談“以生為主”高效數學課堂的建構*

丁良棟

? 南京師范大學第二附屬高級中學

在高中數學教學中,部分教師為了追求教學進度常獨占課堂,導致學生的學習積極性難以被激發,教學效率低下.為了改變這一現狀,教師要改變傳統的以講授為主的教學模式,學會換位思考,放手讓學生參與課堂,構建“以生為主”的和諧平等的高效數學課堂.那么,“以生為主”就要求教師在制定教學策略時以學生心理特征、思維特點、知識經驗為前提,從學生的角度去思考學習內容,從而獲得與學生在情感上和思維上的共鳴,真正調動學生參與學習的積極性,讓教學內容在學生的參與中不斷豐富,讓教學過程在學生的參與中不斷優化,進而打造出內容豐富、異彩紛呈的高效數學課堂[1].筆者在教學中轉換角色,嘗試用學生的眼光去審視教學內容,用學生的思維去思考問題,現與同行切磋交流,以期共鑒.

1 想學生之所想

課堂猶如一場生動的話劇,若想精彩演繹,教師就不能唱“獨角戲”,要通過生動的語言、豐富的表情來傳遞感情,知曉彼此所想所思.教師要學會聆聽和觀察,通過語言交流明白學生之所想,通過觀察明晰學生之所思,從而通過巧妙的引導幫助學生走出思維誤區,建構和諧、高效的數學課堂.

案例1已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={x|x2-mx+2=0},且N?M,求實數m的取值范圍.

在案例1的教學中,教師沒有急于給出解題過程,而是通過共同探究的模式開展教學活動.講解前,預留時間讓學生獨立思考,待學生對問題有了初步的認識后,再順應學生的思路開展教學活動,借助學生的真實反饋發現教學盲點,通過巧妙的引導幫助學生走出思維誤區.

師:根據已知求出集合M={1,2},那么由N?M,你能得到什么有價值的信息呢?

生1:集合N中的元素可能是1,也可能是2.

師:你們贊成生1的說法嗎?

生2:集合N還可能是空集.

師:請你準確歸納一下,集合N等于什么?

生2:N=?或N={1}或N={2}或N={1,2}.

師:大家還有不同的意見嗎?(學生表示對生2的說法沒有異議.)

師:很好!從N?M,我們知曉了N的幾種情形,接下來就逐個探究.當N=?時,說明什么呢?當N為其他情況時,又分別說明了什么呢?

生3:當N=?時,說明方程x2-mx+2=0無實數根,所以Δ=m2-8<0;當N={1}時,說明x=1是方程x2-mx+2=0的根.

師:“說明x=1是方程x2-mx+2=0的根”這句話表達得準確嗎?(教師打斷學生發言.)

生3:還說明方程x2-mx+2=0有兩個相同的根x1=x2=1.(學生思考后給出答案.)

師:很好,“相同”這點是大家最容易忽視的.對于N={1}的情況,該如何求m的值?

生3:當N={1}時,Δ=m2-8=0且1-m+2=0.

順著這個思路,學生繼續后面的探究.本題雖然看似簡單,然而對于高一學生來講想正確完整地求解并非易事.首先,學生對空集的概念理解不夠深入,在解題時容易因考慮不周而出現遺漏;其次,學生在理解N={1}或N={2}時,容易直接將x=1或x=2代入方程求m,忽視“兩個相同的根”這一關鍵條件,此處是一個易錯點.其實,從教學過程中可以看出,教師在易錯點的處理上顯得有些急躁,當學生出現理解偏差時不應急于打斷,應該讓學生充分暴露錯誤.例如,當N={1}時,學生的想法是將x=1代入方程,求得m=3,這時引導學生進行檢驗,學生自然容易發現當m=3時并不能保證集合有唯一的元素1,此結論與學生所想出現了沖突,自然會激發學生一探究竟的熱情.這樣,學生經歷發現錯誤和糾正錯誤的過程,印象會更加深刻,可有效避免錯誤的再次發生.因此,在教學過程中,教師不要急于引導,應放手讓學生經歷探究的過程,這正是教學中不可或缺的,是了解學生的絕佳機會.

2 知學生之所疑

數學知識是抽象的、復雜的,學習中學生難免會產生疑惑和不解,若不能及時得到解決,勢必會影響學習信心,同時也不利于后面教學活動的開展.教師在組織教學的過程中,要注意觀察學生,當學生表情凝重或竊竊私語時,很可能是思維出現了“疙瘩”,此時教師可以嘗試站在學生的角度重新思考,以學生的認知為起點,加之有效的引導讓學生真正釋疑.

