尋思沉潛如深海 為有源頭活水來
——2023年新高考數學Ⅰ卷第21題的源與流

蘇曉宇

? 浙江省杭州市第七中學

1 試題回顧

(2023全國卷Ⅰ,21)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下:若命中則此人繼續投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽決定第1次投籃的人選,第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

這道題是概率和數列結合的問題.此題出現在次壓軸的位置,在創新和應用方面都有所考查,區分度強,三個小問層層遞進,上一問均對下一問的解答有輔助作用.第(2)問深入考查了全概率公式,其本質上是機器學習理論“馬爾可夫鏈”的模型,這也體現了數學理論的統一性.第(3)問本質上是“期望的線性性質”.

筆者對本題第(2)問和第(3)問進行了研究,一題多解,除高中的概率與數列結合的方法外,還提供了比較簡潔的高等數學方法.

2 思維導圖

第(2)(3)問的思維導圖分別如圖1、圖2所示.

圖1

圖2

3 多維視角,解法探究

3.1 第(2)問的解法探究

思路1：全概率公式,分析遞推.

在第(1)問的基礎上,進一步分析,發現第i+1次投籃的人是甲只依賴于第i次投籃的情況.第i+1次投籃的人是甲可分為兩種情況:第i次投籃的人是甲,第i+1次投籃的人也是甲;第i次投籃的人是乙,第i+1次投籃的人是甲.

根據全概率公式,有

P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi).

①

根據基本事實,第i次投籃的人不是甲就是乙,即滿足P(Bi)=1-P(Ai).

更簡單地,我們記P(Ai)=pi,則P(Bi)=1-pi.

那么,①式可寫作

pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2.

通過以上分析,可以得出數列的遞推式.問題轉化為已知一階線性遞推式求數列的通項.以下提供三種思路:

(Ⅰ)同除法

對于遞推式pi+1=0.4pi+0.2,兩邊同除以0.4i+1,可得

②

采用累加法,即

qi=q1+(q2-q1)+(q3-q2)+……+(qi-qi-1).

(Ⅱ)配湊法

(Ⅲ)作差法

pi+1=0.4pi+0.2,i∈N*,

③

pi=0.4pi-1+0.2,i≥2.

④

③-④,得

pi+1-pi=0.4(pi-pi-1).

不妨令ri=pi+1-pi,則ri=0.4ri-1,即{ri}為等比數列.

又r1=p2-p1,由(1)可知p1=0.5,p2=1-0.6=0.4,則r1=-0.1,所以ri=0.4i-1×(-0.1).

所以pi+1-pi=0.4i-1×(-0.1).

采用累加法,當i≥2時,可得

思路2：數形結合,直觀遞推.

設第n次甲投籃的概率為an,第n次乙投籃的概率為bn.根據題意列出第n次投籃到第n+1次投籃的狀態轉移,如圖3所示.

圖3

易得到遞推關系式

an+1=0.6an+0.2bn.

⑤

結合基本事實an+bn=1,代入⑤式整理可得an+1=0.4an+0.2.之后的做法同思路1.

思路3：馬爾可夫,一招制勝.

參考《概率論與數理統計》、《普通高中數學選修4-9》(人教版)中馬爾可夫鏈的相關知識,依據第(2)問的分析,對照相關系數寫出概率轉移矩陣

由題干信息“由抽簽決定第1次投籃的人選,第一次是甲、乙的概率各為0.5”,不難得出本題的初始狀態π(1)=(0.5 0.5).

3.2 第(3)問的解法探究

思路1：利用定義,代入公式.

由(2)得,第i次投籃是甲的概率為

表1

思路2：利用結論,突出本質.

由(2)得,第i次投籃是甲的概率為

設在第i次投籃中甲的投籃次數為Yi,則Yi服從兩點分布,且

P(Yi=1)=1-P(Yi=0)=pi.

由題干中給出的結論,則

4 追根求源,探索本質

4.1 新教材溯源

本題源自人教A版高中數學選擇性必修三“7.1.2全概率公式”第一節,上文中解題過程應用了全概率公式的思想,它為我們確認后一個狀態與之前一個或幾個狀態之間的遞推關系提供了思路.

在新教材人教A版高中數學選擇性必修三第91頁復習參考7提供的“拓展探索”第10題中,出現了以下馬爾可夫鏈問題:

甲、乙、丙三人相互做傳球訓練,第1次由甲將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的任何一人,求n次傳球后球在甲手中的概率.

這是一個三狀態的馬爾可夫鏈問題,為解決此問題,我們設第n次傳球后,球在甲手中的概率為an,球在乙手中的概率為bn,球在丙手中的概率為cn.由于第n次傳球后球在甲手中由兩種情況構成:第n-1次傳球后球在乙手中,或第n-1次傳球后球在丙手中.結合全概率公式,可以列出

⑥

⑦

⑧

對比計算過程可知,三狀態的馬爾可夫鏈問題的計算用傳統方法非常復雜,而直接采用馬爾可夫轉移矩陣法過程更為明確和簡潔.

4.2 過往考題溯源

2023年杭州二模概率統計大題摘錄:

假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲,每一局賭徒賭贏的的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1元,每一局賭徒賭輸的概率為50%,且賭輸就要輸掉1元,賭徒就會一直玩下去,直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲:一種是手中賭金為0元,即賭徒輸光;一種是賭金達到預期的B元,賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A(A∈N*,A

圖4

當賭徒手中有n元(0≤n≤B,n∈N)時,最終輸光的概率為P(n),請回答下列問題:

(1)請直接寫出P(0)和P(B)的值;

(2)證明{P(n)}是等差數列,并寫出公差d.

5 解題感悟,引導教學

近年來的新高考中,許多概率統計類題目考查學生分析問題和解決問題的能力,以及創新應用能力.隨著大數據時代的到來,概率與統計在應用方面體現出獨特的價值.如近年來考查的馬爾可夫鏈實際上是人工智能與機器學習的前沿內容.筆者通過挖掘本題的求解過程及研究近幾年新高考概率統計類題目,得出如下兩點教學啟示.

(1)本題源于教材,高于教材,因此在復習中應該引導學生重視教材中知識點的掌握及教材課后習題的挖掘.高考題中概率統計類選擇題、填空題多數為學生常見的經典試題,因此,我們在復習中應回歸課標、教材,喚醒核心知識.

(2)馬爾可夫鏈是概率論和統計學的重要模型,在實際生活中應用廣泛,如天氣預測、股票市場分析、自然語言處理等.在高考中多次出現此類問題并不意味著學生要去學習大學統計模型,而是要讓學生體會統計與生活的密切聯系,教師在教學中應滲透統計思想,激發學生對概率統計的學習興趣.通過對這類題目深入淺出的講解,適當拓寬學生的視野,促進學生對統計思想的理解和掌握;也可適當利用計算機進行編程實現問題求解,培養高中生的計算機編程能力.