一題多解和一題多變：一道有關拋物線焦半徑問題的探究

吳玉章 苗慶碩

課題信息：江蘇省教育科學“十四五”規劃普教重點課題“指向關鍵能力的高中數學主題單元式教學的實踐研究”，課題編號為B/2021/02/34；江蘇省教研室第十一期立項課題“差異教學在課程基地中應用的實踐研究”，課題編號為2015JK11-LO42.

拋物線的焦半徑問題是拋物線綜合問題中的一類特殊類型，其可以聯系起拋物線的定義（問題的本質）、幾何性質（“數”的屬性）與幾何特征（“形”的特征）、焦半徑公式（三角形式）等，“串聯”起平面解析幾何、平面幾何、函數與方程、三角函數等眾多相關知識，為問題的切入與解決提供較多的思維視角，給問題的解決提供更多的方案與技巧方法，是有效發散數學思維，考查學生“四基”、數學能力以及數學思想方法等方面比較有效的一個重要載體，備受各方關注.

1 問題呈現

問題? 已知拋物線y2=8x的焦點為F，準線與x軸的交點為C，過點C的直線l與拋物線交于A，B兩點，若∠AFB=∠CFB，則|AF|=.

此題以拋物線為問題場景，通過設置過準線與x軸交點的直線l與拋物線交于兩點，利用兩個角相等來創設定交點問題，進而求解相應焦半徑的長度.

涉及拋物線的焦半徑問題，可以從解析幾何的實質入手，利用解析幾何思維來合理進行數學運算與分析處理；也可以從平面幾何的圖形入手，利用平面幾何思維進行邏輯推理與分析處理；還可以從焦半徑的公式入手，利用三角函數思維來合理數學運算、邏輯推理與綜合應用等.不同思維視角的切入，都給問題的解決提供了切實可行的技巧與方法，實現問題的巧妙解決.

2 問題破解

2.1 解析幾何思維

解法1：設線法.

依題意可得p=4，則F（2，0），C（－2，0）.

根據已知可得直線l的斜率存在且不為0，利用圖形的對稱性，不失一般性，設點A，B位于x軸的上方，如圖1所示.

設直線l的方程為x=my－2，其中m>0.設A（x1，y1），B（x2，y2），y1>y2>0.

聯立x=my－2，y2=8x，消去參數x并整理，可得

y2－8my+16=0.

利用韋達定理，可得y1+y2=8m，y1y2=16，則

|AB|=1+m2|y1－y2|=1+m2·64m2－64=8m4－1，|BC|=1+m2|y2|=1+m2·y2.

由拋物線的定義，可得

|AF|=x1+p2=my1－2+2=my1.

由于∠AFB=∠CFB，則FB是∠AFC的角平分線.

由三角形內角平分線定理，得|CF||AF|=|BC||AB|，即4my1=1+m2＼5y28m4－1.

整理并化簡，可得my1y2=32m2－1，即16m=32m2－1，則m2=43，解得m=233.

所以y1+y2=8m=1633，又y1y2=16，解得y1=43，則|AF|=my1=233×43=8.

解后反思：設線法是借助解析幾何思維處理問題的一種“通性通法”，成為解決直線與圓錐曲線位置關系問題時首選的一種基本方法.

2.2 平面幾何思維

解法2：幾何法.

依題意可得，p=4.

根據已知可得直線l的斜率存在且不為0，利用圖形的對稱性，不失一般性，設點A，B位于x軸的上方，如圖2所示.

過點A，B作拋物線準線的垂線，垂足分別為D，E，延長EB交AF于點G.

由于EG∥CF，因此∠GBF=∠CFB，又∠AFB=∠CFB，所以∠AFB=∠GBF，可得|BG|=|FG|.

由∠AFB=∠CFB，則FB是∠AFC的角平分線，利用三角形內角平分線定理可得|AB||BC|=|AF||CF|.

結合拋物線的定義有|AD|=|AF|，可得|AB|·|CF|=|BC|·|AD|.由于EG∥CF∥DA，因此|BG||CF|=|AB||AC|，|BE||AD|=|BC||AC|.

所以有|BG|·|AC|=|BE|·|AC|，可得|BG|=|BE|，又結合拋物線的定義有|BE|=|BF|，故|BG|=|FG|=|BF|，即△BFG是正三角形，從而∠BFG=60°，可得∠AFx=60°.

利用拋物線的焦半徑公式，可得|AF|=p1－cos =41－cos 60°=8.

解后反思：平面解析幾何側重“數”與“形”的結合與轉化，借助代數思維中的數學運算來處理幾何圖形中的邏輯推理問題等，實現問題的突破與應用.

2.3 三角函數思維

解法3：性質法.

依題意可得，p=4.

根據已知可得直線l的斜率存在且不為0，利用圖形的對稱性，不失一般性，設點A，B位于x軸的上方，如圖3所示，過點A，B作拋物線的準線的垂線，垂足分別為D，E.

設∠AFx=，其中為銳角.結合∠AFB=∠CFB，利用拋物線的焦半徑公式可得|AF|=p1－cos =p2sin22，|BF|=p1－cos+π－2=p1+sin2.

由∠AFB=∠CFB知，FB是∠AFC的角平分線，則利用三角形內角平分線定理可得|CF||AF|=|BC||AB|.

結合比例性質，可得|CF||AF|+|CF|=|BC||AB|+|BC|=|BC||AC|.而由EB∥DA，可得|BE||AD|=|BC||AC|.

結合拋物線的定義有|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，即|BC||AC|=|BE||AD|=|BF||AF|，所以|CF||AF|+|CF|=|BF||AF|，即pp2sin22+p=p1+sin2p2sin22，整理可得sin2－2sin 22=0.

解得sin2=12，或sin2=0（舍去），結合為銳角，解得=60°.

所以|AF|=p1－cos =41－cos 60°=8.

解后反思：拋物線的焦半徑三角公式|AF|=p1－cos （為直線AF的傾斜角），是解決與拋物線的焦半徑相關問題常用的結論.借助三角函數思維，結合三角函數的相關知識來巧妙綜合與應用.

3 變式拓展

3.1 同源變式

變式1? 己知拋物線y2=8x的焦點為F，準線與x軸的交點為C，過點C的直線l與拋物線交于A，B兩點，若∠AFB=∠CFB，則|BF|=.

在此基礎上，可以對問題進行一般化的歸納與總結.

結論：已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，準線與x軸交于點C，過點C的直線l與拋物線交于A，B兩點，若∠AFB=∠CFB，則|AF|=2p，|BF|=2p3.

變式2? 己知拋物線y2=8x的焦點為F，準線與x軸交于點C，過點C的直線l與拋物線交于A，B兩點，若∠AFB=∠CFB，則|AB|=.

3.2 同階變式

變式3? 已知拋物線y2=8x的焦點為F，準線與x軸交于點C，過點C的直線l與拋物線交于A，B兩點，若∠AFB=∠CFB，則直線AF的斜率為.

變式1，2，3的參考答案分別為：83，873，±3.

4 教學啟示

此類涉及拋物線的焦半徑問題，往往是多知識點交匯與融合的產物，這樣的創設契合高考數學命題精神，而多知識點交匯也為問題的切入提供了更多的思維視角，給各層面的學生提供了更多的機會，從而更加有效地體現數學試題的選拔性與區分性.

在數學學習中，針對此類涉及圓錐曲線的焦半徑問題，要深刻體會并加以系統學習，把握問題的實質與內涵，構建知識體系，理解技巧方法，形成解題習慣，培養數學品質.