素養視角下幾何模型教學的思考
——由一道幾何問題的師生探討談起

肖 霄

(重慶復旦中學,重慶 400010)

0 引言

數學是一門研究模式的科學.模型是模式的具體化,模型反映了對象之間隱藏的某種規律或關系,這些對象可以是圖象,也可以是數字、抽象的關系,甚至是思維方式.幾何模型,如“角平分線模型、四邊形對角互補模型、角含半角模型、將軍飲馬模型”等廣泛存在于“圖形與幾何”的相關內容中.

核心素養的核心不是單純的知識技能,也不是單純的興趣、動機、態度,而是重視運用知識技能以及解決現實問題所必需的思考力、判斷力與表達力及其人格品性[1].聚焦初中幾何模型,核心素養意味著學生不僅要學習模型關聯的規律、性質和關系,還應具備運用這些模型解決問題的能力.因此,在幾何模型的實際教學中,這種凸顯創造性思維的培養不再局限于“記憶型”的知識習得和重現,而必須是學習者調動主觀能動性的“思考型”深度學習.但在素養理念已經深入中小學教學各個方面的今天,幾何模型教學在實踐中是否符合學生的認知、是否清晰地體現幾何知識的整體結構、是否有利于學生借助幾何模型學習構建完整的知識體系?近期和學生的一次探討讓筆者對以上問題有了進一步的思考.

1 問題呈現與師生探討

例1在△ABC中,D在AB上,E在BC上,∠AED=∠ABC,點F在邊AE上,EF=DE.

1)如圖1,若CE=BD,求證:BE=CF;

圖1

2)如圖2,若CE=AD,點G在邊DE上,∠EFG=∠EFC,求證:CF=2GF;

3)如圖3,若CE=AD,EF=2,∠ABC=30°,當△CEF的周長最小時,請直接寫出△BCF的面積.

這是筆者所在學校九年級一名學生向筆者求助的一道題目.這名學生告知筆者第1)小題已經順利解決,但對第2)和第3)小題束手無策.在隨后的交流中,筆者得知該題來源于中考復習后的練習.在詢問其對這兩道小題的看法時,這名學生告訴筆者,根據條件“∠EFG=∠EFC”以及“EF=DE,EF=2,∠ABC=30°”,可知這兩道小題分別屬于幾何模型中的“角平分線”“定弦定角”模型,結合以往教學中教師對角平分線模型的問題條件和方法的總結,他想通過圖4這樣構造輔助線(即在FC上截取FH=FG,聯結EH)尋找問題突破口(證明點H為FC的中點即可),但接下來證明點H為FC的中點有難度,只能轉而求解第3)小題.看到條件中的“EF=DE,EF=2,∠ABC=30°”,他發現這是以往在圓相關章節學習中涉及的“定弦定角模型”問題,進一步分析可知點B在以DE為弦、半徑為2的圓上,如圖5所示.據此他認為這一小題是與圓相關的最值問題,但經過一番思考和嘗試后,發現動點C的運動特征難以確定,問題求解就此停滯不前.

圖4

圖5

在進一步交流中筆者了解到這名學生對第2)小題有初步思路:由條件“∠AED=∠ABC”以及圖形信息,知其符合“一線三等角模型”中角的關系特征.由此,他得到題目隱含的條件:∠BDE=∠AEC.筆者引導其考慮在“∠BDE=∠AEC,EF=DE,且CE=AD”的條件下,聯想證明三角形全等的條件“SAS”,從而可利用如圖6所示作輔助線的方法(延長DE至點N,使ND=DE,聯結AN)對問題思路展開探尋.這名學生在思考后發現△ADN≌△CEF及△EGF∽△EAN,從而順利解決了問題.同時,當筆者提示“點D為NE的中點,已證得AN=CF以及需要證明CF=2GF”時,這名學生提出是否可利用中位線加以考慮.得到筆者肯定后,他經過幾番嘗試后得到如圖7所示作輔助線的第2種方法(取AE的中點M,聯結DM).

