，將無法充分發揮知識的教學價值 。

（二）由來已久的內在特征缺失教學

在科學史中，人們似乎從未有過以“定義”來干擾常數數值的先例。然而，摩爾新定義下的阿伏加德羅常數卻引人深思：一個能夠被人為定義干擾數值的常數還是真正意義上的常數嗎？這個問題看似新穎，實際上由來已久，只是摩爾新定義對阿伏加德羅常數明顯地人為干預使得這個問題更加凸顯。在教學中，許多教師在介紹阿伏加德羅常數的數值時，往往先引入一個“巧妙且適宜”的數值（即6.022 140 76×1023，這一數值恰好使得對應的原子的質量等于其相對原子質量），然后再直接指出這一數值就是阿伏加德羅常數的數值，并用“阿伏加德羅常數是基本物理常數”來強化其常數的屬性。這種教學方式在摩爾的舊定義和新定義語境下普遍存在。

事實上，這種看似巧妙且適宜的數值引入方式卻將學生對阿伏加德羅常數的理解引至一個淺顯、偶然的層面，從而忽視阿伏加德羅常數的內在邏輯結構。新定義無形中強化了這種偶然性，切斷了阿伏加德羅常數與其內在特征的聯系。同時，教師在教學中一般會著重強調阿伏加德羅常數在聯系宏觀和微觀方面的功能，但這種功能與其內在特征并無關聯，而是屬于阿伏加德羅常數知識結構中的“意義系統”。因為任意一個很大的數值都有聯系宏觀和微觀的功能，所以這種教學方式阻礙了學生認識論認知[10]的發展。在“物質的量”教學中，大量時間用于去情境化的解題訓練，這是一種錯位教學。教師的教和學生的學一直處在“缺失內在特征”的軌道上，阿伏加德羅常數知識的抽象性正是缺失內在特征的必然結果。在這種情況下，暗示阿伏加德羅常數存在的“阿伏加德羅常數是基本物理常數”這一話語，除確認其存在性外，便無更多價值。但學生只要與已有認知中的其他常數進行對比，這種暗示就會因為沒有“內在特征”這一知識依存條件而失去支持。相比之下，重力加速度、光速、萬有引力常數等物理常數則很少被反復強調其“基本物理常數”的范疇，但學生卻能夠自覺地將它們納入“常數”的認知結構。如此看來，對阿伏加德羅常數之“常數”范疇的刻意強調，更多的是教師對其內在特征缺失的“補償性”反應。從學科知識的理解角度來看，教師普遍認為阿伏加德羅常數是自然科學中十分重要的基本物理常數，其功能是在物質的量知識體系下建立宏觀世界與微觀世界的數量關系。這種認識在表述上雖然看似無誤，但實際上卻存在矛盾。部分教師將阿伏加德羅常數視為與光速一樣、“不以人的意志為轉移”的基本物理常數。這顯然是一種誤解，因為阿伏加德羅常數是科學家人為定義的。如果阿伏加德羅常數只是自然世界內在特征的自律體現，那么人的存在與否對這個常數就不會有任何影響。而“建立宏觀世界與微觀世界的數量關系”這一表述，顯然指向了人的認知方法。大自然并不存在這樣一個常數恰好有助于人們認識宏觀世界與微觀世界的數量關系，這是不合邏輯的。因此，合理的理解應該是：阿伏加德羅常數之“基本物理常數”的屬性指向與自然規律相關的“內在特征”，而“建立宏觀世界與微觀世界的數量關系”則指向與人相關的“意義系統”。

如此看來，阿伏加德羅常數教學中存在的內在特征缺失問題由來已久，丞待解決。

（三）教學建議

基于科學史我們可以發現，摩爾新定義在最大程度上保留了阿伏加德羅常數的“內在特征”痕跡。然而，如果教學中教師不能從阿伏加德羅常數的數值出發，回溯到其內在特征，并體現常數之“常”，那么“6.02×1023”將僅僅作為一個具有“計算簡便”功能的數字符號存在，這將導致阿伏加德羅常數在學生對常數的認知中失去一致性，從而引發“常數危機”。

