基于sigmoid-sinh分段函數的變步長FxLMS算法

李 飛，黃 雙，郭 輝，徐 洋，傅 偉

(1.上海工程技術大學 機械與汽車工程學院, 上海;2.東華大學 機械工程學院, 上海;3.淄博市技師學院,山東 淄博)

噪聲主動控制采用聲波的相消干涉原理,被廣泛應用于各個領域,如航空航天、電梯、汽車等[1-2]。在噪聲主動控制系統中,FxLMS(filter-x least mean square)算法結構簡單,吸引了較多學者對其進行研究[3-7]。采用固定步長的傳統FxLMS算法無法同時保證收斂速度快和穩態誤差小。為解決這一問題,許多學者對變步長FxLMS算法進行研究。劉寧寧等[8]提出一種基于反正切函數的迭代變步長FxLMS(iterative variable step-size FxLMS, IVS-FxLMS)算法,利用該算法對汽車駕駛員耳側不同階次的發動機噪聲進行主動控制效果仿真,結果表明,車內發動機階次噪聲得到有效抑制。李濤等[9]在sigmoid函數的基礎上,提出一種快速、平滑的變長FxLMS(fast and smooth FxLMS, FSFxLMS)算法,并通過列車低頻噪聲仿真對算法性能進行驗證,結果表明,FSFxLMS算法能夠提高收斂速度和穩態誤差之間的均衡性。張帥等[10]結合歸一化方法與反正切函數,提出一種變步長改進的FxLMS(variable step-size modified FxLMS, VS-MFxLMS)算法,該算法的收斂速度和穩態誤差都有大幅度的提升。上述這些算法在一定程度上解決了傳統FxLMS算法無法同時保證收斂速度快和穩態誤差小的問題。但是,目前提出的變步長算法大多選取一種函數為基礎進行變形,由于單一函數性能的限制,改進算法無法使收斂速度以及穩態誤差同時達到最優。

基于sigmoid函數的FxLMS(SFxLMS)算法收斂速度快和sinh函數的FxLMS(ShFxLMS)算法穩態誤差小的優點,提出一種基于sigmoid-sinh分段函數的FxLMS(SSFxLMS)算法,并分別使用FxLMS、SFxLMS、ShFxLMS和SSFxLMS算法對高斯白噪聲以及實測簇絨地毯織機噪聲進行主動控制,驗證SSFxLMS算法的有效性。

1 FxLMS算法

FxLMS算法根據誤差信號不斷調整濾波器權值,直到濾波器輸出一個理想的抵消信號對噪聲進行抵消,達到降噪目的。FxLMS算法框圖如圖1所示。

圖1 FxLMS算法框圖Fig.1 Block diagram of FxLMS algorithm

FxLMS算法的計算過程如下：

1)生成一個期望信號d(n)。該信號由原始噪聲信號x(n)經過初級通道得到,即

d(n)=P(n)*x(n)

(1)

式中：n為當前時刻點;*為線性卷積運算;P(n)為初級通道傳遞函數P(z)的脈沖響應。

2)生成抵消信號s(n)。該信號由噪聲信號經過濾波器濾波,再經過次級通道得到,即

y(n)=wT(n)x(n)

(2)

s(n)=C(n)*y(n)

(3)

式中：y(n)為濾波器輸出;w(n)為濾波器權值;C(n)為次級通道傳遞函數C(z)的脈沖響應。

3)生成誤差信號e(n)。該信號由期望信號與抵消信號疊加得到,即

e(n)=d(n)-s(n)

(4)

4)更新FxLMS控制器。根據LMS(least mean square)算法對濾波器的權值進行更新,其計算式為

w(n+1)=w(n)-2μe(n)x′(n)

(5)

式中：μ為迭代步長,主要影響算法的收斂速度與穩態誤差;x′(n)為濾波后信號,是噪聲信號經過次級通道傳遞函數C′(z)得到的響應,C′(z)通過對次級通道傳遞函數C(z)的幅值和相位特性辨識得到。濾波器的輸出信號到達誤差傳感器處需要經過次級通道,會產生一定的延時,引入C′(z)能夠解決這一問題。理論上,C(z)和C′(z)是完全相等的。x′(n)的計算式為

x′(n)=C′(n)*x(n)

(6)

在上述過程中,濾波器權值被不斷調整,最終濾波器能夠生成與噪聲信號完全抵消的信號,從而實現降噪。

2 SSFxLMS算法

2.1 SSFxLMS算法的提出

變步長FxLMS算法的原理是通過正弦函數、反正切函數等建立算法步長μ與誤差信號e(n)之間的關系。在算法開始迭代即誤差信號較大時,取較大步長,從而提高算法收斂速度;在算法將要結束迭代即誤差信號較小時,取較小步長,從而減小算法穩態誤差。變步長算法的權值更新計算式為

w(n+1)=w(n)-2μ(n)e(n)x′(n)