案例2函數奇偶性概念的應用.

學生對簡單的函數,如y=2x,y=3x2等的圖象了如指掌,可以結合函數圖象的對稱性輕松判斷函數的奇偶性.然對于一些復雜函數,如y=x+x-1,y=x3+2x等,若根據圖象來判斷顯然很難,那么如何突破這一難點呢?教師應引導學生自己去發現、去探究、去交流,從而找到判斷函數奇偶性的一般方法.

師:如果讓你們判斷函數y=2x,y=3x2的奇偶性,大家會用什么方法呢?

生1:可以利用圖象法,判斷圖象是否關于原點或y軸對稱.

師:很好.那么函數y=x+x-1,y=x3+2x的奇偶性呢?(給學生時間思考并鼓勵學生大膽提問.)

生2:這兩個函數的圖象很難畫出來,沒有圖象怎么觀察對稱關系呢?是不是利用函數奇偶性的概念來判斷呢?

師:相信大家有這個困惑,確實以上兩個函數難以用圖象法來判斷.現在先思考——對于函數f(x)=x3,f(-1)和f(1),f(-2)和f(2)各有什么關系?

生3:f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2).

師:對于函數f(x)=x3,f(-x)與f(x)有什么關系呢?

在教師的鼓勵和引導下,學生根據上面的探究經驗,大膽地依據奇偶性的概念推理出以上兩個函數為奇函數.同時,教師用幾何畫板演示了函數y=x+x-1,y=x3+2x的圖象,學生發現兩函數圖象確實都分別關于原點對稱,進而驗證了學生推理的正確性,提升了學生不斷探索的信心.

在教學過程中,通過循序漸進的引導,不僅消除了學生的疑惑,而且幫助學生找到了判斷函數奇偶性的重要方法;同時,讓學生經歷了由具體到一般的轉化過程,提升了抽象概括能力;另外,幫助學生理解了概念的內涵,抓住了問題的本質,讓學生在探究中體驗數學學習的樂趣,進而提升了數學學習的信心.

3 思學生之所錯

在學習過程中錯誤是不可避免的,因此教師在面對錯誤時要有一顆寬容的心.當然,寬容并不是對其置之不理,而是借助錯誤所暴露出的問題進行仔細推敲,找到問題的癥結,從而通過合理的開發和利用將其轉化為有價值的教學資源.

案例3設數列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,2Sn=(n+1)an(n∈N*).

(1)求a2,a3,a4的值;

(2)求數列{an}的通項公式.

教師設計本題的意圖是讓學生根據問題(1)猜想出{an}的通項公式,然后利用數學歸納法加以證明,但教學卻并沒有按照預期進行.

生1:由已知易得a2=2,a3=3,a4=4,又a1=1,所以猜想an=n.將an=n代入2Sn=(n+1)an(n∈N*)驗證.一方面2Sn=2(a1+a2+……+an)=(n+1)n,另一方面(n+1)an=(n+1)n,所以當an=n時,滿足條件2Sn=(n+1)an(n∈N*),因此an=n.

生1的證明方法給出后,學生感覺有問題,但是又不知道問題到底出在哪,為了引導學生自己發現錯誤,教師給出了一個反例.

找到問題的癥結后,學生利用常規的數學歸納法順利地證明了猜想.教師思考生1的驗證過程,發現利用代入法驗證也有其合理的一面,為此引導學生進一步探究,尋找另外一種解法.

師:生1的方法給了我很大的啟示,如果可以繼續證明符合條件的數列是唯一的,是不是推理也就成立了呢?對于本題“唯一”的推理,該如何進行呢?

生2:根據條件,由a1可得a2,由a2可得a3,……,由an可得an+1,現已知a1,因此只要對任意的n∈N*,由an求得的an+1是唯一的,數列{an}就一定唯一.

師:很好!大家能用這個方法來驗證通項公式an=n是唯一的嗎?

就這樣,一個猜想問題的推理經過再探究獲得了新生,學生又找到了驗證猜想的另外一個方法.接下來教師又引導學生總結歸納出了“將結果代入條件驗證”的解題步驟,這樣學生不僅改正了錯誤,而且給“錯誤”賦予了新的意義.

其實,很多錯誤也有其閃光的一面,有其一定的合理性,在教學中教師不要急于否定,不妨順著學生的思路繼續探究,這樣不僅可以發現問題的癥結,而且若能“去偽存真”進行合理加工,也許會收獲一些意外的驚喜.

總之,教師不能獨占課堂,應多從學生的角度進行開發和建構,讓學生積極地參與到教學活動中來,進而使課堂更加民主、高效.