橋面運動對多索索網-阻尼器系統阻尼比的影響研究

李浚東，王榮輝，甄曉霞，劉桂源

(華南理工大學土木與交通學院,廣州 510640)

引言

斜拉橋拉索以及懸索橋吊索在外界初始激勵下極易振動,是大跨度索橋不可避免的問題,過大的振動幅度或過快的振動速率都會造成拉索吊索自身金屬疲勞,力學性能降低,損傷累積的同時可能造成拉吊索斷裂,造成橋梁垮塌,帶來巨大經濟損失以及嚴重威脅人的生命安全。因此,深入研究拉吊索的振動特性以及采取有效的抑制振動措施一直是各研究學者關注的關鍵問題。目前對于索橋中拉吊索的減振抑振措施大多采用3種減振措施:氣動減振措施、阻尼器減振措施和輔助索(或者減振架)減振措施。圍繞這其中的單個或者多個減振措施,國內外學者展開了一系列深入研究。

IRVINE[1]為分析均質懸索的自由振動,根據弦張力理論,建立了單根拉索在軸向力作用下的橫向振動線性微分方程,在得出索的線性自由振動理論后又考慮拉索抗彎剛度的影響,深入討論了索存在對稱模態與反對稱模態等一系列結論;PACHECO[2]在單索的基礎上引進阻尼器,建立拉索-阻尼器系統的自由振動方程,采用Galerkin法進行求解,得出阻尼器的參數優化曲線;KRENK[3]也同樣采用相似的拉索-阻尼器系統進行設計分析,運用復特征值法推導出了單索-阻尼器系統的復特征方程,用迭代方法求解了更為精確的解析解;AHMAD[4-5]在多根單索基礎上引入輔助索,研究了多索索網系統以及多索索網-阻尼器系統等模型,根據弦理論建立了系統平衡方程并通過數值方式進行求解;CARACOGLIA[6-7]基于數值解析法求解了索網-阻尼器系統方程,并用實際橋梁進行了動力特性分析;馮立燕[8]通過理論分析和有限元分析相結合的方法研究了斜拉索-阻尼器索網系統的動力特性,分析其參數影響規律并對阻尼器的安裝位置進行了參數優化;李明陽[9]進一步研究了帶輔助索的多索索網系統以及多索索網-阻尼器系統等模型,研究分析了該系統的面內自振頻率、阻尼比以及各階振型的變化等規律;陳煒[10-11]在研究耦合索網系統的自振特性上考慮了斜拉索的抗彎剛度,求解更加符合拉索實際狀態的特征方程;張卓杰[12]研究剛性耦合對多索股系統振動特性的影響,建立更加符合工程實際的模型;周海俊[13-15]建立了拉索-彈簧-阻尼系統模型,分析系統自由振動的頻率及阻尼特性,指出在增設阻尼器的情況下可大幅度提高索網的阻尼;周現寶[16]和姚國灶[17]基于形狀記憶合金輔助索材料建立了不同的阻尼器-雙索系統模型,對系統的自振特性進行了分析,并通過試驗進行驗證;汪峰[18]建立了黏滯阻尼器-斜拉索-塔梁組合結構體系的參數振動耦合模型,分析了附加剛度對斜拉索固有頻率的影響水平。

上述學者的研究結論有力地促進了拉吊索在減振抑振方面研究的發展,但無論是針對單索還是多索索網,其研究都是基于支座邊界以及阻尼器安裝在固定不動的橋面上這一假定的,而實際的阻尼器往往是錨固在易發生運動的橋面上,阻尼器的減振耗能作用會因橋面運動的存在而受到影響,已有減振模型不能合理反映這種現象。基于上述問題,羅帥[19-20]在單根斜拉索-阻尼器系統減振模型中合理考慮了橋面運動對拉索振動特性的影響;彭化義[21]推導了帶TMD阻尼器的單根斜拉索減振系統分別在水平和豎向橋面運動下的平面內振動方程;曾智勇[22]同樣建立單索-附加剛度阻尼器系統在橋面振動耦合下的平衡方程;尹嬌霞[23]則是建立了單根斜拉索-TMD在端部軸向運動下面內振動的運動微分方程;姚志鵬[24]建立了考慮拉索弦向分力的斜拉索-橋面耦合參數振動模型,分析了系統頻率比等因素對斜拉索-橋面耦合模型動力特性的影響。以上學者的研究均考慮了橋面運動這一因素的影響,考慮橋面邊界運動與拉索-阻尼器系統的耦合作用,更加符合拉吊索在服役期間的真實運動狀態。而在上述的研究中,未有學者對多索索網-阻尼器系統與橋面運動的耦合作用進行研究。

