方程與不等式代數綜合推理題的剖析

? 廣西壯族自治區南寧市第二中學 甘曉云

一元一次方程與一元一次不等式是初中代數最基礎的知識,學生一般對它們的解法都能夠熟練掌握,但將二者結合后,情況就不盡如人意了．下面結合實例,剖析一次方程與不等式綜合的代數推理題的解法．

1 求取值范圍

例1(1)已知x-y=4,且x>3,y<1,求x+y的取值范圍．

解得2

法二:由x-y=4,得x=4+y.

由x>3,可得4+y>3,則y>-1.又y<1,所以-1

同理,可得3

所以2

由a-b=4,a>1,得a=b+4>1,所以b>-3.

所以a+b>-2.

由a-b=4,得a+b=2b+(a-b)=2b+4,又b<2,所以a+b<8.

綜上,-2

點評：第(1)問,“法一”增設變量,建立并解出與x,y有關的方程組,再根據條件中x,y的范圍建立并解出不等式組,進而求出x+y的范圍;“法二”通過方程變換主元,建立不等式并求出x,y的范圍,再運用不等式的性質求出x+y的范圍．

第(2)問,先解含參方程組,并根據“方程組的解是正數”建立不等式組,再變換已知等式“a-b=4”確定b的范圍,并反復運用a,b之間的關系解不等式(組)確定a+b的上下限,求得結果．

2 新定義求值

(2)若[4x+3]=2,則x的取值范圍是______;

解得4

又m為非負整數,所以m=5或6或7或8.

3 求代數最值

例3(1)已知2x+y=2,x≥0,y≥0,試確定4x+3y的取值范圍．

(2)若設(1)中的4x+3y=m,n=|m-2|+|m|,求n的最大值與最小值的差的平方根．

解：(1)由2x+y=2,得y=2-2x.由y≥0,得2-2x≥0,則x≤1．又x≥0,所以0≤x≤1．

設m=4x+3y,則m=4x+3(2-2x),可得m=6-2x.由0≤x≤1,得4≤m≤6.

所以4x+3y的范圍是4≤4x+3y≤6．

(2)由4≤m≤6,得m-2>0,m>0.

所以n=|m-2|+|m|=m-2+m=2m-2.又4≤m≤6,所以n的最大值是10,最小值是6．

故n的最大值與最小值的差的平方根是±2．

點評：第(1)問,變換主元,確定x為主元,并根據x≥0,y≥0建立不等式組,求得x的取值范圍;再將待求式轉化為含x的代數式,根據x的范圍,即可解得4x+3y的范圍．其實,也可參照本文“例1”的“法一”解答,同學們試試看．

第(2)問,先確定絕對值中式子的范圍,再進行絕對值的化簡,最后根據m的范圍求出n的最值,進而求得答案．

4 生活實際問題

例4(2022·德陽)為發展特色產業,紅旗村花費4 000元采購了A種樹苗500株,B種樹苗400株,已知B種樹苗單價是A種樹苗單價的1.25倍．

(1)求A,B兩種樹苗的單價分別是多少元?

(2)紅旗村決定再購買同樣的樹苗100株用于補充栽種,其中A種樹苗不多于25株,在單價不變,總費用不超過480元的情況下,共有幾種購買方案?哪種方案費用最低?最低費用是多少元?

答:A種樹苗每株4元,B種樹苗每株5元.

(2)設再購買A種樹苗a株,則購買B種樹苗(100-a)株.記購買兩種樹苗總費用為w元.

又a是整數,所以a取20,21,22,23,24,25.

因此,共有6種購買方案.

方案一:購買A種樹苗20株,B種樹苗80株.

方案二:購買A種樹苗21株,B種樹苗79株.

方案三:購買A種樹苗22株,B種樹苗78株.

方案四:購買A種樹苗23株,B種樹苗77株.

方案五:購買A種樹苗24株,B種樹苗76株.

方案六:購買A種樹苗25株,B種樹苗75株.

因為w=-a+500,所以w隨a的增大而減小.當a=25時,w最小,故第六種方案費用最低,最低費用是475元．

答:共有6種購買方案,費用最省的購買方案是購買A種樹苗25株,B種樹苗75株,最低費用是475元．

點評：本題考查了在實際生活中建立數學模型、運用數學知識的能力與意識．讀懂題意,根據題意建立二元一次方程組、一元一次不等式組及一次函數表達式,并運用它們的性質解決問題．解題的關鍵是找準等量關系,正確列出方程組、不等式組以及函數表達式,熟悉每種類型模型的性質,再進行應用．

5 求整數解

A.-18 B.-15 C.-3 D.0

又-3-2-1+0+1+2=-3,故選:C．

點評：求解含參不等式組與含參方程組是初中代數中的典型問題.本題需運用方程組的解為非負數、不等式組有解的條件建立不等式組,并解出不等式組,進行綜合對比,得出符合條件的m值．

一元一次方程與一元一次不等式相結合的代數推理問題,一般有一定的綜合性與層次性．解題時要讀懂題意,用數學符號表述題目的關鍵信息,對題設信息進行分析、轉化,找出題目中不同量的關系,運用定義、公式、運算法則、運算律、(不)等式性質等得到具體的數或代數式的相等(或不等)關系,再進行推理與計算,實現解題目標,并正確表述．