例析目標意識在解題中的應用

? 西華師范大學 姚山雪 李紅梅(通訊作者)

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》提出以素養(yǎng)為導向,落實“立德樹人”的根本任務.波利亞在《怎樣解題》中提出“中學數(shù)學首要的任務就是加強解題的訓練”,因此培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑是培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力.

目標意識是指對目標重要性的認識,解題活動就是在目標意識的監(jiān)控下進行的有目的的思維過程.但在應試教育的影響下,許多教師不能將解題的重點放在分析目標上,而是將大量時間花費在技巧歸類、總結(jié)題型的套路上,導致學生解題能力得不到有效提升.下面以一道幾何題為例,分析目標意識在解題中的應用.希望能引起教師對學生目標意識培養(yǎng)的重視.

1 例析目標意識在解題過程中的應用

俗話說“解題不在于多,而在于精”.解題教學中,若選用過多類型的例題來剖析,學生一方面要多解題,另一方面要體會目標意識的作用,則會手忙腳亂.筆者認為一題多解類題目更能幫助學生從整體直觀地體會解題過程中目標意識所發(fā)揮的作用.同時,一題多解類題目也可培養(yǎng)學生從多角度思考問題的能力,是最能鍛煉學生思維能力的題目類型.

“圖形與幾何”是初中數(shù)學的重要模塊之一.然而對學生來講,平面幾何的學習是一個挑戰(zhàn).首先,幾何概念的抽象加大了理解難度;其次,幾何語言的表達難以規(guī)范;最后,復雜圖形分析難度高.因此,平面幾何可以很好地考查學生的綜合解題能力.基于此,本文中將通過一道幾何題的一題多解來分析目標意識是如何幫助我們解題的.

1.1 例題呈現(xiàn)

如圖1,在△ABC中,AC=CB,∠ACB=120°,點D在AB邊上,∠EDF=60°,當D為AB的中點且∠EDF的兩邊分別交線段AC,BC于點E,F時,求證:DE=DF.

圖1

1.2 例題分析及解答

思路1：要證DE=DF,即證兩條線段相等,根據(jù)已有經(jīng)驗要證明線段相等,可以通過證明三角形全等來實現(xiàn).圖1中DF與DE所在的三角形只有△ADE和△DFB,根據(jù)所給條件無法證明這兩個三角形全等.此時可以通過添加輔助線來構(gòu)造三角形,過點D作AC,BC的高線構(gòu)造兩個直角三角形即可證明.

目標意識分析：圖中沒有直角三角形,如何構(gòu)造?思維遇到死角.當目標難以從正面接近,可逆向思考,將試題中的結(jié)論反置為條件,以結(jié)論為解題的抓手.如本題中將證明DE=DF轉(zhuǎn)化為證明三角形全等(包含DE,DF邊的兩個三角形).要實現(xiàn)新目標,結(jié)合題設條件D為AB的中點,可過點D作高構(gòu)造直角三角形.作高構(gòu)造直角三角形在中學幾何題目中是十分常見的方法,學生很容易想到.

證明：如圖2,過點D作DM⊥AC,DN⊥BC,垂足分別為M,N,可得∠DMA=∠DNB=90°.由AC=CB,得∠A=∠B.再由D是AB的中點,得DA=DB.因此在△ADM與△BDN中,∠A=∠B,∠DMA=∠DNB、DA=DB,所以△ADM≌△BDN(AAS),則DM=DN.又∠ACB=120°,∠EDF=60°,所以∠DEC+∠DFN=180°.因為∠DEC+∠DEM=180°,所以∠DEM=∠DFN.在△DME與△DNF中,∠DME=∠DNF,∠DEM=∠DFN,DM=DN.所以△DME≌△DNF(AAS).證得DE=DF.

圖2

思路2：主抓條件∠DEF=60°,聯(lián)想60°通常在等邊三角形中出現(xiàn),考慮在底角為30°的等腰三角形ABC中構(gòu)造等邊三角形.

目標意識分析：抓住條件∠DEF=60°,確定解題目標為在底角為30°的等腰三角形ABC中構(gòu)造等邊三角形.考慮在BF邊上取一點G,使得∠BDG=30°,則DG=GB.再根據(jù)等腰三角形三線合一性,CD是AB邊的高線,所以△CDB是直角三角形.再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,發(fā)現(xiàn)G為BC中點.又∠DGF=∠DCG=60°,所以CG=DG,等邊三角形DCG構(gòu)造完成.

證明：如圖3,連接DC,取BC的中點G,連接DG.又CD是AB邊的高線,所以△CDB是直角三角形,則CG=DG=GB,于是∠B=∠BDG=30°,∠DGF=60°,所以△DCG為等邊三角形,可知∠CDG=60°,DC=DG.由∠EDF=60°,知∠EDC+∠CDF=60°,又∠FDG+∠CDF=60°,所以∠EDC=∠FDG.又∠DCE=∠DGF=60°,所以△DEC≌△DFG(ASA).證得DE=DF.

圖3

思路3：主抓條件∠A=∠B,AD=BD,出現(xiàn)邊角重合,考慮可以通過構(gòu)造折疊圖形來證明全等.

目標意識分析：抓住已知條件∠A=∠B(角重合),D為AB的中點(邊重合),因此,新目標為構(gòu)造全等三角形.如BD邊所在的三角形有△DFB,就可考慮將△DFB按照角進行折疊,在AC邊取與BF相等的線段構(gòu)造全等三角形,或者找AD邊所在的三角形ADE,通過折疊,在BC邊構(gòu)造全等三角形.因此本題可以分為兩種證法.(1)在AC上截取AH=BF.(2)在BC上截取BH=AE.