為了解除這一危機，教師應將阿伏加德羅常數的教學重點放在其內在特征的認識上，即要在充分理解內在特征的基礎上對數值進行意義解讀。為此，需要對“物質的量”教學內容的順序進行重新安排。在以往的教學中，阿伏加德羅常數通常放在“物質的量的單位——摩爾”模塊中。考慮到阿伏加德羅常數內在特征的意義表達，將其放在“氣體摩爾體積”模塊中來講解更為合適。但對內在特征的突出考量并不意味著在教學中要嚴格按照阿伏加德羅常數的發展歷史來講解，因為完全照搬史實可能會加重學生的學習負擔。特別是關于使用12C作為摩爾定義的基準材料，往往難以在短時間內解釋清楚，因此在教學中略過這部分史實也許才是最恰當的處理方式。

本文建議以阿伏加德羅定律（阿伏加德羅常數的內在特征）作為阿伏加德羅常數的教學起點。在介紹該定律時，應重點解釋數學語言中的“規定”（如標準狀況下、22.4 L）以及“≈”符號所表示的數值近似性內涵。對于摩爾新定義下的阿伏加德羅常數，教學難點是對“科學家為什么要舍棄對原NA精確數值的追求”進行合理解釋。鑒于整個“物質的量”知識體系的構建都是由“計算簡便”思想主導，本文建議從實用主義思想方面予以解釋。在解釋時，首先要明確“內在特征”和“計算簡便”思想之間的界限，然后再探討它們之間的關聯。教學流程如圖2所示。首先，突出“計算簡便”思想，說明科學家原本就是想要一個比較大的數字來簡化計算；其次，介紹阿伏加德羅定律的數學語言表達（在標準狀況下），其中涉及一個比較大的數值，但這個數值像π一樣尚未獲得精確值，約為6.022 140 76×1023；最后，綜合考慮以上兩點，科學家定義了1 mol粒子集合體所含的粒子數為6.022 140 76×1023 mol-1，從而得到NA的近似值。該教學在實用主義思想的指引下巧妙地實現了摩爾新定義下的阿伏加德羅常數與其內在特征的關聯。此外，對于新教材中的“1 mol粒子集合體所含的粒子數約為6.02×1023”這一表述，也要對其中的“約”做出必要解釋，即這里的“約”表示有限數字的近似值。

四、結語

一個不精確的數值必然會帶來計算的不確切性和不等效性。“人是萬物的尺度”，在滿足科學需要的條件下，摩爾新定義下的NA=6.022 140 76×1023" mol-1具有以“人之需要”為考量的合理性。雖然單純從摩爾新定義的表述來看，阿伏加德羅常數好像完全切斷了與其內在特征的關聯，但仔細分析其數值，仍然可以發現其中保留住了其內在特征的痕跡。從學生學科知識理解的角度出發，這種痕跡在新定義教學中絕不應被忽略，而應該通過痕跡回溯到知識依存的本質特征，并在學生認知范圍內將其與新定義進行關聯。唯有如此，學生對阿伏加德羅常數的理解才能從單純的符號表征深入到完整的邏輯形式和意義系統中，從而真正消除阿伏加德羅常數知識的抽象性問題，達到教學目的。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 任同祥，王軍，李紅梅.摩爾的重新定義[J].化學教育（中英文），2019，40（12）：19-23.

[2]" SARIKAYA，MUSTAFA. A view about the short histories of the mole and Avogadro's number[J].Foundations of Chemistry，2013，15（1）：79-91.

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[5]" 陳進前.知識內在結構與學科核心素養發展層級[J].中學化學教學參考，2020（19）：1-5.

[6]" 任圣穎.基于“計算簡便”的心理因素對“物質的量”的教學思考[J].化學教學，2023（3）：95-97.

[7]" 宋心琦.普通高中課程標準實驗教科書" " 化學1" "必修[M].北京：人民教育出版社，2007.

[8]" 王晶，鄭長龍.普通高中教科書" " 化學" "必修" " 第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[9]" 廖興權.利用自定義物理量教學法講解“物質的量”概念[J].實驗教學與儀器，2021，38（9）：12-14.

[10]" 張紅霞，郁波.從“探究”到“實踐”：科學教育的國際轉向與本土應對[J].教育研究，2023，44（7）：66-80.

（責任編輯" " 羅" " 艷）