(7)

SFxLMS算法采用sigmoid函數進行步長調整,其步長更新計算式為

(8)

式中：α1為曲線形狀調控參數,控制曲線形狀;β1為控制曲線最大值。當β1固定,α1取不同值時,步長隨誤差信號變化的曲線如圖2所示。

圖2 SFxLMS算法的步長隨誤差信號變化的曲線Fig.2 Curve of step size of SFxLMS algorithm changing with error signal

由圖2可知：當α1值越大,曲線底部越尖銳,這導致在誤差信號很小時步長為一較大值,從而使穩態誤差較大;當α1值越小,曲線底部雖然會變得平坦,但在誤差信號較大時,其步長較小,從而導致收斂速度變慢。因此,SFxLMS算法的特點為收斂速度快但穩態誤差較大。

ShFxLMS算法采用sinh函數進行步長調整,其步長更新計算式為

(9)

式中：α2、β2為曲線形狀調控參數。

當固定β2值,α2取不同值時,ShFxLMS算法的步長隨誤差信號變化的曲線如圖3所示。由圖3可知,不論α2值是大還是小,曲線的底部都比較平坦,在誤差信號很大時采用小步長,這可以保證較低的穩態誤差,但會使得收斂速度變慢,因為曲線過于平坦會導致μ過早地降低到一個較小值。因此,ShFxLMS算法的特點為穩態誤差小但收斂速度相對較慢。

圖3 ShFxLMS算法的步長隨誤差信號變化的曲線Fig.3 Curve of step size of ShFxLMS algorithm changing with error signal

綜合考慮SFxLMS算法和ShFxLMS算法的優缺點,本文提出一種分段函數變步長SSFxLMS算法,其步長更新計算式為

(10)

式中：α3、α4、β3、β4為曲線形狀調控參數,控制兩段曲線的形狀;b為函數選擇閾值,其值大小決定算法在何種條件下對步長更新函數進行轉換。算法迭代前期時,考慮到SFxLMS算法收斂速度快的特點,選取SFxLMS算法對步長進行更新,加快收斂速度;當算法將要收斂時,考慮到ShFxLMS算法穩態誤差小的特點,選取ShFxLMS算法對步長進行更新,降低穩態誤差。

2.2 計算量分析

計算量是評估算法性能的重要指標。取算法每更新一次所需的乘法、加法以及指數運算的次數對FxLMS、SFxLMS、ShFxLMS、SSFxLMS算法的計算量進行比較。算法每次迭代時,產生計算量的部分主要有參考信號濾波(式(6))、濾波器輸出(式(2))、濾波器權值更新(式(5))。因此,本文主要針對這3個過程進行計算量分析,假設信號的長度為L,得到4種算法每次迭代需要的計算量如表1所示。從表1可知,SSFxLMS算法每次更新前需要對e(n)與b值進行一次比較,確定更新所用函數,相較于SFxLMS、ShFxLMS算法,只多了一次比較運算,增加的計算量可以忽略。

表1 4種算法計算量Table 1 Calculation amount of four algorithms

3 算法參數的選取

算法參數對算法的性能產生重大影響。在進行仿真之前,必須不斷調整算法的參數,使得算法的性能達到最優,通過試湊法調整參數很難保證算法性能達到最優。因此,考慮到蟻獅算法在進行參數優化時具有全局尋優性強、收斂精度高等優點,本文使用蟻獅算法對SFxLMS、ShFxLMS以及SSFxLMS算法的參數進行優化。

3.1 蟻獅算法簡介

蟻獅算法[11]借鑒了蟻獅捕食螞蟻的機制,將待優化參數轉變為螞蟻和蟻獅的位置,每次迭代時,螞蟻和蟻獅位置隨機更新,根據其位置計算出各自適應度值,將螞蟻和蟻獅中適應度最優個體保存為精英,精英即為每一次迭代中適應度值最優的個體。迭代完成后,精英的位置就是參數最優值。圖4為蟻獅算法的工作流程圖。

圖4 蟻獅算法流程圖Fig.4 Flow chart of ant-lion algorithm

蟻獅算法的具體優化步驟：首先,對螞蟻、蟻獅的位置進行隨機初始化,得出各自的適應度值,將適應度值最優的個體作為精英保存起來。其次,讓螞蟻在限定的范圍內隨機游走,得到新一代螞蟻的適應度值,并將螞蟻與蟻獅中適應度值最優的設為蟻獅,將蟻獅和精英中適應度值最優的設為精英。最后,判斷是否滿足算法終止迭代的條件。如果滿足終止迭代條件,輸出精英的位置,即參數最優解;如果不滿足終止迭代條件,繼續讓螞蟻游走,不斷循環,直到滿足終止迭代條件。