基于上述原因,研究并推導在橋面運動激勵下多索索網-阻尼器系統的運動方程,通過設置不同輔助索剛度、輔助索位置、阻尼器位置、斜拉索傾角等因素研究橋面運動激勵下索網-阻尼器系統的振動特性,同時得出橋面運動的最不利影響狀態,所得結論對索網-阻尼器系統的設計及參數優化具有一定指導意義。

1 多索索網-阻尼器系統方程建立及求解

1.1 橋面運動下系統方程建立及求解

建立如圖1所示的的n索索網-阻尼器系統模型,系統由n根不等長的平行斜拉索組成,斜拉索傾角為θ,其中上方最長斜拉索的長度為L1,往下斜拉索長度依次為L2至Ln;各斜拉索索力分別為T1至Tn;系統的拉索在振動過程中長度Li與索力Ti保持不變,即忽略拉索索力與索長增量,同時不考慮斜拉索的自身阻尼及抗彎剛度。拉索邊界兩端支座視為固定支座,上端支座共同錨固在橋塔一側,下端支座共同固定于橋面上。拉索之間的輔助索用豎直的、具有一定剛度的輕質彈簧進行模擬,與平行斜拉索進行垂直連接,彈簧剛度分別為k1至kn-1,共計n-1根彈簧。每根斜拉索單獨設置一個阻尼系數為ci的阻尼器,共計n個阻尼器,阻尼器一端垂直固定于斜拉索下端li1處,另一端與斜拉索下端共同錨固與橋面上,即發生橋面運動時,拉索、阻尼器與橋面共同運動。彈簧和阻尼器將每根拉索分為3個索段,即下部第一索段、中間第二索段、上部第三索段,則n根拉索共分為3n個索段,每個索段的長度分別為li1、li2、li3,每個索段之間可根據平衡條件聯立求解。考慮后續求解方程組時將代入邊界條件,為對計算進行簡化,最上側的n個索段l13、l23、l33、…、ln3以上端端點為坐標原點建立軸向坐標,其他索段以下端端部為原點建立軸向坐標,x方向為斜拉索軸向方向,坐標系等參數見圖1。假定橋面發生微小振動時,斜拉索間繼續保持平行,輔助索、阻尼器與斜拉索同樣保持垂直。

圖1 n索索網-阻尼器系統模型Fig.1 Multi-cable network-damper system model

1.1.1 系統方程建立

不考慮自身阻尼及抗彎剛度條件下,圖2所示的單根拉索在軸向拉力作用下的面內橫向振動微分方程為[1]

圖2 單索振動模型Fig.2 Single cable vibration model

(1)

式中,v(x,t)為拉索橫向位移;x為斜拉索橫坐標;t為振動時間;T為拉索拉力;m為拉索單位長度質量,即線密度。

分析求解式(1),可采用變量分離法,設拉索自由振動方程的位移形式為

v(x,t)=φ(x)eIωt

(2)

設豎向的橋面運動位移函數為

vg(t)=hgeIωgt

(3)

式中,hg為豎向橋面運動位移幅值;ωg為橋面運動頻率。

把式(2)代入式(1),化簡可得

(4)

式(4)為二階齊次線性常微分方程,其解為

φ(x)=Acos(αx)+Bsin(αx)

(5)

其中

(6)

對于n索索網-阻尼器系統,各個索段振動方程的解形式如下

vij(xij,t)=φij(xij)eiωt=

[Aijcos(αixij)+Bijsin(αixij)]eIωt

(7)

式(7)中,i為拉索號,取值范圍1～n,j為同一根拉索的索段號,取值為1、2、3;且

(8)