證明：如圖4,在AC上截取AH=BF.因為D為AB的中點,所以AD=BD.在△ADH與△BDF中,AD=BD,∠A=∠B,AH=BF,所以△ADH≌△BDF(SAS),則DH=DF,∠AHD=∠BFD.因為∠ACB=120°,∠EDF=60°,所以∠DEC+∠CFD=180°.又∠DFB+∠CFD=180°,所以∠DEC=∠BFD,即∠AHD=∠DEC.所以∠EHD=∠DEH,從而證得DE=DF.

圖4

思路4：因為∠ACB=120°,∠EDF=60°,可以引導學生發(fā)現(xiàn)D,E,C,F四點共圓.

目標意識分析：題設條件中∠ACB,∠EDF兩角互補,發(fā)現(xiàn)D,E,C,F四點共圓.解題的目標轉(zhuǎn)化為在圓中證明兩條弦相等,把DE,DF兩弦放在△DEF中,此時新的解題目標就成為證明∠DEF=∠DFE.

證明：因為∠ACB+∠EDF=180°,所以D,E,C,F四點共圓.如圖5所示,在圓中,∠DEF=∠DCF,∠DFE=∠DCE.又因為在等腰三角形ABC中,CD平分∠ACB,所以∠DCF=∠DCE=60°,從而∠DEF=∠DFE,證得DE=DF.

圖5

2 解題反思

2.1 加強目標意識培養(yǎng),提升解題能力

目標意識與解題活動相輔相成.教師應在解題活動中,著力培養(yǎng)學生的目標意識,提升學生解題能力.

(1)引導學生重視目標導向性,明確解題目標

重視目標的導向性,有利于學生對問題的深刻剖析,在解題過程中,有些問題目標往往表達含蓄、難于把握.因此,應使目標“看得見”“摸得著”,進而找到解題的突破口.

例如在本題中,教師通過以下三方面培養(yǎng)學生的目標意識,幫助學生明確解題目標.

方面一:抓住已知條件,明確解題的目標.

“注重已知”是波利亞對解題的建議.在解題時,一定要抓住題設條件,思考是否有類似的結(jié)論或命題.可以進行大膽的猜想,考慮是否可以構(gòu)造條件來與已知條件相輔,由一般到特殊,再從特殊到一般,一番思考后,解題思路將逐步清晰,解題目標也就隨之形成.本題中主抓條件AC=CB,∠ACB=120°,容易得到△ABC為等腰三角形,∠A=∠B.再由條件D為AB的中點,得到AD=BD.根據(jù)∠A=∠B,AD=BD兩條件發(fā)現(xiàn)邊、角重合,明確解題目標為構(gòu)造折疊圖形證明全等(思路3).若主抓條件∠EDF=60°,將解題目標確定為構(gòu)造等邊三角形(思路2).

方面二:利用整體觀點,明確解題目標.

在解題過程中,如果目標特征難以確定時,全局意識可幫助我們由條件導出整體結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)簡便的解法,達到解題的目的.本題中,發(fā)現(xiàn)條件中∠ACB,∠EDF兩角互補,看起來毫無關聯(lián),但當我們利用整體觀點時,就會發(fā)現(xiàn)這兩個角是四邊形DECF的對角,根據(jù)圓的性質(zhì),得出四點是共圓的(思路4).此思路簡約自然,最大限度地合理利用了已知條件.

方面三:借助反置思維,明確解題目標.

反置思維就是把試題中的結(jié)論反置為條件,以結(jié)論為解題的抓手,并與題設的部分(或整體)條件有機結(jié)合,通過轉(zhuǎn)化,得出一個題設條件的“結(jié)論”,這個“結(jié)論”便是解題的目標.本題中,從題設入手無法快速確定解題目標,可將結(jié)論DE=DF當為條件,結(jié)合D為AB的中點,過點D作高構(gòu)造直角三角形,通過轉(zhuǎn)化得到解題目標為證明包含DE,DF邊的三角形全等.

(2)引導學生評判解題的過程,優(yōu)化思維結(jié)果

目標意識隨時監(jiān)控著思維活動,評價解題的過程.例如,所選方法能否成功解題,解題過程是否繁雜,是否存在最優(yōu)解法,等等,這些都需要目標意識的調(diào)控.目標意識幫助我們避開彎路,尋找捷徑,使解題過程更簡潔優(yōu)化.例如本例題中,首先,目標意識確保了我們所選的四種方法都“走得下去”;其次,當我們的解題步驟繁瑣時,目標意識會驅(qū)使我們重新審題,檢查是否漏了條件或過程錯誤;最后,在解題完成后,目標意識促使我們進行反思,還有沒有其他的方法,最優(yōu)解法是什么等,針對本題的目標,思路4是最優(yōu)解題路徑,證明過程最為簡捷.

2.2 關注一題多解訓練,培養(yǎng)發(fā)散思維

大部分的中考試題其實都源于教材上的例習題,這些題目往往蘊含著豐富的數(shù)學知識與思想.教師在解題教學中要認真研讀課標、教材,要善于利用“一題多解”,對問題進行不同角度的剖析,拓寬學生思維的深度與廣度.

同時,教師更要充分挖掘例題的功能和價值,讓學生在有限的解題教學中“做一題,學一法,會一類,通一片”,發(fā)展數(shù)學關鍵能力,提升核心素養(yǎng).