等腰三角形的存在性問題探究

摘? 要：等腰三角形是初中數(shù)學(xué)中常見的一類特殊三角形，其與拋物線相結(jié)合的存在性問題是中考的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，具有一定的選拔功能.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可借助網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，讓點(diǎn)動(dòng)起來，讓學(xué)生在形象且直觀的現(xiàn)實(shí)情境中理清已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識給出問題的求解方法.

關(guān)鍵詞：等腰三角形；拋物線；動(dòng)點(diǎn)；存在性問題

中圖分類號：G632??? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）02-0011-03

收稿日期：2023-10-15

作者簡介：郎春林（1982.2-），男，江蘇省揚(yáng)州人，本科，中學(xué)二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

存在性問題是指根據(jù)數(shù)學(xué)問題所給定的已知條件，探究是否存在符合要求的結(jié)論.存在性問題是探索型數(shù)學(xué)問題中一種非常典型的問題，其探索的方向是明確的，探索的結(jié)論有兩種，即存在或不存在．與等腰三角形有關(guān)的存在性問題倍受命題者的青睞，等腰三角形與拋物線相結(jié)合的存在性問題在中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，其具有一定的難度，“兩圓一線定位置，邊角相等分類列”是解決這類問題的基本思路與方法.本文以2017年貴州省安順市中考的拋物線試題為例，呈現(xiàn)這類問題的求解思路，以期提高學(xué)生的解題能力.

1 問題呈現(xiàn)

（2017年貴州省安順市中考數(shù)學(xué)第26題）如圖1，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P.

（1）求該拋物線的解析式.（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C，P，M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）當(dāng)0

2 探究實(shí)驗(yàn)

對于問題（2），如圖2所示，拖動(dòng)點(diǎn)M，觀察△PCM三邊長度的變化，是否存在等腰三角形的情形？ 有幾種情況？

對于問題（3），如圖3所示，拖動(dòng)點(diǎn)E，觀察△CBE的面積S和點(diǎn)E的橫坐標(biāo)xE變化關(guān)系的圖象，猜測S是xE的什么函數(shù).

3 思路分析

對于問題（1），求出直線y=-x+3與x軸、y軸交點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式.

對于問題（2），可用兩種不同方法求解.

方法1（幾何法）：由題意知，PC長度確定，PM，CM長度是變化的，并未說明PC是腰或底，因此需分MC=MP，CM=CP，PM=PC三種情況討論.動(dòng)點(diǎn)M在對稱軸直線x=2上. 用“兩圓一線”法確定點(diǎn)M的位置，即作出線段PC的垂直平分線，或分別以點(diǎn)C，P為圓心，PC長為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點(diǎn)M1，M2，M3，M4，如圖4所示，所以滿足條件的點(diǎn)M只有4個(gè)，再結(jié)合條件求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

方法2（代數(shù)法）：設(shè)M（2，m），根據(jù)勾股定理，可利用含m的代數(shù)式表示出三角形三邊的長，需分MC=MP，CM=CP，PM=PC三種情況列方程，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo).

對于問題（3），過點(diǎn)E作x軸的垂線FE，交直線BC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F（x，-x+3），Ex，x2-4x+3，用“寬高公式”表示出△CBE的面積，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出面積的最大值.

4 解法探究

根據(jù)以上思路，可給出問題的具體求解過程.

（1）解? 因?yàn)橹本€y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，C，易知B（3，0），C（0，3）.從而易求得該拋物線的解析式為y=x2-4x+3.

（2）解法1? （幾何法）存在點(diǎn)M.因?yàn)閥=x2-4x+3=（x-2）2-1，所以該拋物線對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)為P（2，-1）.

①如圖5，當(dāng)MC=MP時(shí)，過PC中點(diǎn)D作直線l⊥PC于點(diǎn)D，交直線x=2于點(diǎn)M1，過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，則PC=42+22=25，所以PD=5.因?yàn)镸1P∥y軸，所以∠PCE=∠DPM1，所以

cos∠PCE=cos∠DPM1，即CEPC=PDPM1=425=5PM1，所以PM1=2.5，所以M12，1.5.