由于各索段通過耦合形成整體,故各索段的振動復頻率相等,即

ωij=ω

(9)

因此,只需求解各索段的振型方程即可,則

φij(xij)=Aijcos(αixij)+Bijsin(αixij)

(10)

由于i取值范圍1～n,j取值為1、2、3,且每個式(10)中包含有A、B兩個未知參數,故式(10)為含有n×3×2=6n個未知待定系數的方程組。

1.1.2 系統方程求解

上述可知方程組有6n個未知待定系數,需要6n個平衡方程來求解,以下分別從邊界條件、位移連續性條件、力平衡條件來確定平衡方程[9]。

(1)邊界條件

由于斜拉索兩端固結,拉索端部的振動位移為零,即

φi1(0)=φi3(0)=0

(11)

系統有n根拉索,故共計2n個方程。

(2)位移連續性條件1

同一拉索的第一、第二索段在阻尼器耦合點處的橫向位移相等,并將該點位處的橫向位移記為hdi,即

φi1(li1)=φi2(0)=hdi

(12)

系統有n根拉索,故共計n個方程。

(3)位移連續性條件2

同一拉索的第二、第三索段在輔助索耦合點處的橫向位移相等,即

φi2(li2)=φi3(li3)

(13)

系統有n根拉索,故共計n個方程。

(4)位移連續性條件3

在第r根輔助索位置處,索網系統前r根拉索與第r+1根拉索在輔助索位置處的橫向位移平衡條件為

φr+1,3(lr+1,3)-φr3(lr3)=

(14)

系統有n-1根輔助索,故共計n-1個方程。

(5)橫向力平衡條件1

索網系統整體在輔助索耦合處的橫向分力應滿足以下平衡條件

(15)

索網系統為一個整體,共計1個方程。

(6)橫向力平衡條件2

如圖3所示,橋面運動影響下,斜拉索-阻尼器-橋面間耦合運動,現分析三者間的平面幾何關系。取如圖4所示的某一斜拉索建立平衡方程,當橋面向上運動時,斜拉索下端邊界由B運動到B′,位移大小為vgi,上文已設vgi(t)=hgieIωgit,C′D′與AB相交于F點,作輔助線BE垂直于AB′,由幾何位移關系可知△AFD′∽△ABE,有|FD′|/|BE|=|AF|/|AB|,其中|BE|=|BB′|cosθ=vgicosθ,故由幾何關系可得|FD′|=vgicosθ×(Li-li1)/Li,因此在計算阻尼力時應當減去由于阻尼器與橋面發生相對位移而產生的力。

圖3 橋面運動下n索索網-阻尼器系統模型(虛線為橋面運動)Fig.3 Multi-cable network-damper system under the bridge deck movement(The dashed lines represent the bridge deck movement)

圖4 橋面運動位移幾何關系Fig.4 Displacement geometry relation of the bridge deck movement

在發生橋面運動后,單根斜拉索在阻尼器耦合點處的橫向分力應滿足的平衡條件為[15]

(16)

系統有n根拉索,故共計n個方程。

由平衡條件(1)～(6)可得6n個方程,可求解有6n個未知待定系數的索網系統方程組。

1.1.3 系統方程化簡

為簡便導出復特征方程以及進行參數分析,將定義以下參數對系統原參數進行無量綱化。

根據弦理論公式,對不考慮自身阻尼及抗彎剛度且完整性良好的柔性弦,其索力與頻率的對應關系如下

T=4mL2f2

(17)

ω=2πf

(18)

令

(19)

則有

(20)

將式(11)～式(16)分別代入式(10)中,再結合上述無量綱參數,化簡后可得

sin(φi1)Bi1-Ai2=0

(21)

cos(φi2)Ai2+sin(φi2)Bi2-sin(φi3)Bi3=0

(22)

sin(φr3)Br3-sin(φr+1,3)Br+1,3=0

(23)

(24)

γicos(φi1)Bi1+IμiAi2-γiBi2=

(25)

