結構化觀念下的數學單元教學
——以“冪函數”單元為例/

苗 靜 華東師范大學附屬東昌中學

一、研究背景

隨著新課程標準的頒布和實施，普通高中教育已經進入新一輪的課程改革，整體思想、系統思維、大概念、單元設計、教學主線等已成為當下最鮮明、最重要的關鍵詞。新課程標準明確指出，教師要“整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展”。因此，如何解決知識碎片化，真正實現數學思維品質的培養，落實核心素養的發展，是新時代每個教師亟待思考的問題。

二、概念界定與理論模型

（一）概念界定

1.單元教學：以數學知識的邏輯關系和相互聯系為基本依據，結合學生的認知基礎和思維規律，將學習內容組織成單元模塊，從整體上把握教學要求，根據數學研究問題的“基本套路”循序漸進地安排教學內容，再分課時踐行教學理念。

2.結構化教學：以“聯系—整體—演繹”的結構化理論為導向，從數學“知識體系結構化”的特點和“學生認知結構化”發展規律出發，幫助學生在已有認知結構的基礎上，延長知識鏈，拓寬知識面，從整體上學習數學知識、方法和觀念，進而有效地克服數學難點的教學模式。

（二）理論模型

結構化觀念下的單元教學，分別以數學知識結構、學生認知結構作為學習和教學的邏輯起點，運用“聯系—整體—演繹”觀點，對教學內容、教學目標和教學過程等教學基本要素進行分析，以建立結構化分析、結構化設計和結構化評價整體教學設計方案的過程。它的一般流程可以用圖1表示：

圖1

“冪函數”是人教A 版新教材第三章第三節中的內容，是繼函數的基本性質后研究的第一個函數，也是高中階段遇到的第一個具體的函數。本文將第三章“函數的概念與性質”視為一個大單元，其下劃分若干小單元，以“冪函數”小單元為例，闡述如何在結構化觀念下進行單元教學的分析、設計和評價。

三、結構化教學分析

（一）內容結構分析

學科學習的實質就是理解學科的基本結構，即理解各種基本概念、原理以及它們相互之間的規律和聯系，數學知識結構反映了數學的本質內涵。

1.學科內容邏輯體系

數學學科的邏輯體系，可以用金字塔的圖示加以體現，其中學科大概念是金字塔的頂層，它統攝整個結構體系，其下依次為核心概念、重要概念、基本概念、基本事實。如果將“冪函數”置于整個“函數”單元，對應的概念可以用圖2呈現。

圖2

2.小單元知識邏輯結構

結構化強調知識之間的聯系，在課堂教學中除了顯性的知識，學生還需要學習隱性的知識，顯性知識指的是一個個的知識點，而隱性知識還包括知識點之間的聯系、知識點之間的邏輯順序、知識點習得所需要的思想與方法。顯性知識指向知識與技能，隱性知識指向思維、方法、過程，是更具意義的學習。

“冪函數”單元的知識結構可以用圖3呈現：

圖3

3.單元知識主線設計

大單元下的數學知識在內容上雖然各不相同，但在大概念的思想統攝下，同類對象的研究存在著高度的“相似性”，因此在把握教學內容的結構基礎上，需要對學習思路和學習過程不斷重現，讓學生感悟、體驗各類數學對象的研究方法，而這條研究的路徑就是知識的邏輯主線。

在“冪函數”單元中，依據知識的發展過程，可以采用“定義—特例—性質—圖像”作為知識主線，這也可以作為其他類別函數的研究路徑，但也可能會根據知識的邏輯有略微的差別，比如由于學生對指數函數沒有認知基礎，它的主線可以是“定義—特例—圖像—性質”。

（二）認知結構分析

認知結構是學生頭腦里的知識結構，是學生在學習過程中觀念的內容與組織。學生的認知發展可以形容為在原有認知結構上搭建新的認知結構，并通過各種教學活動使新知識之間、新舊知識之間的聯系更為緊密，達到完善鞏固認知結構的目的。結構化教學的觀點就是用學生認知結構建立教學邏輯起點，因此分析認識結構可以把握教學的重點和難點。

1.認知起點分析

為了形成新的認知結構，就需要分析知識的起點、技能的起點和思維的起點。

在學習“冪函數”之前，學生在知識上有函數學習經歷，但核心概念理解受限。技能上，有列表描點作圖的經驗，但缺乏嚴謹性。思維上雖有從特殊到一般的過程，但“數學抽象”是無意識的。在高中階段，學生對函數概念的認識有了進一步的深化，又學習了函數的各種性質，認知的起點有了進一步的提高，這將為具體函數的研究提供更科學理性的思路。