圖6

隨后,筆者詢問在圖4這樣的方法受阻后,是否就認為這里“角平分線模型”不可行,這名學生表示由于題目條件以及以往所學經驗積累,并未聯想到其他辦法.但當筆者詢問當圖4這樣的思路難有突破時,是否嘗試過圖8(延長FG至點H,使FH=FC,聯結EH)這樣的思路,出乎意料的是該學生告知筆者在模型及其習題學習中基本只遇到采取圖4或者向角兩邊作垂線的角平分線問題,對圖8這樣的角平分線結構比較陌生.在對如圖8所示結構進行相應學習后,筆者引導其通過“導角”得到∠BAE=∠DEH,明確原問題轉化為證明點G為FH中點后,結合問題條件和類比以往所學的中點證明方法,這名學生自主探究后發現如圖9所示的第3種方法(過點F作EH的平行線交ED的延長線于點Q).

圖8

針對第3)小題,筆者提示學生考慮△CEF的周長受點C位置的影響,但由∠ABC=30°以及CE=AD,實際上點C的位置受點A的影響.有了前面探究活動的鋪墊,這名學生由第2)小題中△ADN≌△CEF,以及動點A在定直線EF上,發現原問題不是他認為的“定弦定角模型”,而是“將軍飲馬模型”,從而找到了問題的突破口,如圖10所示(類比如圖6所示的方法,作點N關于EF的對稱點N1,聯結DN1交EF于點A1).

從師生探討中分析這名學生思路受阻的成因,雖然幾何模型的相關學習使其能迅速識別題目隱含的模型,進而調動記憶中該模型的相關認知結構以便對問題展開求解,但這也容易造成思維定式,使其難于結合問題條件識別模型的適切性,在運用模型探尋思路受阻時,無法準確判斷是條件挖掘、整合不夠,還是對模型本身隱藏的規律和關系認識有所偏頗或不足.但歸根結底,主要原因在于目前的幾何模型教學存在不合理現象:部分課堂教學只是教授模型的成立條件、運用方法,對模型的本質及其方法由來和知識間的關聯講解不深入,數學思想的體現和滲透的力度不夠;對幾何模型在“圖形與幾何”內容中的意義,特別是在推動核心素養發展方面的作用認識不到位,加之部分教師認為學生在幾何模型的學習和運用主要是如圖11所示的認知過程,忽略了絕大多數學生面對幾何模型問題,特別是如第3)小題這樣的涉及運動變化的幾何最值問題時,由于圖形變化產生的抽象性和不確定性,使得模型的深層建構難以一蹴而就,需要經歷反復、多次的螺旋上升的過程,如圖12所示.

圖11

圖12

因此,亟須對幾何模型教學的內容和方式進行把握與創新,注意與信息技術的有機結合,才能從根本上促進幾何模型教學朝著有利方向轉變.

2 教學思考

在《義務教育數學課程標準(2022年版)》中,“圖形與幾何”作為4個課程內容之一,主要研究幾何圖形的位置關系和數量關系[2].幾何模型用簡潔、直觀,甚至較少的位置和數量條件高度概括了圖形中邊、角隱含的某些規律或性質,能夠為學生的素養提升提供幫助.但無論學習何種幾何模型,模型本身只是一個載體,教師應著力于借助幾何模型這個載體,思考如何引導學生掌握研究幾何圖形的一般思路和基本方法,從幾何模型的學習活動中積累必要的經驗,發展相應的核心素養.綜合前文的論述和分析,筆者認為初中幾何模型教學應聚焦以下3個方面.

2.1 整體把握幾何模型,注重模型與核心素養的聯系

幾何模型是落實“圖形與幾何”課程內容目標、發展學生相應核心素養的載體.因此,一方面,教師要對幾何模型涉及的內容整體分析,包括模型的產生與來源、與之相關的知識結構和聯系以及模型本身在整個課程中的價值和意義.此外,還應特別注意將教師對幾何模型的教學意圖清晰地向學生展示,引起其重視.這里尤為重要的是教學中要強化學生對模型的理解,提煉出貫穿模型背后的知識及方法的本質.以例1中“角平分線模型”為例,模型的幾種結構如圖13所示,其方法本質是在已有一邊一角(角平分線)對應相等的條件下,根據三角形全等判定條件“SAS”或“AAS”進行相應的圖形構造與補充.厘清模型方法的由來方能確立適合學生認知基礎的幾何模型學習主題,也才能在某一模型主題統整下幫助學生建構起脈絡清晰的知識體系,形成邏輯性較強的知識結構.