上述式(21)～式(25)是為不考慮自身阻尼及抗彎剛度的n索索網-阻尼器系統在橋面運動激勵下的無量綱復特征方程組。此時注意到,由于邊界條件的影響,方程組由原來的6n個方程變為4n個方程。但由于式(25)等號右端不為零,系統方程組為非齊次方程組,無法直接通過矩陣行列式求解,故對其進行化簡。

在1.1.2節位移連續性條件1中已設阻尼器位置處拉索的橫向運動幅值為hdi,即有Ai2=hdi。將式(25)右端的系數移至左端,有

γicos(φi1)Bi1-γiBi2+

(26)

式(26)中,hgi/hdi為橋面運動幅值與阻尼器運動幅值之比;ωgi/ω為橋面運動頻率與索網振動頻率之比;(Li-li1)/Li為接地阻尼器位置與斜拉索索長之比。這里記Hi=hgi/hdi,Wi=ωgi/ω,Ldi=(Li-li1)/Li。

若令Hi=1,Wi=1,式(26)即變為

γicos(φi1)Bi1-γiBi2+

(27)

且當i=1時,即只有單根拉索和一個阻尼器發生橋面運動時,式(27)形式同文獻[15-16]的形式一樣。

將式(21)～式(24)及式(26)共計4n個方程寫成矩陣形式

KX=0

(28)

K為4n×4n的系數矩陣,X為4n×1的待定系數列向量。其中

(29)

要使式(28)有解,系統復特征方程的系數矩陣行列式應為零,即

det(K)=0

(30)

由于上述方程為高次函數,可通過數學軟件Wolfram Mathematica進行編程計算求解。方程中只有一個未知數ω,且ω為復數,可在復數域內使用牛頓迭代法(Newton-Raphson method)求得ω=α+Iβ的值,將已經求得的實部α與虛部β代入式(31)中求出系統的各階模態阻尼比。

(31)

此外,根據f=α/(2π)可以得到索網-阻尼器系統的有阻尼振動頻率。

1.2 未發生橋面運動時索網-阻尼器系統方程建立及求解

為對比有、無橋面運動對系統自振特性的影響,以下將建立無橋面運動時系統復特征方程組。

當系統未發生橋面運動時,即不考慮橋面運動對阻尼器阻尼力的影響,上述1.1節橫向力平衡條件2應該重新建立平衡關系,式(16)、式(25)應改寫為

(32)

γicos(φi1)Bi1+IμiAi2-γiBi2=0

(33)

其余公式與上文推導過程一致,結合式(21)～式(24)及式(33)共4n個方程,即為索網系統在未發生橋面運動時的振動平衡方程,方程組共計有4n個未知參數Aij、Bij,方程可解,求解過程也同式(28)～式(31)一致。

2 有、無橋面運動時索網-阻尼器系統參數分析

2.1 兩索索網-兩阻尼器系統方程建立及求解

上文進行了橋面運動激勵下n索索網-阻尼器系統方程組的建立以及化簡求解,從方程組可看出,其求解結果受諸多因素影響。這些影響因數有:輔助索位置、輔助索剛度、阻尼器位置、斜拉索傾角、橋面運動幅值與阻尼器運動幅值之比、橋面運動頻率與索網振動頻率之比等。為分析以上因素對索網振動特性的影響,現建立橋面運動激勵下兩索索網-兩阻尼器系統,如圖5所示。

圖5 兩索索網-兩阻尼器系統模型Fig.5 Two-cable network-two-damper system model

根據式(21)～式(24)及式(26),當拉索數i=2時,橋面運動下兩索索網-兩阻尼器系統的方程可寫為

sin(φ11)B11-A12=0

(34)

sin(φ21)B21-A22=0

(35)

cos(φ12)A12+sin(φ12)B12-sin(φ13)B13=0 (36)

cos(φ22)A22+sin(φ22)B22-sin(φ23)B23=0 (37)

-γ1ψ1Ωsin(φ12)A12+γ1ψ1Ωcos(φ12)B12+

γ1ψ1Ωcos(φ13)B13+sin(φ13)B13-sin(φ23)B23=0

(38)

γ1[-sin(φ12)A12+cos(φ12)B12+cos(φ13)B13]+

γ2[-sin(φ22)A22+cos(φ22)B22+cos(φ23)B23]=0

(39)