3.2 設定優化目標

使用蟻獅算法前,需要選取優化的目標函數。為得到使算法降噪效果最優的參數值,選取誤差絕對值的平方值最小為優化目標,對SFxLMS、ShFxLMS以及SSFxLMS算法的步長更新公式進行分析,得出優化目標函數。

對式(8)進行變換,得到SFxLMS算法參數優化的目標函數如式(11)所示。

(11)

對式(9)進行變換,得到ShFxLMS算法參數優化的目標函數如式(12)所示。

(12)

對式(10)進行變換,得到SSFxLMS算法參數優化的目標函數如式(13)所示。

(13)

4 仿真驗證

為驗證SSFxLMS算法的性能,分別用FxLMS、SFxLMS、ShFxLMS、SSFxLMS算法對高斯白噪聲和采集的簇絨地毯織機噪聲進行控制,然后對比分析噪聲控制效果。

4.1 高斯白噪聲仿真

設置高斯白噪聲為輸入信號,其均值為0、方差為0.5,仿真時間為2 s。用蟻獅算法對SFxLMS、ShFxLMS、SSFxLMS算法進行參數優化。

4.1.1 高斯白噪聲仿真參數優化

為確定各個參數的取值范圍,在Simulink軟件中搭建3種算法模型,以高斯白噪聲為輸入。考慮收斂性和噪聲控制后誤差信號變化情況,各算法的參數取值范圍如表2所示。

表2 高斯白噪聲控制時算法參數取值范圍Table 2 Value range of algorithm parameters for Gaussian white noise control

設定優化目標為誤差絕對值的平方值最小,SFxLMS、ShFxLMS、SSFxLMS算法的目標函數分別如式(11)～(13)所示。每次優化時,蟻獅算法的迭代次數為50、螞蟻個數為20。在程序運行后,得到3種算法的最優參數值如表3所示。

表3 高斯白噪聲控制時參數最優值Table 3 Optimal values of parameters for Gaussian white noise control

4.1.2 高斯白噪聲控制

FxLMS算法的步長取μ=0.1,另外3種算法的參數取表3中經蟻獅算法優化得到的值。在Simulink軟件中進行高斯白噪聲主動控制仿真,得到FxLMS、SFxLMS、ShFxLMS、SSFxLMS算法控制后誤差曲線如圖5所示。

圖5 4種算法對高斯白噪聲主動控制時的誤差信號曲線Fig.5 Error signal curves of four algorithms for active control of Gaussian white noise

由圖5可知,3種變步長算法的高斯白噪聲控制效果都優于FxLMS算法,其中本文提出的SSFxLMS算法的控制效果最優,SFxLMS、ShFxLMS算法的控制效果相似。為更好區分FxLMS、SFxLMS、ShFxLMS和SSFxLMS算法在時域的控制效果,計算4種算法的平均絕對誤差(mean absolute error,MAE)值,即每個采樣點的噪聲信號誤差值的絕對值取平均值,其計算式為

(14)

式中：M為噪聲信號平均絕對誤差;N為采樣點數量。

4種算法的M值計算結果如表4所示。由表4可知,SSFxLMS算法的M值相對于FxLMS、SFxLMS、ShFxLMS算法分別降低了95.2%、93.8%、93.9%。由此說明SSFxLMS算法在用于高斯白噪聲的控制時具有更小的穩態誤差。

表4 4種算法對高斯白噪聲主動控制時的M值

為對比4種算法的收斂速度,引入平均降噪量[12](average noise reduction,ANR)作為評價指標,其計算式為

(15)

Ae(n)=ξAe(n-1)+(1-ξ)|e(n)|

(16)

Ad(n)=ξAd(n-1)+(1-ξ)|d(n)|

(17)

式中：R為平均降噪量;Ae(n)為誤差信號e(n)的遞推估計;Ad(n)為期望信號d(n)的遞推估計;ξ為遺忘因子。

初始條件為Ae(n)=0,Ad(n)=0,ξ=0.999 9。迭代前期,曲線斜率越大,則收斂速度越快;迭代后期,曲線位置越低,穩態誤差越小。4種算法的R值曲線如圖6。

圖6 4種算法對高斯白噪聲主動控制時的R曲線Fig.6 R curves of four algorithms for active control of Gaussian white noise

由圖6可知,FxLMS算法收斂速度最慢,SFxLMS和ShFxLMS算法的收斂速度相似,SSFxLMS算法的收斂速度遠超另外3種算法,并且其在迭代后期的穩態誤差最小。

4種算法在頻域上的高斯白噪聲控制效果如圖7所示。由圖7可知,SSFxLMS算法的控制效果整體優于另外3種算法。為精確比較4種算法的頻域控制效果,對頻域為0～500 Hz的平均降噪量進行計算,得到FxLMS、SFxLMS、ShFxLMS、SSFxLMS算法的平均降噪量分別為8.3、11.3、11.3、34.2 dB,其中SSFxLMS算法的平均降噪量相對于另外3種算法都有不同程度的提升。

