高中數學中如何實施問題鏈教學

謝小花

? 福建省廈門市第二中學

數學學習是不斷解決問題的過程,所以在課堂教學中,將問題作為數學教學的主線,通過課堂提問來推動課堂的進程是非常關鍵的.課堂教學應圍繞教學目標進行問題的設計,每個問題之間需要存在一定的關聯性和遞進性,這樣就形成了課堂教學的問題鏈.因此,如何在高中數學課堂教學中實施問題鏈教學成為了問題鏈教學的關鍵.本文中將通過橢圓的離心率問題對高中數學問題鏈教學進行說明.

1 原題呈現

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點P(0,-3)的直線l的斜率為k,交橢圓E于不同的兩點B,C,直線AB交y=-3于點M,直線AC交y=-3于點N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范圍.

2 試題分析

2.1 問題(1)的分析

2.2 問題(2)分析

3 問題鏈教學過程

3.1 試題分析問題鏈

教師:通過對試題題干的閱讀,我們能夠從中獲得什么信息?

教師:很好,這樣橢圓的方程已經算出來了.有沒有同學發現橢圓的四個頂點所構成的四邊形有什么特點?

學生:四邊形為菱形.

教師:因此可以直接利用菱形的面積來計算.下邊我們分析問題(2),通過問題(2)的條件能發現什么?

學生:點P(0,-3)和M,N都在直線y=-3上,同時A,B,M三點共線,A,C,N三點共線.通過點P(0,-3)能夠將直線l表示為y=kx-3.

教師:非常好!發現3個三點共線的條件是非常重要的,這對后續解題很關鍵.這里通過點P(0,-3)表示直線l的方程,將其與橢圓方程聯立,然后利用韋達定理表示點B,C的橫坐標的關系.同學們計算一下.

(學生聯立方程,通過韋達定理表示相應關系.)

教師:有沒有同學發現這里老師漏掉了什么內容?

學生:漏掉了根的判別式Δ>0.

老師:非常好,直線與橢圓的交點問題是需要考慮判別式的.直線與橢圓存在兩個不同的交點,說明Δ>0.通過計算得到k2>1,這是判斷k的取值范圍最關鍵的一步.前面有同學已經說到了存在A,B,M和A,C,N三點共線的關系,通過這個關系可以得出什么結論呢?

學生:根據題目中所給出的條件可以表示出點M,N的橫坐標.

學生:通過作圖可以發現M,N兩個點在點P的同一側.

學生:這里計算出了|k|≤3.

教師:結合前邊得到的k2>1,可得k的取值范圍為-3≤k<-1或1

評析：通過這樣的問題鏈設計,學生在教師的引導下分析解題思路,然后進行計算,并在解題過程中認識到這類問題的解題策略,實現對所學知識的融會貫通,構建自己的知識網絡體系.

3.2 一題多解問題鏈

教師:上述解答是最常規的一種解題策略.解析幾何問題可從多個角度進行分析,從而找到解決問題的思路.是否還有其他方式求解問題(2)呢?

學生:先設點M,N的坐標為M(xM,-3),N(xN,-3),結合點A(0,-2),就可以得到直線AB,AC的方程,然后結合直線與橢圓方程表示出xM,xN,再根據兩點的坐標得到k值的表達式.

教師:由P,B,C三點共線可以得到一個關于xN,xM的關系.請同學們求出這個關系式.

教師:通過B,C兩點的坐標也能得到直線l的斜率k與xM,xN的關系,請同學們求出這個關系式.(學生通過兩點坐標計算斜率的公式來對直線的斜率進行計算.)

教師:在解決解析幾何問題的,可從不同的角度來進行分析求解,從中找到更加快捷的問題解決方式,在解題正確的前提下提升解題效率.

評析：這個解題思路是利用M,N兩點的坐標來表示AB,AC的方程,然后聯立直線方程與橢圓方程表示B,C兩點的坐標,通過三點共線找到斜率的表達式,從而解決問題.教學時引導學生從不同的角度分析問題,能夠有效鍛煉學生的邏輯思維,培養學生的數學核心素養.

3.3 推廣探究問題鏈

教師:結合問題(2)的求解過程,同學們是否能發現問題(2)中所給的條件具有什么特點?

學生:沒有發現.

教師:問題(2)所展示的是特殊情況,我們將它一般化,看看該如何表達?

教師:很好,這是本題的一般式,由此可得到什么結論呢?

學生:可能與點M,N的橫坐標之間的關系相關.

教師:很好!從這個結論可以發現,在一個確定的橢圓中,xM+xN的值與直線l的斜率相關,當t≠-b時,確定了直線l的斜率就能夠確定xM+xN的值.當t=b時,xM,xN中有一個值為0,但是xM+xN的關系依然成立.-tt時,點M,N在y軸的同側.xMxN的值與t相關.

評析：通過將問題從特殊到一般進行推廣,能夠更好地讓學生建立數學模型,在解決類似問題的過程中可以根據這個一般模型來分析問題,有效提升解決問題的能力.同時,通過問題鏈發現特殊問題的一般模型,可以更好地積累數學模型的構建經驗,從而提升學生的數學學科核心素養.

4 問題鏈設計原則與策略

4.1 問題鏈的設計原則

高中數學教學中,問題鏈教學需要按照問題鏈設計的原則來進行.首先是“最近發展區”原則.在設計問題鏈時,要充分考慮每個學生的“最近發展區”,使所設計的問題能夠達到教學需求,實現教學目標.其次是激發學生學習興趣原則.問題鏈設計不能是枯燥無味的,要根據學生的興趣愛好設計問題帶動學生的情緒,激發學生學習和解決問題的興趣.再次是循序漸進原則.學習的過程是由淺入深、循序漸進的,學生通過這個過程來進行知識體系的構建.因此,在問題設計的過程中需要對學生的思維進行引導,讓學生的知識體系構建達到新的高度.最后是整體性原則.問題鏈中的所有問題應該是一個有機的整體,同時所有問題與教學目標、教學重點和教學難點存在緊密的聯系,圍繞教學中心來設計問題.

4.2 問題鏈的設計策略

每個人都存在探究的欲望,所以在進行問題鏈教學設計時,所設計的問題首先要能夠滿足學生的探究欲,能促使學生思考問題,引導學生進行知識的理解和構建.其次,需要根據新舊知識的聯系進行設計.教學的過程就是學生學習新知識、復習舊知識的過程.教師在設計問題鏈時,需要有效結合新舊知識的聯系,讓學生通過對舊知識的回顧和新知識的學習,將所學知識建立完善的體系,有利于學生對知識的掌握.再次,需要利用數學實驗進行問題鏈設計.通過實驗設計問題能夠有效提升學生觀察、猜想、分析、證明數學問題的能力,調動學生的學習主動性,化被動式學習為主動學習.最后,根據變式進行問題設計.通過變式教學,培養學生的思維能力,活躍學生的思維,幫助學生建立更加完善的知識體系.

本文中展示了問題鏈教學在解題教學中的應用,并對解題教學中的問題鏈設計進行了探討.通過問題鏈教學,提升學生對數學知識的掌握程度,讓學生對數學學習充滿興趣,更具積極性和主動性,從而使學生的數學能力得到有效提升.