γ1cos(φ11)B11-γ1B12+

Iμ1(1-H1W1Ld1cosθ)A12=0

(40)

γ2cos(φ21)B21-γ2B22+

Iμ2(1-H2W2Ld2cosθ)A22=0

(41)

將以上8個方程寫成矩陣形式

KX=0

(42)

K為8×8的系數矩陣,X為8×1的待定系數列向量。其中

(43)

要使式(42)有解,系統復特征方程的系數矩陣行列式應為零,即

det(K)=0

(44)

化簡后得到的橋面運動激勵下兩索索網-兩阻尼器系統復特征方程如式(45)所示。

γ1μ1μ2sinφ11sin(φ12+φ13)sinφ21sinφ22sinφ23-

γ2μ1μ2sinφ11sinφ12sinφ13sinφ21sin(φ22+φ23)+

γ1γ2μ1μ2ψ1Ωsin(φ11)sin(φ12+φ13)sinφ21×

sin(φ22+φ23)+H1Ld1W1γ1μ1μ2cosθsinφ11×

sin(φ12+φ13)×sinφ21sinφ22sinφ23+

H1Ld1W1γ2μ1μ2cosθsinφ11sinφ12sinφ13sinφ21×

sin(φ22+φ23)+H2Ld2W2γ1μ1μ2cosθsinφ11×

sin(φ12+φ13)sinφ21sinφ22sinφ23+H2Ld2W2γ2μ1μ2×

cosθsinφ11sinφ12sinφ13sinφ21sin(φ22+φ23)+

H1Ld1W1γ1γ2μ1μ2ψ1Ωcosθsinφ11sin(φ12+φ13)×

sinφ21sin(φ22+φ23)+H2Ld2W2γ1γ2μ1μ2ψ1Ω×

cosθsinφ11sin(φ12+φ13)sinφ21×

sin(φ22+φ23)-H1H2Ld1Ld2W1W2γ1μ1μ2cos2θ×

sinφ11sin(φ12+φ13)sinφ21sinφ22sinφ23-

H1H2Ld1Ld2W1W2γ2μ1μ2cos2θsinφ11×

sinφ12sinφ13sinφ21sin(φ22+φ23)-

H1H2Ld1Ld2W1W2γ1γ2μ1μ2ψ1Ωcos2θsinφ11×

sin(φ12+φ13)sinφ21sin(φ22+φ23))+

sinφ13sin(φ21+φ22+φ23)+γ1γ2μ1sinφ11×

sin(φ12+φ13)sin(φ21+φ22)sin(φ23)+

γ1γ2μ2sin(φ11+φ12)sinφ13sinφ21×

sin(φ11+φ12+φ13)sinφ21sin(φ22+φ23)-

sinφ13sin(φ21+φ22+φ23)-H1Ld1W1γ1γ2μ1×

cosθsinφ11sin(φ12+φ13)sin(φ21+φ22)sinφ23-

sin(φ11+φ12+φ13)sinφ21sinφ22sinφ23-

H2Ld2W2γ1γ2μ2cosθsin(φ11+φ12)×

cos[θ]sin(φ11+φ12+φ13)sinφ21sin(φ22+φ23))=0

(45)

同理,在不考慮橋面運動時,式(40)、式(41)應改寫為

γ1cos(φ11)B11+Iμ1A12-γ1B12=0

(46)

γ2cos(φ21)B21+Iμ2A22-γ2B22=0

(47)

結合式(34)～式(39)、式(46)、式(47),再經過式(42)～式(44)進行求解,就可得出未發生橋面運動時的兩索索網-兩阻尼器系統復特征方程。

2.2 各項因素對系統阻尼比的影響

在2.1節所求系統復特征方程的基礎上,將分析該系統在上述諸多影響因素下的自振特性。首先先確定各參數的取值范圍,見表1。

表1 各影響因素取值Tab.1 The value of each influencing factor

系統中兩斜拉索相關參數如下。

1號索:L1=100 m,T1=3 500 kN,m1=60 kg/m,單索基頻f1=1.208 Hz;