②如圖6所示，當(dāng)PM=PC時(shí)，易求得M2（2，25-1），M3（2，-25-1）.

③如圖7所示，當(dāng)MC=PC時(shí)，過點(diǎn)C作CF⊥PM4于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，所以四邊形CEPF是矩形，則PF=CE=4，易求得M4（2，7）.

綜上可知，存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為2，1.5或（2，7）或（2，-1+25）或（2，-1-25）.

解法2? （幾何法）存在點(diǎn)M.

①如圖8所示，作PC的垂直平分線交PC于點(diǎn)D，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M1，則CM1=PM1，所以△PCM1是等腰三角形，所以點(diǎn)M1為所求.過點(diǎn)D作y軸的平行線，過點(diǎn)C作x軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)M1作y軸的垂線交ED于點(diǎn)F.

因?yàn)镻（2，-1），C（0，3），點(diǎn)D是PC的中點(diǎn)，所以D（1，1）.因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為直線x=2，所以CE=1，F(xiàn)M1=1，DE=2.易知△CED∽△DFM1.所以CEED=DFFM1，易知DF=0.5.從而可知M12，1.5.

②如圖9所示，以P為圓心，PC長為半徑作⊙P，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M2，M3，連接CM2，CM3，則PC=PM2=PM3，所以△PCM2，△PCM3都是等腰三角形.

過點(diǎn)M2作y軸的垂線，垂足為E，延長CP交⊙P于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線交EM2的延長線于點(diǎn)F，連接M2D.易知△ECM2∽△FM2D，所以ECEM2=FM2FD.易知m-32=2m+5，所以m=-25-1或m=25-1，所以點(diǎn)M2（2，25-1），M3（2，-25-1）.

③如圖10所示，以C為圓心，PC長為半徑作⊙C，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M4，連接CM4，則PC=CM4.延長PC交⊙C于點(diǎn)D，連接DM4，則△PCM4是等腰三角形.易知M4（2，7）.

綜上可知，存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為2，1.5或（2，7）或（2，-1+25）或（2，-1-25）.

解法 3（代數(shù)法）： 因?yàn)閥=x2-4x+3=（x-2）2-1，所以拋物線對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)為P（2，-1）.設(shè)M（2，m），又C（0，3），所以MC2=22+（m-3）2=m2-6m+13，MP2=（m+1）2，PC2=22+（-1-3）2=20，因?yàn)椤鰿PM為等腰三角形，因此分三種情況討論：

①當(dāng)MC=MP時(shí)，則有m2-6m+13=（m+1）2，解得m=1.5，此時(shí)M2，1.5；

②當(dāng)MC=PC時(shí)，有m2-6m+13=20，解得m=-1（與P點(diǎn)重合，舍去） 或m=7，此時(shí)M（2，7）；

③當(dāng)MP=PC時(shí)，則有（m+1）2=20，易得

M（2，-1+25）或（2，-1-25）.

綜上可知，存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為2，1.5或（2，7）或（2，-1+25）或（2，-1-25）.

（3）當(dāng)0

5 結(jié)束語

對于等腰三角形與拋物線相結(jié)合的存在性問題，可以把解題方法總結(jié)為“兩圓一線定位置，邊角相等分類列”.這里的“兩圓一線”法是已知等腰三角形一邊長度確定（這邊的端點(diǎn)至少有一個(gè)是定點(diǎn)），可以根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)作兩個(gè)輔助圓，或已知邊上的垂直平分線確定點(diǎn)的大致位置或解的個(gè)數(shù)，借助代數(shù)法求解，或利用定長線段所在直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造“一線三等角”相似模型的求解方法.

通過探究這類問題的求解方法，能有效提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：［1］ 鄭利年，陳國玉.用角的關(guān)系，求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（14）：33-35.

［責(zé)任編輯：李? 璟］