2.經驗障礙分析

學生在學習過程中會由于知識間聯系的問題導致認知障礙，如陌生的知識、復雜的知識、易錯的知識。所以教師在教學中要根據學生的這些情況確定教學的難點。

“冪函數”單元中，利用性質研究具體“冪函數”的圖像只是認知結構搭建的一個方面，通過多個“冪函數”圖像特征歸納總結“冪函數”的性質才是發展認知結構的核心。在研究過程中對“冪函數”圖像特征的分類、數學抽象思維的發展以及理性猜測、邏輯論證是學生未曾有過的學習經驗，在此過程中學生可能會遇到困難，因此這是本單元的教學難點。

（三）目標結構分析

目標結構從宏觀至微觀大致可分為“課程（主線）目標—大單元目標—小單元目標”。其中，課程目標是宏觀目標，是學生通過學習在學科核心素養方面的變化；大單元目標是中觀目標，是大單元學習后學生應達到的知識、能力、方法、思維等素養水平；小單元目標是微觀目標，專注于具體內容的學習，關注課堂目標的達成，可通過檢測進行教學評價。三種目標自上而下形成目標結構體系。

在新課標中關于函數的課程目標是“重點提升數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象和邏輯推理”等核心素養。函數大單元目標是“用函數圖像和代數運算的方法研究具體函數的性質，理解這些函數中所蘊含的運算規律，運用這些函數建立模型，解決簡單的實際問題”。基于此，將上述目標加以分解，可以獲得如下的“冪函數”小單元目標：

1.能從自變量、函數值及函數解析式等角度歸納共性，抽象冪函數的一般形式；

2.能利用函數的基本性質，畫出具體冪函數的大致圖像；

3.能通過對多個冪函數圖像的觀察、猜測、歸納，一般冪函數的圖像特征，并發現、論證冪函數的性質；

4.能利用函數的性質解決比較兩個數的大小的代數問題；

5.結合對冪函數的研究，體會函數概念、基本性質對函數研究的價值，體驗函數研究的基本規律，感受從特殊到一般的數學思維方法，提升數學抽象、直觀想象、邏輯推理等思維能力。

四、結構化教學設計

知識與認知的結構化分析都是為教學服務的，在教學中應達到知識序與認知序的統一，以此設計教學問題，設置教學環節，組織教學活動。

（一）教學問題設計

一個好問題能使學生在教學關鍵點、重點、難點處思考和探究，以達到理解知識、體會思想方法和提升數學核心素養的目的，教學往往就是在這種核心問題的解決中展開的。核心問題不是單純的數學問題，而是指向核心素養的本源性問題，包含學生經驗活動的總結、數學思想方法的回顧、學習體驗后的感悟。

在“冪函數”單元，基于教學重難點，可以將“如何研究一類新的函數”作為核心問題。

（二）教學環節設計

為了使學生深入體驗“數學的方式”，感悟數學研究的脈絡，教師需要構建基于課型分類研究的結構化教學主線。

“冪函數”單元作為一類數學對象，屬于新授課的范疇，我們根據設置的核心問題，設計四個“教學環節”（見表1，附文后）。

表1 教學環節與教學活動

（三）教學活動設計

五、結構化教學評價

教學評價要關注學生數學知識技能的掌握，還要關注學生的學習態度、方法和習慣，更要關注數學學科核心素養水平的達成。教師要從評價中反思教學過程，總結經驗，發現問題，提出改進思路。

1.課堂行為評價包括：（1）從知識講解應用小結，考查教師教學特征的課堂行為評價；（2）從學習認知表達生成，考查學生的學習特征的學習行為評價，可設置行為評價量表（部分量表見表2，附文后）。

表2 數學結構化教學學生行為的觀察量表

2.學習水平評價包括：（1）用概念圖或思維導圖測試學生的認知結構評價；（2）與小單元目標對應的診斷測試的單元學業質量的評價。比如，筆者根據預設的教學目標，設置了三個課堂診斷問題：

①已知冪函數y=（fx）圖像過點（3，），求這個函數的解析式——檢測冪函數一般形式的理解。

結構化教學的最終目的是指向核心素養的思維結構化，因為“四基”“四能”只有通過“思維過程的教學”才能得到落實。這就需要教師理解數學、理解學生、理解教學。對知識結構的分析就是理解數學，對認知結構的分析就是理解學生，結構化教學設計追求學科知識序與學生認知序的統一，將實際的教學活動統一于理想的教學目標之下，保證教學活動的科學性和實效性，這就是理解教學。因此，在新一輪課程改革中，結構化單元教學是貼合新課程、新教材理念的產物，是具有指導性意義的舉措，只有不斷實踐、反思、完善，才能推動新課程改革在課堂教學中落地。