2號索:L2=96 m,T2=3 500 kN,m1=60 kg/m,單索基頻f2=1.258 Hz。

2.2.1 輔助索位置對系統阻尼比的影響

為研究輔助索位置對系統阻尼比的影響,取表1中4個不同輔助索位置參數,其余因素保持固定參數不變,經式(45)計算,分別得出系統在發生橋面運動時的復頻率ω實部α與虛部β的值,并根據式(31)求出系統的第1階模態阻尼比,即可得出不同輔助索位置時系統第1階模態阻尼比與阻尼系數的關系曲線(以下簡稱“關系曲線”),同理,系統在未發生橋面運動時的關系曲線也一并得出,如圖6所示。由各關系曲線得出系統在不同輔助索位置下1階最大(最優)阻尼比以及其對應的阻尼系數(以下簡稱“最優阻尼系數”),見表2。

表2 不同輔助索位置下系統最優阻尼系數Tab.2 The optimal damping coefficient of the system under different cross-ties positions

圖6 不同輔助索位置下系統關系曲線(實線表示橋面運動、虛線表示無橋面運動,下同)Fig.6 The system relationship curves under different cross-ties positions (The solid line represents the bridge deck movement, the dashed line represents no bridge deck movement, the same below)

由圖6和表2可知,對于兩索索網-阻尼器系統,對比有、無橋面運動兩種工況,有橋面運動作用下,系統關系曲線的峰值相對于無橋面運動關系曲線的峰值往后移動,系統1階模態最優阻尼系數從12×104N·s/m增至22×104N·s/m,說明橋面運動對系統自振特性影響很明顯,即在考慮橋面運動作用下,需要為系統提供更大阻尼系數的外置阻尼器,才能使阻尼器起到相同的效果。

在輔助索位置度改變時,系統的關系曲線隨之發生變化。輔助索的位置從L1/8移動至L1/2(即輔助索愈靠近拉索中部),關系曲線逐漸上移,在有、無橋面運動兩種不同工況下,系統最優阻尼比均從2.052%增長至2.129%,變化幅度不明顯,在圖6中部分曲線近乎呈現重合狀態,說明輔助索位置這一影響因素對系統最優阻尼比影響不大。值得注意的是,在輔助索位置相同時,有、無橋面運動這兩種不同工況對應的系統1階模態最優阻尼比是一致的。

2.2.2 輔助索剛度對系統阻尼比的影響

同樣地,繪制有、無橋面運動時不同輔助索剛度下系統的關系曲線,如圖7所示;各關系曲線的最優阻尼系數見表3。

表3 不同輔助索剛度下系統的最優阻尼系數Tab.3 The optimal damping coefficient of the system under different cross-ties stiffness

圖7 不同輔助索剛度下系統關系曲線Fig.7 The system relationship curves under different cross-ties stiffness

由圖7和表3可知,當輔助索剛度從107N/m降低至104N/m時,關系曲線逐漸下移;在有、無橋面運動兩種不同工況下,系統最優阻尼比均從2.129%降低至2.092%,變化幅度同樣微小,曲線也近乎重合,說明輔助索剛度這一影響因素同樣對系統最優阻尼比有影響,但影響不大。但值得注意的是,輔助索剛度相同時,有、無橋面運動這兩種不同工況對應的系統1階模態最優阻尼比是相同的;同樣,有橋面運動作用下,關系曲線也相對于無橋面運動的曲線整體后移,系統1階模態的最優阻尼系數從12×104N·s/m增至22×104N·s/m,上述規律與2.2.1節一致。

2.2.3 阻尼器位置對系統阻尼比的影響

考慮工程實際中接地阻尼器位置一般設置在斜拉索下端,且距離較接近錨固端,因此在分析阻尼器位置因素的影響時,其參數取值不宜過大。繪制系統在有、無橋面運動時的關系曲線,如圖8所示,各關系曲線中最優阻尼系數見表4。

表4 不同阻尼器位置下系統最優阻尼系數Tab.4 The optimal damping coefficient of the system under different damper position

圖8 不同阻尼器位置下系統關系曲線Fig.8 The system relationship curves under different damper position

由圖8和表4可知,不論是有橋面運動還是無橋面運動,當阻尼器位置發生變化時,系統的1階阻尼比與阻尼系數關系曲線均明顯變化。在有橋面運動作用下,系統關系曲線相對于無橋面運動的曲線后移,與上文結論一致。

