搭建探究平臺 促進思維深耕

? 浙江省衢州新星初級中學 周靈龍

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出:要選擇能引發學生思考的教學方式,改變單一講授式教學方式,注重啟發式、探究式、參與式、互動式教學,讓學生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學習過程中感悟基本思想,積累基本活動經驗,促進核心素養的發展.數學探究活動就是在表達、質疑、探究、討論、理解等一系列過程中形成的一種主動探求知識以及重視解決問題的學習方式,是培養學生實踐能力和創新精神的有效手段,可見探究活動在數學學習中有非常重要的地位.筆者在教學實踐中積極探索研究,對于如何挖掘探究活動素材以及如何組織探究活動,有以下思考.

1 借題探究,激發思維尋本真

案例一(浙教版八上第63頁探究活動)有甲、乙兩個三角形,甲三角形的內角分別為10°,20°,150°;乙三角形的內角分別為80°,25°,75°.你能把每一個三角形分成兩個等腰三角形嗎?畫一畫,并標出各角的度數.

大部分學生順利解決了問題,如圖1.

圖1

追問:你還能找到這樣能被分割成兩個等腰三角形的三角形嗎?自己畫一畫,并標出對應角的度數.

學生經獨立思考、合作探究后能畫如圖2所示的結果:

圖2

思考:這樣的三角形存在怎樣的特征?

結論1：直角三角形斜邊上的中線將三角形分割成兩個等腰三角形.

結論2：存在一個內角是另一個內角的兩倍.

結論3：存在一個內角是另一個內角的三倍.

引導學生驗證上述三個結論是否正確.

結論1顯然成立.

對于結論2,不妨設∠A=α,∠B=2α,如圖3,只需要在∠ACB中分割出∠ACD=∠A即可,很顯然這里需要保證∠ACB>∠A,即0°<∠A<45°.

圖3

對于結論3,不妨設∠A=α,∠B=3α,如圖4,只需要在∠ABC中分割出∠ABD=∠A即可,很顯然0°<∠A<45°.

圖4

進一步探究,是否僅有三種可能性.

由題可知最小角不被分割,不妨設最小角∠A=α,分割的角是∠B或∠C是等價的,不妨分割∠B.

(1)當DA=DB時,如圖5,則∠BDC=2α.若要使△BDC為等腰三角形,則有以下幾種情況:

圖5

若∠C=∠CBD,則此時∠ABC=90°;

若∠C=∠BDC=2α,此時存在一個內角是另一個內角的兩倍;

若∠CBD=∠BDC=2α,此時存在一個內角是另一個內角的三倍;

(2)當BD=BA時,如圖6,易得△BDC為鈍角三角形,則有∠A=2∠C;

圖6

(3)當AB=AD時,如圖7,易得△BDC為鈍角三角形,則有∠ABC=3∠C.

圖7

綜上,可得結論:若三角形為直角三角形,連接斜邊上的中線,就可將三角形分割成兩個等腰三角形;若三角形存在一個角是另一個角的2倍(較小角小于45°),則可分割第三個角,將三角形分割成兩個等腰三角形;若三角形存在一個角是另一個角的3倍(較小角小于45°),則可分割三倍角,將三角形分割成兩個等腰三角形.

解決問題：在△ABC中,∠A=30°,P,Q分別是邊AC和BC上的動點,連接BP和PQ,把△ABC分割成△ABP,△BPQ,△PQC,若分成的這三個三角形都是等腰三角形,求∠C的所有可能值.

學生獨立完成后,交流補充,形成解題思路.

因為∠A確定,所以分三類討論:

當AB=AP時,∠CPB=105°,它被分割成兩個角,只能是存在兩倍角的三角形中的第三角或三倍角,則有四種情況,如圖8.

圖8

當PA=PB時,∠CPB=60°,它被分割成兩個角,只能是存在兩倍角的三角形中的第三角或三倍角,則有四種情況,如圖9.

圖9

當BA=BP時,∠CPB=150°,它被分割成兩個角,因為不存在三倍角三角形,只能是存在兩倍角的三角形中的第三角,則有兩種情況,如圖10.

圖10

綜上,∠C的度數有可能是10°,20°,25°,35°,40°,50°,80°,100°.

一次簡簡單單的探究活動,讓學生“既見樹木又見森林”,通過連續追問,讓學生看到問題背后的數學本質.在學生完成探究活動中兩個三角形的分割后,順勢而下追問“你還能找到這樣能被分割成兩個等腰三角形的三角形嗎?”喚起學生的思考,激發學生的思維.當學生找到這樣的三角形后,乘勢而上追問“這樣的三角形存在怎樣的特征?”再一次激發學生的思維,讓學生帶著問題進入深度思考探究.一次次的追問,就是一次次地為學生搭建探究的平臺.隨著思維的深耕,學生找到了這類三角形的特征,也慢慢找到了數學知識的本質.同時,學會了怎樣用數學思維思考現實世界的方法,揭示知識背后的本質屬性,建立數學對象之間的邏輯聯系,形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質,更為以后遇到類似問題進行思維上的遷移做了示范與引導,培養科學態度與理性精神.

2 引問探究,活躍思維尋本真

案例二復習動點問題:如圖11,在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,點P從點A沿邊AB向點B以1個單位每秒的速度移動,同時點Q從點B沿邊BC向點C以2個單位每秒的速度移動,設運動時間為t.根據以上條件你能提出哪些問題?