圖13

另一方面,幾何模型的教學要注意引導學生類比不同幾何模型之間研究方法的異同,深刻感悟方法間的一致性和可遷移性,在此基礎上明晰模型概念、原理及其運用條件,由此建構起有效的認知結構,從而學會用整體的、發展的、聯系的數學眼光思考和分析問題,養成良好的思維習慣,在此過程中與之對應的核心素養才能得到發展.

教師要根據“圖形與幾何”板塊的內容主線,明晰教學中涉及的幾何模型是否與之契合,從而準確挖掘模型中的核心素養要素,進而厘清這些要素在模型概念、原理和性質的習得以及運用階段達到何種要求和發展水平,便于準確把握該階段需要關注的核心素養,使模型無論從內容還是從學習要求上都能與核心素養的目標緊密聯系在一起.

2.2 創新幾何模型教學方式,注重引導學生探究

幾何模型是一類具有高度概括性和抽象性的內容,必然要經歷螺旋上升的學習過程,這就需要學生深度參與學習,也只有這樣才能實現對模型深層次地建構,由此發展創新意識和實踐能力,還要求教師在幾何模型教學時注重引導學生探究式地展開對模型的學習.在幾何模型的學習中,學生的動手操作和自主探究對促進他們理解和運用數學思想、發現模型隱含的規律或關系都有不可替代的作用.例如,上文中,學生在筆者引導下,完善對角平分線模型的認識后,獨立結合問題條件進行探究并發現第3種方法,在順利解決問題獲得良好的數學學習體驗的同時,對角平分線模型也有了更完整的認識,充分感受到“轉化”這一數學思想在問題分析、求解過程中的重要性,同時更深刻地認識到模型運用離不開對問題條件的深度挖掘和有機整合.此外,幾何模型的教學要通過設置層層遞進、適合各認知基礎的學生參與的問題解決活動.例如,在第3)小題的實際教學中可先設問求△CEF周長的最小值,在此基礎上再安排求△BCF的面積,同時還可類比△CEF周長最小(即求CE+CF的最小值)問題,將其改變為求|CE-CF|的最大值,借助一系列問題變式調動各認知水平層級的學生主動參與到模型的探究學習中,嘗試將幾何模型蘊含的規律、性質和重要結論自主探究并建構出來,體會到幾何模型學習的樂趣,增強學習的信心.

幾何模型教學的關鍵在于教師要著力促進學生自主探究、學會探究,以學生的核心素養發展為教學目標,思考如何根據不同模型內容、不同學習要求選擇包括現代教育信息技術在內的何種教學模式更為適當,推動幾何模型教學的師生共進,教學相長.

2.3 重視信息技術的運用,促進信息技術與幾何模型教學的深度融合

現代信息技術的跨越式發展促使課堂教學模式發生了很大的變化,針對幾何模型教學而言,更需要重視現代信息技術的運用.幾何模型的突出特點是其本質不變,但問題情境多樣,特別是以幾何最值為代表的各種幾何模型.在這類模型的問題教學中,利用信息技術讓圖形“動”起來,將抽象的、不易準確把握的圖形變化過程直觀、形象地展示給學生,這樣做不僅可以切實提升課堂教學的有效性,還能培養學生相應的幾何直觀和空間觀念等核心素養.例如,師生探討第3)小題,當學生根據條件“EF=DE,EF=2,∠ABC=30°”,認為這是“定弦定角模型”問題時,筆者并未第一時間指出其思考的不足之處,而是首先肯定其準確識別出這里有“定弦定角模型”,隨后借助幾何畫板軟件,讓其觀察點B在圓上運動時點A和點C的位置,如圖14～16所示.

圖14

圖17

信息技術與幾何模型教學的深度融合使學生得以充分調動多種感官投入問題的探究活動,消弭由于圖形變化導致難以分析而產生的畏難情緒,從而有利于學生在圖形變化中發現數量和位置關系的“變”與“不變”,引導其正確地進行模型識別,為后續準確挖掘圖形隱含的性質,進而順利解決問題搭好“腳手架”,促進幾何直觀、空間觀念等核心素養的發展.

幾何模型的教學需要教師在內容的整體把握、教學模式的改進與創新,以及現代信息技術的深度融合下促進學生積極自主探究,積累必要的經驗,深入體會直觀驗證和演繹推理在幾何模型學習中的重要作用,逐步落實幾何直觀、空間觀念以及推理能力等核心素養目標,在不斷探索幾何模型規律、性質的過程中感悟數學特有的人文韻味.