當系統未發生橋面運動,阻尼器位置從0.02L1移動至0.08L1時,系統關系曲線上移趨勢明顯,系統1階最優阻尼比從1.040%增至4.486%,增長趨勢接近倍數關系;同時最優阻尼比所對應的阻尼系數逐漸前移減小,從22×104N·s/m減低至6×104N·s/m,阻尼系數降低的同時還能提高系統1階阻尼比,相當于起到雙重作用,說明阻尼器位置這一因素對系統自振特性影響相對較大。同樣地,系統發生橋面運動時,阻尼器位置從0.02L1移動至0.08L1時,系統1階最優阻尼比也從1.040%增至4.486%;而阻尼系數從44×104N·s/m減低至10×104N·s/m。由此可見,阻尼器位置愈遠離索端,對系統減振愈有利。

2.2.4 斜拉索傾角對系統阻尼比的影響

當考慮斜拉索傾角θ的影響時,上文式(46)、式(47)中未含有θ項,即未發生橋面運動時,斜拉索傾角對系統自振特性無影響。故此節僅討論系統在發生橋面運動時的相關規律,幅值比×頻率比(H·W)對系統阻尼比的影響也同樣不考慮無橋面運動的影響。同時,當斜拉索傾角θ變化時,而L1與L2又保持不變,為保證斜拉索系統的平面幾何關系,可通過調節兩平行斜拉索之間的距離來滿足。

同樣地,繪制在橋面運動下不同斜拉索傾角時系統的關系曲線,如圖9所示,各關系曲線中最優阻尼系數見表5。

表5 不同斜拉索傾角下系統最優阻尼系數Tab.5 The optimal damping coefficient of the system under different inclination angle of the cable

圖9 不同斜拉索傾角下系統關系曲線Fig.9 The system relationship curves under different inclination angle of the cable

由圖9和表5可知,在橋面運動工況下,斜拉索傾角θ發生變化時,系統的1階阻尼比與阻尼系數關系曲線變化明顯;當斜拉索傾角θ從π/6變化至5π/12時,系統關系曲線逐漸前移,阻尼系數從68×104N·s/m減低至17×104N·s/m,降幅顯著,說明傾角對系統自振特性影響較大,但最優阻尼比均保持2.129%不變。由此可知,當斜拉索傾角愈大時,系統達到最優阻尼比所需要的阻尼愈小,對系統愈有利。

2.2.5 幅值比×頻率比(H·W)對系統阻尼比的影響

同上述一樣,繪制在橋面運動下不同H·W時系統的關系曲線,如圖10所示,各關系曲線中最優阻尼系數見表6。

表6 不同H·W下系統1階最優阻尼系數Tab.6 The optimal damping coefficient of the system under different the product of amplitude ratio and frequency ratio

圖10 不同H·W下系統關系曲線Fig.10 The system relationship curves under different the product of amplitude ratio and frequency ratio

由圖10和表6可知,在橋面運動工況下,當H·W從1變化至4時,系統關系曲線變化明顯,先往右移動而后向左移動,阻尼系數先從22×104N·s/m驟增至280×104N·s/m,后再驟降至12×104N·s/m,變化趨勢較大,說明幅值比與頻率比乘積的值對系統的自振特性影響很大,而最優阻尼比同上述一樣均保持2.129%不變。

為更好地研究H·W的值與系統1階模態最優阻尼比下阻尼系數之間的關系,從上文分析注意到,當1-H1W1Ld1cosθ=0時,系統處于最不利狀態。通過變形得H1W1=1/(Ld1cosθ),此處阻尼器位置固定參數為0.04L1,斜拉索傾角θ固定參數為π/3,則有Ld1=(L1-0.04L1)/L1=0.96,cos(π/3)=0.5故H1W1=1/(0.96×0.5)=2.083,這里分為H1W1>2.083與H1W1<2.083兩種情況來進行討論。現將H·W從0～2.083,2.083～4這兩個區間按0.01連續取值,計算求出系統1階最優阻尼比所對應的阻尼系數,如圖11所示。