圖7 4種算法對高斯白噪聲主動控制的頻域效果圖Fig.7 Frequency domain effect diagram of four algorithms for active control of Gaussian white

綜上所述,在對高斯白噪聲進行控制仿真時,SSFxLMS算法的收斂速度以及穩態誤差都優于另外3種算法。

4.2 簇絨地毯織機噪聲仿真

紡織車間內有許多大型紡織機械,工作時會產生高強度噪聲,長時間的高強度噪聲會對紡織工人的身體健康造成不可修復的損害[13]。徐洋等[14]對簇絨地毯織機噪聲在頻帶上的分布進行了分析,結果表明,簇絨地毯織機噪聲信號在0～500 Hz的低頻段占有很大一部分。因此,本文以簇絨地毯織機為例,對其低頻噪聲進行主動控制。

4.2.1 織機噪聲信號采集

依照GB/T 7111.6—2002《紡織機械噪聲測試規范 第6部分：織造機械》的要求對簇絨地毯織機噪聲進行采集。簇絨地毯織機以350 r/min的轉速空載運行,麥克風監測點布置在操作人員工作區域,距機器外表面0.5 m,距地面高1.6 m,采樣頻率為51 200 Hz,時間為10 s,從中選取5～7 s的噪聲進行控制,其噪聲信號波形如圖8所示。

圖8 簇絨地毯織機噪聲信號波形圖Fig.8 Waveform of tufted carpet loom noise

4.2.2 織機噪聲控制參數優化

為確定織機噪聲控制時不同算法參數的取值范圍,在Simulink軟件中搭建SFxLMS、ShFxLMS、SSFxLMS算法模型,以織機噪聲為輸入。考慮收斂性和噪聲控制后誤差信號變化情況,各算法的參數取值范圍如表5所示。

表5 織機噪聲控制時算法參數取值范圍Table 5 Value range of algorithm parameters for loom noise control

每次優化時,蟻獅算法的迭代次數為50、螞蟻的個數為20,運行程序后,得到各種算法最優參數值如表6所示。

表6 織機噪聲控制時算法參數最優值Table 6 Optimal values of algorithm parameters for loom noise control

4.2.3 織機噪聲控制

FxLMS算法的步長取μ=0.1,SFxLMS、ShFxLMS、SSFxLMS算法的參數取表6中經蟻獅算法優化后的值,分別用4種算法對簇絨地毯織機噪聲進行控制,得到控制后誤差信號對比圖、R曲線以及頻域控制效果圖如圖9～11所示,M值如表7所示。

表7 4種算法對織機噪聲主動控制時的M值

圖9 4種算法對織機噪聲主動控制時的誤差信號曲線Fig.9 Error signal curves of four algorithms for active control of loom noise

由圖9可知,傳統的FxLMS算法的噪聲控制效果最差,采用SSFxLMS算法的噪聲控制效果最好。由圖10可知,SSFxLMS算法的收斂速度、穩態誤差都優于另外3種算法。由圖11可知,FxLMS、SFxLMS、ShFxLMS、SSFxLMS算法在頻域為0～500 Hz的平均降噪量分別為6.9、8.8、8.9、24.2 dB,SSFxLMS算法的平均降噪量相較于另外3種算法至少提高15 dB。由表7可知,SSFxLMS算法的M值最小,相較于FxLMS、SFxLMS和ShFxLMS分別降低了90.6%、87.9%、88.0%。

圖10 4種算法對織機噪聲主動控制時的R曲線Fig.10 R curves of four algorithms for active control of loom noise

圖11 4種算法對織機噪聲主動控制的頻域效果圖Fig.11 Frequency domain effect diagram of four algorithms for active control of loom noise

通過對比發現,對簇絨地毯織機噪聲控制時,相較于另外3種算法,SSFxLMS算法在時域上穩態誤差最小,在頻域上平均降噪量最高,且收斂速度最快。因此,SSFxLMS算法不僅解決了FxLMS算法無法同時確保收斂速度快與穩態誤差小的問題,而且其性能也優于SFxLMS、ShFxLMS算法。

5 結 論

本文結合sigmoid函數與sinh函數的特點,提出一種基于sigmoid-sinh分段函數的變步長SSFxLMS算法。通過建模仿真發現：SSFxLMS算法在對高斯白噪聲進行控制時,其平均絕對誤差降低了93.8%以上,頻域為0～500 Hz的平均降噪量提高22.9 dB以上,且收斂速度更快;對簇絨地毯織機噪聲進行控制時,其平均絕對誤差降低了87.9%以上,平均降噪量提高15 dB以上,收斂速度也最快。結果表明,所提出的SSFxLMS具有較好的噪聲控制效果。