圖11

引導學生根據題目所給條件對問題進行設計,學生提出的問題有:

問題1當t為何值時,△QDP為等腰三角形?

問題2當t為何值時,QP⊥QD?

問題3當t為何值時,△QDP為直角三角形?

問題4如果點P,Q運動到AB,BC延長線上時,△QDP為直角三角形,求t的值.

問題5當t為何值時,△QDC與以Q,B,P為頂點的三角形相似?

問題6當t為何值時,△QDP的面積與矩形ABCD的面積之比為5∶8?

問題7是否存在t,使△QDP的面積等于26?

問題8若△QDP的面積為S,試用t的代數式表示S,并求出S的最小值.

問題9四邊形QBPD的面積是否為定值?如果是,求出定值;如果不是,說明理由.

案例二中教師給出條件引導學生設計問題,一個又一個問題,搭建了探究的平臺,激發了學生的學習興趣.在興趣的驅動下,學生設計出了難度逐漸增大的問題串,把分散的知識點進行梳理與整合,通過師生共同對問題的探究、挖掘、引申、加工改造,達到舉一反三、觸類旁通的目的.在“提出問題—解決問題”的反復循環過程中,培養了學生提出問題的能力,鍛煉了學生用數學語言表達的能力,訓練了學生的發散性思維,提高了學生解決問題的水平,切實提高了課堂教學的有效性和效率.

3 改題探究,開拓思維尋本真

案例三(浙教版八上作業本第34頁)“正多邊形的鑲嵌”.

問題1用一種正多邊形鑲嵌平面.

以小組為單位,用正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形進行實驗操作,能否只用一種正多邊形鑲嵌平面?

結論:由正三角形、正方形、正六邊形能單獨鑲嵌平面,單獨用正五邊形、正八邊形不能鑲嵌平面.

探究:只用一種正多邊形鑲嵌平面的條件是什么?

結論:用一種正多邊形單獨鑲嵌的只有正三角形、正方形、正六邊形.

問題2用兩種正多邊形鑲嵌平面,可能有哪幾種組合?請用手頭的正多邊形試一試.

從簡單的三角形入手,可以與正方形搭配.

設同一頂點處,正三角形個數為n,正方形個數為m,則有方程60n+90m=360,解得n=3,m=2,如圖12.

圖12

三角形與正六邊形搭配.

設同一頂點,三角形個數為n,正六邊形個數為m,則有方程60n+120m=360,解得n=2,m=2或n=4,m=1,有兩種拼法,如圖13.

圖13

結論:由任意兩個正多邊形,可得an+bm=360(其中m,n為正多邊形的個數,a,b為正多邊形的每個內角的度數),通過有序思考可以得到所有能鑲嵌平面的情況.

問題3用三種正多邊形鑲嵌平面.

根據問題1、問題2的探究,可得方程an+bm+cf=360,請找出一種鑲嵌方式并畫出圖形.

易得1×60+2×90+1×120=360,所以1個正三角形,2個正方形,1個正六邊形,可以鑲嵌平面;又2×60+1×90+1×150=360,所以2個正三角形,1個正方形,1個正十二邊形,可以鑲嵌平面.如圖14.

圖14

問題4用四種及以上正多邊形鑲嵌平面.

經過思考,內角度數最小的四種正多邊形的內角度數和已經大于360°了,所以不存在用四種及以上正多邊形鑲嵌平面的情況.

歸納總結,提出新問題“你還想探究什么問題?”課余時間請自行探究并設計美麗的正多邊形鑲嵌平面圖形.

教師不滿足“正多邊形的鑲嵌”學習中兩個單一簡單的問題,通過改動促使探究活動深入.改動正多邊形的種類,從一種—兩種—三種—四種及以上正多邊形鑲嵌,看似是條件的微改動,實則是探究活動平臺搭建的大格局.在正多邊形種類的不斷增加中,學生的思維深度和廣度也不斷同步拓寬了,學生對于正多邊形鑲嵌問題的認識也在不斷地更新,一直更新至“頂級配置”——正多邊形的鑲嵌問題最多可以有三種正多邊形,促使學生運用已有數學知識解決實際問題,正多邊形鑲嵌問題的數學本真在開拓思維的探究活動中得以顯現.學生經歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程,學會用數學的眼光觀察現實世界,理解現象背后的數學原理,感受數學在實際生活中的應用,體會數學的價值,欣賞并嘗試創造數學美,形成對數學的好奇心與想象力,主動參與數學探究活動,發展創新意識.這樣的探究活動變一道題為一節課甚至兩節課,學習的時間可以被計量,但探究的價值卻不可估量.

在數學的探究活動中,借助一道道數學題為學生搭建探究的平臺,激發學生的數學思維,不斷深入尋找問題本真;在課堂中,引發學生一次又一次提出問題,搭建探究活動的平臺,學生在提出問題和聆聽同伴問題的過程中,層層深入思考,思維進一步得到了活躍,尋求數學知識的本真;一次次條件的微改動,拓展了學生的思維,學生的思維在激發、活躍、拓展中不斷得到深耕.長此以往,學生的學習力、思維品質、數學素養都會得到很大的提升.教師一次次設計探究問題、挖掘探究材料、搭建探究平臺的同時,也是一次次探究的過程,教師的思維也得到了深耕.學生在成長,教師在提升,“教學相長”得到了生動的詮釋.