圖11 橋面運動下H·W與系統1階模態最優阻尼系數關系曲線Fig.11 The relationship between the product of amplitude ratio and frequency ratio and the first-order mode optimal damping coefficient of the system under the bridge deck movement

從圖11可看出,當H·W愈接近H1W1時,即H1W1Ldicosθ愈接近1時,系統與橋面運動接近共振,當橋面運動與系統達到共振時,即為系統的最不利影響狀態。當H·W從兩側接近2.083時,最優阻尼比對應的阻尼系數迅速增大,即系統需要更大的阻尼系數才能達到相同的最優阻尼比;當H·W=H1W1時,計算出阻尼系數接近無窮大,而在實際工程中不存在阻尼系數無窮大的阻尼器。工程中斜拉索的外置阻尼器的阻尼系數一般為固定數值,在發生橋面運動時,阻尼器起到的耗能作用相對減小,接近或達到共振時,阻尼器對系統減振耗能起不利效果,近乎失去減振效果。因此,在設計系統的減振措施時,應避開兩者的共振區。

2.3 橋面運動對系統自振頻率的影響

為研究系統在有、無橋面運動時,不同阻尼系數對系統自振頻率的影響,根據方程分別計算出系統的前10階模態頻率,方程中固定參數選項同表1一致,自振頻率計算數值具體如表7、表8所示,圖12、圖13分別為其變化曲線。

表7 橋面運動時系統在不同阻尼系數下前10階頻率Tab.7 The first 10 frequencies of the system under different damping coefficients when the bridge deck is moving

表8 無橋面運動時系統在不同阻尼下前10階頻率Tab.8 The first 10 frequencies of the system under different damping coefficients without bridge deck motion

圖12 橋面運動時系統在不同阻尼系數下前10階頻率變化曲線Fig.12 The first 10 frequencies change curve of the system under different damping coefficients when the bridge deck is moving

圖13 無橋面運動時系統在不同阻尼系數下前10階頻率變化曲線Fig.13 The first 10 frequencies change curve of the system under different damping coefficients without bridge deck motion

從表7、表8與圖12、圖13可以看出,不論是有橋面運動還是無橋面運動,隨著阻尼系數增加,系統各階頻率均有不同程度增長。有橋面運動時,頻率最大增幅為8.164%,發生在第7階,而最小增幅也有2.178%,出現在第4階;在無橋面運動時,頻率最大增幅同樣發生在第7階,達8.164%,而最小增幅則出現于第2階,為2.282%,說明阻尼系數對系統自振頻率有一定影響。對比表7與表8,發生橋面運動后,系統在同一阻尼系數下,各階自振頻率均有不同程度增長,但總體增幅較小,說明發生橋面運動后對系統自振頻率的影響不大,其中最大漲幅僅為2.817%,出現在阻尼系數為10×104N·s/m的第3階,而其余各階次頻率變化幅值在1%以內。

3 結論

以不考慮自身阻尼及抗彎剛度的n索索網-阻尼器系統為研究對象,建立并求解該系統在橋面運動激勵下的復特征方程組。然后對兩索索網-阻尼器系統進行了參數分析,研究結論如下。

(1)在分析索網-阻尼器系統的自振特性時,應該考慮橋面運動與系統的耦合作用,橋面運動激勵對索網-阻尼器系統的自振特性產生顯著影響。

(2)橋面運動時,系統關系曲線相對于無橋面運動的曲線后移,對系統產生不利影響。

(3)發生橋面運動時,索網的輔助索位置愈遠離拉索中部、輔助索剛度愈小、阻尼器位置愈靠近邊界、斜拉索傾角愈小、HW的值愈接近H1W1時,橋面運動對系統的影響愈不利,反之則有利。

(4)當1-H1W1Ld1cosθ愈接近0時,系統與橋面運動愈接近共振,當橋面運動與系統達到共振時,阻尼器近乎失去減振耗能效果,此時即為系統的最不利影響狀態。

(5)有、無橋面運動時,系統各階頻率均隨著阻尼系數的增大而增大;而發生橋面運動后系統的自振頻率相對于無橋面運動時的變化則減小。